Lernkarten

Florian Kaltseis
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Lernende 5 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 11.06.2014 / 25.10.2015
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Definition: Teiler und Komplimentärteiler

  • Seien m,n ganze Zahlen
  • m teilt n, wenn es eine ganze Zahl d gibt, s.d. n = md.
  • m heißt Teiler von n, d heißt Komplementärteiler von n.
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Definition: gemeinsame Teiler und ggT

  • Seien n1,...,nk ganze Zahlen, dann heißt eine ganze Zahl m gemeinsamer Teiler von n1,...,nk wenn m teilt ni für 1≤ i≤ k.
  • Die Menge der gemeinsamen Teiler enthält immer 1.
  • Die Menge der gemeinsamen Teiler ist beschränkt, wenn nicht n1=...=nk=0 gilt.
  • ggT := max(Menge der gemeinsamen Teiler)
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Definition: relativ prim

  • n1,...,nk relativ prim, d.h. ggT(n1,...,nk) = 1
  • n1,...,nk paarweise relativ prim, d.h. ggT(ni,nj) für 1≤i≤k und 1≤j≤k mit i≠j
  • paarweise relativ prim => relativ prim
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Definition: Primzahl

  • Sei p eine ganze Zahl.
  • p ist eine Primzahl, wenn 1,-1,p,-p die einzigen Teiler sind.
  • 1 gilt trotzdem nicht als Primzahl.
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Definition: kgV

  • Seien n1,...,nk ganze Zahlen.
  • Eine ganze Zahl m heißt gemeinsames Vielfaches von n1,...,nk wenn ni | m für 1≤i≤k.
  • Wenn n1,...,nk ≠ 0 dann ist die Menge der pos. gemeinsamen Vielfachen nicht leer.
  • Für n1,...,nk ≠ 0 ist kgV(n1,...,nk ) := min{m aus natürlichen Zahlen: ni|m für 1≤i≤k}.
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Definition: Kongruenz, Modul

  • Seien a, b ganze Zahlen und m eine natürliche Zahl.
  • (Man stelle sich statt == das Symbol für "kongruent" vor)
    a == b (mod m) bedeutet, dass m | (a-b)
  • m heißt Modul
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Definition: Restklasse modulo m

  • Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen (lt. Lemma 23).
  • Zu jeder natürlichen Zahl m bilden sich so m Äquivavlenzklassen, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellen. Man nennt sie Restklassen (weil sie bei Division durch m den selben Rest haben).
  • Die Elemente in einer Äquivalenzklasse (zB alle ganzen Zahlen a für die gilt a == 1 (mod m) ) werden Repräsentanten genannt.
  • Die Restklassen bilden einen kommutativen Ring mit 1 (lt Satz 35).
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Definition: Nullteiler, Einheit

Sei (R,+,*) ein kommutativer Ring mit 1 und a,b aus R.

  • a  heißt Nullteiler, wenn es ein b≠0 aus R gibt, s.d. ab = 0
  • Integritätsbereich: Gibts es in R außer 0 keinen Nullteiler, so nennt man (R,+,*) einen Integritätsbereich.

    Achtung ist hier ein Fehler?
  • a heißt Einheit wenn es ein b gibt, s.d. ab = 1. (b heißt Inverses und ist eindeutig bestimmt)
  • R* := (Menge aller Einheiten)