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VO Zahlentheorie

Universität Wien, SPL Mathematik, LV-Nr: 250010, LV-Titel: VO Zahlentheorie, LV-Leiter: Christoph Baxa, SS 14

Universität Wien, SPL Mathematik, LV-Nr: 250010, LV-Titel: VO Zahlentheorie, LV-Leiter: Christoph Baxa, SS 14

10
5.0 (1)
Florian Kaltseis
Study
Florian Kaltseis
Diese Lernkarten behandeln fortgeschrittene Konzepte der Zahlentheorie auf Universitätsniveau, darunter Teiler, Primzahlen, Restklassen und Kongruenzen. Sie decken Themen wie quadratische Reste, Nullteiler, Einheiten in Ringen, sowie das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler ab. Die Karteikarten sind ideal für Studierende der Mathematik, die ein tiefes Verständnis der Zahlentheorie erlangen möchten, insbesondere in Bezug auf Modulrechnung und algebraische Strukturen.
Flashcards
10
Students
5
Language
German
Category
Maths
Level
University
Created / Updated
11.06.2014 / 25.10.2015
  • 1  / 10

Flashcards

Definition: Teiler und Komplimentärteiler

  • Seien m,n ganze Zahlen
  • m teilt n, wenn es eine ganze Zahl d gibt, s.d. n = md.
  • m heißt Teiler von n, d heißt Komplementärteiler von n.

Definition: gemeinsame Teiler und ggT

  • Seien n1,...,nk ganze Zahlen, dann heißt eine ganze Zahl m gemeinsamer Teiler von n1,...,nk wenn m teilt ni für 1≤ i≤ k.
  • Die Menge der gemeinsamen Teiler enthält immer 1.
  • Die Menge der gemeinsamen Teiler ist beschränkt, wenn nicht n1=...=nk=0 gilt.
  • ggT := max(Menge der gemeinsamen Teiler)

Definition: relativ prim

  • n1,...,nk relativ prim, d.h. ggT(n1,...,nk) = 1
  • n1,...,nk paarweise relativ prim, d.h. ggT(ni,nj) für 1≤i≤k und 1≤j≤k mit i≠j
  • paarweise relativ prim => relativ prim

Definition: Primzahl

  • Sei p eine ganze Zahl.
  • p ist eine Primzahl, wenn 1,-1,p,-p die einzigen Teiler sind.
  • 1 gilt trotzdem nicht als Primzahl.

Definition: kgV

  • Seien n1,...,nk ganze Zahlen.
  • Eine ganze Zahl m heißt gemeinsames Vielfaches von n1,...,nk wenn ni | m für 1≤i≤k.
  • Wenn n1,...,nk ≠ 0 dann ist die Menge der pos. gemeinsamen Vielfachen nicht leer.
  • Für n1,...,nk ≠ 0 ist kgV(n1,...,nk ) := min{m aus natürlichen Zahlen: ni|m für 1≤i≤k}.

Definition: Kongruenz, Modul

  • Seien a, b ganze Zahlen und m eine natürliche Zahl.
  • (Man stelle sich statt == das Symbol für "kongruent" vor)
    a == b (mod m) bedeutet, dass m | (a-b)
  • m heißt Modul

Definition: Restklasse modulo m

  • Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen (lt. Lemma 23).
  • Zu jeder natürlichen Zahl m bilden sich so m Äquivavlenzklassen, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellen. Man nennt sie Restklassen (weil sie bei Division durch m den selben Rest haben).
  • Die Elemente in einer Äquivalenzklasse (zB alle ganzen Zahlen a für die gilt a == 1 (mod m) ) werden Repräsentanten genannt.
  • Die Restklassen bilden einen kommutativen Ring mit 1 (lt Satz 35).

Definition: Nullteiler, Einheit

Sei (R,+,*) ein kommutativer Ring mit 1 und a,b aus R.

  • a  heißt Nullteiler, wenn es ein b≠0 aus R gibt, s.d. ab = 0
  • Integritätsbereich: Gibts es in R außer 0 keinen Nullteiler, so nennt man (R,+,*) einen Integritätsbereich.

    Achtung ist hier ein Fehler?
  • a heißt Einheit wenn es ein b gibt, s.d. ab = 1. (b heißt Inverses und ist eindeutig bestimmt)
  • R* := (Menge aller Einheiten)

Definition: quadratischer Rest und Nichtrest

  • Sei p≠2 eine Primzahl und a eine ganze Zahl mit p teilt nicht a.
  • a ist quadratischer Rest von p, wenn die Kongruenz x2 == a (mod p) lösbar ist.
  • Ist sie nicht lösbar, heißt a quadratischer nicht Rest.

Definition: LEGENDRE-Symbol

Sei p≠2 eine Primzahl und a eine ganze Zahl, wobei p teilt nicht a.

  •  ( a/p ) =
    • 1 wenn a quadrat. Rest modulo p ist.
    • -1 wenn a quadrat. Nichtrest modulo p ist.
  • Eigenschaften:
    • a == b (mod p)    <==>   ( a/p ) = ( b/p )
    • teilw. (je nach Konvention): Wenn p teilt a dan ( a/p ) := 0

Study