VO Zahlentheorie

• Seien n₁,...,n_k ganze Zahlen, dann heißt eine ganze Zahl m gemeinsamer Teiler von n₁,...,n_k wenn m teilt n_i für 1≤ i≤ k.
• Die Menge der gemeinsamen Teiler enthält immer 1.
• Die Menge der gemeinsamen Teiler ist beschränkt, wenn nicht n₁=...=n_k=0 gilt.
• ggT := max(Menge der gemeinsamen Teiler)

• n₁,...,n_k relativ prim, d.h. ggT(n₁,...,n_k) = 1
• n₁,...,n_k paarweise relativ prim, d.h. ggT(n_i,n_j) für 1≤i≤k und 1≤j≤k mit i≠j
• paarweise relativ prim => relativ prim

• Sei p eine ganze Zahl.
• p ist eine Primzahl, wenn 1,-1,p,-p die einzigen Teiler sind.
• 1 gilt trotzdem nicht als Primzahl.

• Seien n₁,...,n_k ganze Zahlen.
• Eine ganze Zahl m heißt gemeinsames Vielfaches von n₁,...,n_k wenn n_i | m für 1≤i≤k.
• Wenn n₁,...,n_k ≠ 0 dann ist die Menge der pos. gemeinsamen Vielfachen nicht leer.
• Für n₁,...,n_k ≠ 0 ist kgV(n₁,...,n_k ) := min{m aus natürlichen Zahlen: n_i|m für 1≤i≤k}.

• Seien a, b ganze Zahlen und m eine natürliche Zahl.
• (Man stelle sich statt == das Symbol für "kongruent" vor)
  a == b (mod m) bedeutet, dass m | (a-b)
• m heißt Modul

• Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen (lt. Lemma 23).
• Zu jeder natürlichen Zahl m bilden sich so m Äquivavlenzklassen, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellen. Man nennt sie Restklassen (weil sie bei Division durch m den selben Rest haben).
• Die Elemente in einer Äquivalenzklasse (zB alle ganzen Zahlen a für die gilt a == 1 (mod m) ) werden Repräsentanten genannt.
• Die Restklassen bilden einen kommutativen Ring mit 1 (lt Satz 35).

Sei (R,+,*) ein kommutativer Ring mit 1 und a,b aus R.

• a  heißt Nullteiler, wenn es ein b≠0 aus R gibt, s.d. ab = 0
• Integritätsbereich: Gibts es in R außer 0 keinen Nullteiler, so nennt man (R,+,*) einen Integritätsbereich.
  
  Achtung ist hier ein Fehler?
• a heißt Einheit wenn es ein b gibt, s.d. ab = 1. (b heißt Inverses und ist eindeutig bestimmt)
• R* := (Menge aller Einheiten)

• Sei p≠2 eine Primzahl und a eine ganze Zahl mit p teilt nicht a.
• a ist quadratischer Rest von p, wenn die Kongruenz x² == a (mod p) lösbar ist.
• Ist sie nicht lösbar, heißt a quadratischer nicht Rest.

Sei p≠2 eine Primzahl und a eine ganze Zahl, wobei p teilt nicht a.

•  ( a/p ) =
  • 1 wenn a quadrat. Rest modulo p ist.
  • -1 wenn a quadrat. Nichtrest modulo p ist.
• Eigenschaften:
  • a == b (mod p)    <==>   ( a/p ) = ( b/p )
  • teilw. (je nach Konvention): Wenn p teilt a dan ( a/p ) := 0