Mathe 1 Mengen
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Definieren Sie den Begriff Menge sowie ihre Mächtigkeit.
Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen; Anzahl der Elemente der Menge.
Die Mächtigkeit gibt die Anzahl der Elemente von M an.
Es seien die Mengen M und N gegeben:
M={3,4,5,6,7} N={6,7,8,9}
Bestimmen Sie:
a) M ∪ N
b) M ∩ N
c) M \ N
- a) M ∪ N = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- b) M ∩ N = {6, 7}
- c) M \ N = {3, 4, 5}
Überprüfen Sie das Assoziativgesetz L ∩ (M ∩ N) = (L ∩ M) ∩ N für folgende Mengen:
Überprüfen Sie die 1. Regel von de Morgan L \ (M ∩ N) = (L \ M) ∪ (L \ N) für folgende Mengen:
Welche drei Eigenschaften müssen bei der Äquivalenzrelation gelten? Erläutern Sie diese
1. Reflexivität (x, x) ∈ ℝ
2. Symmetrie: Wenn (x, y) ∈ ℝ, dann gilt auch (y, x) ∈ ℝ
3. . Transitivität: Wenn (x, y) ∈ ℝ und (y, z) ∈ ℝ, dann gilt auch (x, z) ∈ ℝ
Erläutern Sie anhand eines Beispiels n teilt a. Wie wird dies üblicherweise dargestellt?
n|a, wenn es ein x ∈ ℤ gibt, sodass x · n = a. Es ist 5|35, denn 7 · 5 = 35
An Universitäten wird eine Relation R auf der Menge der Studenten definiert, wobei a ∼ b genau dann, wenn Student a und Student b im gleichen Semester sind. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
Reflexivität: Jeder Student ist im selben Semester wie er selbst.
Symmetrie: Ist a im gleichen Semester wie b, dann ist auch b im gleichen Semester wie a.
Transitivität: Ist a im gleichen Semester wie b und b im gleichen Semester wie c, dann ist auch a im gleichen Semester wie c.
R sei die Verwandtschaftsrelation aller Menschen, wobei a ∼ b genau dann, wenn der Mensch a mit dem Mensch b verwandt ist. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
Lösung Reflexivität: Jeder Mensch ist mit sich selbst verwandt.
Symmetrie: Ist a mit b verwandt, dann ist auch b mit a verwandt.
Transitivität: Ist a mit b verwandt und b mit c, dann ist auch a mit c verwandt.
Seien L, M und N Mengen. Zeigen Sie, dass (L ∪ M) ∪ N ⊆ L ∪ (M ∪ N) gilt.
Vergleiche Beweis zum Assoziativgesetz für Mengen.
Zeigen Sie, dass die folgenden Distributivgesetze für Mengen L, M und N gelten:
L ∪ (M ∩ N) = (L ∪ M) ∩ (L ∪ N)
L ∩ (M ∪ N) = (L ∩ M) ∪ (L ∩ N)
Vergleiche Beweis zum Assoziativgesetz für Mengen.
Zeigen Sie, dass für Mengen L, M und N die zweite Regel von de Morgan gilt:
L\(M ∪ N) = (L\M) ∩ (L\N)
Vergleiche Beweis zur ersten Regel von de Morgan.
Sei G die Menge aller Geraden in der zweidimensionalen Ebene. Falls zwei Geraden x, y ∈ G parallel zueinander sind, so setzen wir hierfür x ∼ y.
Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf G ist.
Reflexivität: Jede Gerade x ∈ G ist parallel zu sich selbst. Somit gilt x ∼ x.
Symmetrie: Seien x, y ∈ G. Wenn x parallel zu y ist, dann ist auch y parallel zu x. Aus x ∼ y folgt somit y ∼ x.
Transitivität: Seien x, y, z ∈ G. Wenn x parallel zu y und y parallel zu z ist, dann sind alle drei Geraden parallel zueinander und damit ist insbesondere auch x parallel zu z. Aus x ∼ y und y ∼ z folgt somit x ∼ z.
Damit ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf G. □
Was muss man machen, wenn man entscheiden will, ob eine Relation eine Äquivalenzrelation ist oder nicht?
Was ist das Komplement einer Menge?
Das Komplement einer Menge B ist die Menge aller Elemente, die nicht zu B gehören.
Was sind Disjunkte Mengen?
Zwei Mengen, deren Schnittmenge leer ist oder die kein gemeinsames Element besitzen, heißen disjunkt.
Schreibweise Mächtigkeit einer Menge
|A|
Schreibweise Disjunkte Mengen
A ∩ B = ∅
Was ist das Kartesische Produkt?
Das kartesische Produkt A × B ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit der ersten Komponente a aus A und der zweiten Komponente b aus B.
Was sind Elemente?
Die Objekte, die zu einer Menge gehören, nennt man die Elemente der Menge.
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Flashcards
Definieren Sie den Begriff Menge sowie ihre Mächtigkeit.
Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen; Anzahl der Elemente der Menge.
Die Mächtigkeit gibt die Anzahl der Elemente von M an.
Es seien die Mengen M und N gegeben:
M={3,4,5,6,7} N={6,7,8,9}
Bestimmen Sie:
a) M ∪ N
b) M ∩ N
c) M \ N
- a) M ∪ N = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- b) M ∩ N = {6, 7}
- c) M \ N = {3, 4, 5}
Überprüfen Sie das Assoziativgesetz L ∩ (M ∩ N) = (L ∩ M) ∩ N für folgende Mengen:
Überprüfen Sie die 1. Regel von de Morgan L \ (M ∩ N) = (L \ M) ∪ (L \ N) für folgende Mengen:
Welche drei Eigenschaften müssen bei der Äquivalenzrelation gelten? Erläutern Sie diese
1. Reflexivität (x, x) ∈ ℝ
2. Symmetrie: Wenn (x, y) ∈ ℝ, dann gilt auch (y, x) ∈ ℝ
3. . Transitivität: Wenn (x, y) ∈ ℝ und (y, z) ∈ ℝ, dann gilt auch (x, z) ∈ ℝ
Erläutern Sie anhand eines Beispiels n teilt a. Wie wird dies üblicherweise dargestellt?
n|a, wenn es ein x ∈ ℤ gibt, sodass x · n = a. Es ist 5|35, denn 7 · 5 = 35
An Universitäten wird eine Relation R auf der Menge der Studenten definiert, wobei a ∼ b genau dann, wenn Student a und Student b im gleichen Semester sind. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
Reflexivität: Jeder Student ist im selben Semester wie er selbst.
Symmetrie: Ist a im gleichen Semester wie b, dann ist auch b im gleichen Semester wie a.
Transitivität: Ist a im gleichen Semester wie b und b im gleichen Semester wie c, dann ist auch a im gleichen Semester wie c.
R sei die Verwandtschaftsrelation aller Menschen, wobei a ∼ b genau dann, wenn der Mensch a mit dem Mensch b verwandt ist. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
Lösung Reflexivität: Jeder Mensch ist mit sich selbst verwandt.
Symmetrie: Ist a mit b verwandt, dann ist auch b mit a verwandt.
Transitivität: Ist a mit b verwandt und b mit c, dann ist auch a mit c verwandt.
Seien L, M und N Mengen. Zeigen Sie, dass (L ∪ M) ∪ N ⊆ L ∪ (M ∪ N) gilt.
Vergleiche Beweis zum Assoziativgesetz für Mengen.
Zeigen Sie, dass die folgenden Distributivgesetze für Mengen L, M und N gelten:
L ∪ (M ∩ N) = (L ∪ M) ∩ (L ∪ N)
L ∩ (M ∪ N) = (L ∩ M) ∪ (L ∩ N)
Vergleiche Beweis zum Assoziativgesetz für Mengen.
Zeigen Sie, dass für Mengen L, M und N die zweite Regel von de Morgan gilt:
L\(M ∪ N) = (L\M) ∩ (L\N)
Vergleiche Beweis zur ersten Regel von de Morgan.
Sei G die Menge aller Geraden in der zweidimensionalen Ebene. Falls zwei Geraden x, y ∈ G parallel zueinander sind, so setzen wir hierfür x ∼ y.
Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf G ist.
Reflexivität: Jede Gerade x ∈ G ist parallel zu sich selbst. Somit gilt x ∼ x.
Symmetrie: Seien x, y ∈ G. Wenn x parallel zu y ist, dann ist auch y parallel zu x. Aus x ∼ y folgt somit y ∼ x.
Transitivität: Seien x, y, z ∈ G. Wenn x parallel zu y und y parallel zu z ist, dann sind alle drei Geraden parallel zueinander und damit ist insbesondere auch x parallel zu z. Aus x ∼ y und y ∼ z folgt somit x ∼ z.
Damit ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf G. □
Was muss man machen, wenn man entscheiden will, ob eine Relation eine Äquivalenzrelation ist oder nicht?
Was ist das Komplement einer Menge?
Das Komplement einer Menge B ist die Menge aller Elemente, die nicht zu B gehören.
Was sind Disjunkte Mengen?
Zwei Mengen, deren Schnittmenge leer ist oder die kein gemeinsames Element besitzen, heißen disjunkt.
Schreibweise Mächtigkeit einer Menge
|A|
Schreibweise Disjunkte Mengen
A ∩ B = ∅
Was ist das Kartesische Produkt?
Das kartesische Produkt A × B ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit der ersten Komponente a aus A und der zweiten Komponente b aus B.
Was sind Elemente?
Die Objekte, die zu einer Menge gehören, nennt man die Elemente der Menge.
