VO Zahlentheorie
Universität Wien, SPL Mathematik, LV-Nr: 250010, LV-Titel: VO Zahlentheorie, LV-Leiter: Christoph Baxa, SS 14
Universität Wien, SPL Mathematik, LV-Nr: 250010, LV-Titel: VO Zahlentheorie, LV-Leiter: Christoph Baxa, SS 14
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5.0 (1)
Florian Kaltseis
Florian Kaltseis
Fichier Détails
| Cartes-fiches | 10 |
|---|---|
| Langue | Deutsch |
| Catégorie | Mathématiques |
| Niveau | Université |
| Crée / Actualisé | 11.06.2014 / 25.10.2015 |
| Lien de web |
https://card2brain.ch/box/vo_zahlentheorie
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| Intégrer |
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Definition: Teiler und Komplimentärteiler
- Seien m,n ganze Zahlen
- m teilt n, wenn es eine ganze Zahl d gibt, s.d. n = md.
- m heißt Teiler von n, d heißt Komplementärteiler von n.
Definition: gemeinsame Teiler und ggT
- Seien n1,...,nk ganze Zahlen, dann heißt eine ganze Zahl m gemeinsamer Teiler von n1,...,nk wenn m teilt ni für 1≤ i≤ k.
- Die Menge der gemeinsamen Teiler enthält immer 1.
- Die Menge der gemeinsamen Teiler ist beschränkt, wenn nicht n1=...=nk=0 gilt.
- ggT := max(Menge der gemeinsamen Teiler)
Definition: relativ prim
- n1,...,nk relativ prim, d.h. ggT(n1,...,nk) = 1
- n1,...,nk paarweise relativ prim, d.h. ggT(ni,nj) für 1≤i≤k und 1≤j≤k mit i≠j
- paarweise relativ prim => relativ prim
Definition: Primzahl
- Sei p eine ganze Zahl.
- p ist eine Primzahl, wenn 1,-1,p,-p die einzigen Teiler sind.
- 1 gilt trotzdem nicht als Primzahl.
Definition: kgV
- Seien n1,...,nk ganze Zahlen.
- Eine ganze Zahl m heißt gemeinsames Vielfaches von n1,...,nk wenn ni | m für 1≤i≤k.
- Wenn n1,...,nk ≠ 0 dann ist die Menge der pos. gemeinsamen Vielfachen nicht leer.
- Für n1,...,nk ≠ 0 ist kgV(n1,...,nk ) := min{m aus natürlichen Zahlen: ni|m für 1≤i≤k}.
Definition: Kongruenz, Modul
- Seien a, b ganze Zahlen und m eine natürliche Zahl.
- (Man stelle sich statt == das Symbol für "kongruent" vor)
a == b (mod m) bedeutet, dass m | (a-b) - m heißt Modul
Definition: Restklasse modulo m
- Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen (lt. Lemma 23).
- Zu jeder natürlichen Zahl m bilden sich so m Äquivavlenzklassen, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellen. Man nennt sie Restklassen (weil sie bei Division durch m den selben Rest haben).
- Die Elemente in einer Äquivalenzklasse (zB alle ganzen Zahlen a für die gilt a == 1 (mod m) ) werden Repräsentanten genannt.
- Die Restklassen bilden einen kommutativen Ring mit 1 (lt Satz 35).
Definition: Nullteiler, Einheit
Sei (R,+,*) ein kommutativer Ring mit 1 und a,b aus R.
- a heißt Nullteiler, wenn es ein b≠0 aus R gibt, s.d. ab = 0
- Integritätsbereich: Gibts es in R außer 0 keinen Nullteiler, so nennt man (R,+,*) einen Integritätsbereich.
Achtung ist hier ein Fehler? - a heißt Einheit wenn es ein b gibt, s.d. ab = 1. (b heißt Inverses und ist eindeutig bestimmt)
- R* := (Menge aller Einheiten)
Definition: quadratischer Rest und Nichtrest
- Sei p≠2 eine Primzahl und a eine ganze Zahl mit p teilt nicht a.
- a ist quadratischer Rest von p, wenn die Kongruenz x2 == a (mod p) lösbar ist.
- Ist sie nicht lösbar, heißt a quadratischer nicht Rest.
Definition: LEGENDRE-Symbol
Sei p≠2 eine Primzahl und a eine ganze Zahl, wobei p teilt nicht a.
- ( a/p ) =
- 1 wenn a quadrat. Rest modulo p ist.
- -1 wenn a quadrat. Nichtrest modulo p ist.
- Eigenschaften:
- a == b (mod p) <==> ( a/p ) = ( b/p )
- teilw. (je nach Konvention): Wenn p teilt a dan ( a/p ) := 0
