Mathedidaktik Zyklus 1

Für das Anzahlkonzept braucht es einerseits das Beherrschen der Zahlwortreihe / Zahlenfolge (inkl. Wissen, dass mit jedem Zahlwort die Menge umd 1 grösser wird) und andererseits die Protoquantitativen Schemata: Vergleichsschema / Zunahme-/Abnahmeschema /Teile-Ganzes-Schema.

Wissen, dass jede Zahl aus anderen Zahlen zusammengesetzt werden kann.

Kardinales Zahlenverständnis  (MENGE)

Bei jungen Kindern noch gar nichts. Später gehört das Verständnis, dass mit jedem Zahlwort die Zahl um 1 grösser wird  zum Zahlenverständnis.

String level: Zahlwortreihe als Ganzes. einszweidreivier... die einzelnen Zahlen treten noch nicht hervor.

unbreakable chain level: einzelne Zahlen der Zahlwortreihe werden klar unterschieden. Das Zählen muss aber immer bei EINS beginnen

breakable chain level: jetzt kann auch von grösseren Zahlen aus weitergezählt werden

nummerable chain level: Zählen von Zahlen, nicht nur von Objekten. Kinder können von einer Zahl bis zu einer grösseren zählen. ca. ab 7 Jahren auch rückwärts

bidirectional chain level: Kinder können problemlos und schnell vorwärts und rückwärts zählen, von jeder beliebigen Startzahl aus.

Zahlwortreihe kann zur Ermittlung der Anzahl einer Menge genutzt werden. Mit 4 Jahren Erkenntnis, dass sich das letzte genannte Zahlwort auf die Anzahl der gezählten Dinge bezieht.

Wenn man ein Kind bitten kann: " gib mir 4 Gummibärchen" und es das Richtige tut.

Verständnis dafür, dass eine Zahl immer eine gleichgrosse Menge bezeichnet, unabhängig von der Beschaffenheit und Anordnung ihrer Elemente

Die Menge die durch eine Zahl bezeichnet wird ist unabhängig von der Beschaffenheit und Anordnung ihrer Elemente

• Zahlwörter von Eins bis zwölf
• Zahlwörter für die Zehnerzahlen: zehn, zwanzig, dreissig….
• Regel der Zahlwortbildung für Zehner/Einer-Zahlen bis 19:  dreizehn, vierzehn, fünfzehn...
• Regeln für die Zahlwortbildung ab 21: Nenne zuerst die Einerzahl, füge ein «und» ein und nenne die Zehnerzahl. EIN-UND-ZWANZIG
• Regel, dass nach dem 9. Zehner die erste Hunderterzahl kommt. Bei den Zahlen über hundert bis 109 wird zunächst die Hunderterzahl gesprochen und daran anschliessend gleich die Einerzahl, weil bei diesen Zahlen der 10er leer ist. Zwischen Hunderterzahl und Einerzahl darf ein «und» gesetzt werden.
• Für Hunderterzahlen die grösser sind als Hundertzehn gilt: zuerst wird der Hunderter genannt, anschliessend die Einerzahl und dann die Zehnerzahl. Zwischen Hunderter und Einerzahl darf ein «und» genannt werden.

Prinzip der stabilen Ordnung/Reihenfolge

Eins-zu Eins-Zuordnung

Prinzip der Irrelevanz der Reihenfolge

Abstraktionsprinzip

Kardinalität (das letzte Zahlwort gibt die Anzahl der Elemene (die Menge) an

Es ist egal, in welcher Reihenfolge Objekte gezählt werden. Die Menge bleibt gleich.

 Jedem Objekt wird genau ein Zahlwort zugeordnet

Unabhängig von Grösse, Farbe, Gewicht und anderen Eigenschaften können beliebige Elemente zusammengefasst werden. (Ein Elefant ist gleich viel wie ein Floh)

Ein Kind beherrscht das Invarianzprinzip, wenn es erkennt, dass eine Menge gleich bleibt auch wenn sie ihre Form verändert (in die Länge gezogen/enger zusammen gelegt)

Aufgabe: Einer Reihe von roten Plättli soll eine gleiche Menge blauer Plättli zugeordnet werden: 
Phase 1: Sehr kleine Kinder orientieren sich an der Länge der Reihe und legen einfach eine gleich lange Reihe.

Phase 2: Etwas grössere Kinder machen eine Eins-zu-Eins Zuordnung und legen zu jedem roten ein blaues Plättli. Zieht man danach vor den Augen des Kindes die roten Plättli auseinander hat es trotzdem das Gefühl, dass die roten jetzt mehr sind.

Phase 3: Erst in der dritten Phase muss die visuelle «Gleichheit» nicht mehr bestehen. Das Kind verfügt jetzt über das Prinzip der Invarianz

Kardinalzahl bedeutet immer es geht um die MENGE. 

abzählen: Wieviele Gummibärchen liegen da? Zählendes Erfassen einer Menge oder Mengenbildung mit Hilfe des Zählens

Ordinalität= Zählfertigkeit. Damit lässt sich klären: Das wievielte Gummibärchen in der Reihe ist rot?

Masszahl: Massangabe für Grössen

Operator: wieviel Mal etwas ....

Rechenzahl: Zahlen mit denen gerechnet wird

Codierungszahl: Bezeichnung von Objekten, damit kann man nicht rechnen: Postleitzahl, Geleiseangabe...

Ich sehe mit EINEM BLICK wieviele Objekte es sind. 

2 Jährige bis 3 Elemente

3.5 Jährige bis 4 Elemente

4-5 Jahre bis 5 Elemente

Wenn ich simultan eine Menge von 4 erkennen kann, dann kann ich quaissimultan 8 als zweimal 4 erkennen.

Simultanerfassung

Kompensation

Kovariation

• verdoppeln oder halbieren
• verdoppeln oder halbieren + oder – 1bzw. 2
• Kraft der 5 mit 5er Portionen rechnen
• Kraft der 10 mit 10er Portionen rechnen
• Addieren/Subtrahieren von 0,1,2
• Tauschaufgaben 4+8=8+4
• Nachbaraufgaben 3+4=7 also 3+5=8
• Gegensinniges Verändern der Summanden 4+6= 5+5

alles zählen weiterzählen, vom grösseren Summanden aus weiterzählen. vorwärts – rückwärtszählen

• sehr fehleranfällig, 
• Verständnis für Rechenoperationen bleibt oberflächlich.
• Zählendes Rechnen führt nicht zum Auswendigwissen des kleinen 1+1.
• Therme werden nur als Aufforderung verstanden
• Kein Teile-Ganzes-Konzept.
• Fehlendes Sehen von Beziehungen zwischen Zahlen / Aufgaben
• Fehlende Übung in nichtzählendem Rechnen

Vereinigen, Hinzufügen Teilmengen zu einer Gesamtmenge zusammennehmen 

Abziehen/Wegnehmen, Ergänzen: Ich suche die zweite Teilmenge /den anderen/fehlenden Teil des Ganzen

mehrfach die gleiche Menge dazuzählen. 

Verteilen einer Menge an eine bestimmte Anzahl von Personen oder

Aufteilen einer Menge in eine festgelegte Anzahl gleichgrosser Portionen

Ein Umdenken ist möglich vom Symbol (geschriebene Zahl) zur Darstellung mit Plättli (Objekten) - zur Darstellung als Sachaufgaben (Hansli hat drei Äpfel und isst einen, wieviele hat er jetzt noch?)

Intermodal bedeutet zwischen den drei Darstellungsformen von Aufgaben wechseln. (Zahl/Sachaufgabe/Bildliche Darstellung)

Intramodaler Transfer: innerhalb einer Darstellungform wechseln können. Also bspw. sehen, dass 3 x 4 Plättchen in Gruppen genau so viel sind wie 3 x 4 Plättchen in Reihen.