Modellbildung und Simulation fluidtechnischer Systeme und Komponeten

• direkte numerische Simulation
• Large Eddy Simulation
• Reynolds Average Navier Stokes Equations

• Adams-Bashfoorth-Methode 4 Schritt (explizit)
• Adams-Moulton-Methode 4 Schritt (implizit)
• BDF (Backward Differentiation Formulas) = DASSL (Differential Algebraic System Solver) (implizit)
• MEBDF (Modified Enhanced BDF) implizit

• geringere Rechenzeit
• Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zum Rand = Null
• Normalspannungen = Null

Anwendungsfall: laminare Rohrströmung: 3D \(\rightarrow \) 2D

- komplexe Antwort eines Systems auf Anregung mit einem sinusförmigen Eingangssignal
 

• thermisch: Druck p [bar], Volumen V [m³], Temperatur T [K]
• kalorisch: innere Energie U [J], Enthalpie H [J], Entropie S [J]
• Prozessgrößen: Wärme Q [J], mechanische Arbeit W [J]

siehe Bild

- unabhängig von Realität wird laminarer Ansatz gebildet

- Turbulezen werden nicht abgebildet \(\rightarrow\) Fehler

siehe Bild

• turbulente Spannungen sind analog zu viskosen Spannungen proportional zu den Geschwindigkeitsgradienten
• Gesamtspannung als Summe der viskosen und turbulenten Spannungen darstellbar

Vertreter: Standard k-\(\epsilon\)-Modell, k-\(\omega\)-Modell, SST-Modell

• hohe Kompressibilität (\(\rightarrow \) große Energiespeicherfähigkeit, hohe Elastizität, lastabhängige Geschwindigkeit, stoßarme Umsteuerbewegungen)
• niedrige Viskosität (\(\rightarrow \) geringere Strömungsverluste \(\rightarrow \) lange Rohrleitungen ohne hohe Energieverluste, kleine Dämpfungskräfte \(\rightarrow \) schwingungsanfällig)

• abgegrenzter Teil aus einzelnen Komponenten zusammengesetzt, die durch Marterie-, Energie- und Informationsfluss verknüpft (wechsel- und einseitig) sind
• Gesamtheit aller Verküpfungen heißt Struktur des Systems
• Eingangsgrößen sind Führungs-, Störgrößen etc.
• Komponenten können ihrerseits ebenfalls Subsysteme sein
• Abgrenzung muss abhängig von konkreter Aufgabenstellung sinvoll gewählt werden
• Wirklininien über Grenzen hinaus sind Eingangs- bzw. Ausgangsgrößen
• Ausgangsgrößen charakterisieren dsa Systemverhalten; Eingangsgrößen nehmen Einfluss auf Komponenten
• Systemparameter bestimmen Systemverhalten und beschreiben System zusammen mit Struktur eindeutig

- ermöglicht den Entwurf einer allgemeinen numerischen Methode zur Lösung unterschiedlichster Strömungsaufgaben

• Verhältnis der Geschwindigkeit v (bspw. eines Körpers oder eines Fluids) zur Schallgeschwindigkeit c des umgebenden Fluids
• \(Ma = {w \over a} = {v \over c} < 0,3 \rightarrow\)Gasströmungen können als inkompressibel angesehen werden
• \(Ma= {w \over a} ={v \over c} > 0,3 \rightarrow\)Gasströmungen müssen als kompressibel angesehen werden

Experimentelle Systemanalyse:

• am realen System
• Anregung mit Eingangsgrößenverläufen (Testsignale) und Ermittlung der Verläufe der Ausgangsgrößen
• Vorteil: zuverlässige Daten
• Nachteile: langwierig; kostenintesiv; Verfälschung der Ergebnisse durch Messung selbst; risikobehaftet; undurchführbar, wenn reales System noch nicht vorhanden

Systemanalyse auf Basis von  Simulationen

• am Modell
• Vorteile: Zeit-; Kostenersparnis; Reproduzierbarkeit; Risikofreiheit; Änderung von Systemparametern
• Nachteile: Aufwand für Modellbildung, Implementierung und Verifikation; Modellfehler; numerische Fehler; blindes Vertraun in Simulationsergebnisse

• Genauigkeit: Größe des verfahrensbedingten Approximations- und Rundungsfehlers
• numerische Stabilität: Schrittweitensteuerung, die automatisch zu einer gedämpften Fehlerfortzpflanzung führt
• Exaktheit der Behandlung auftretender Unstetigkeitsstellen
• Rechenaufwand: Verhältnis zwischen der Anzahl an Auswertungen des DGL-Systems pro Rechenschritt und der Anzahl an Rechenschritten für die Lösung des Systems innerhalb der vorgegebenen Simulationszeit

Eigenschaft eines Systems auf Veränderugen eines Parameters stets mit proportionaler Änderung eines anderen Parameters zu reagieren

• Kontinuitätsgleichung
• Energiebilanz
• Stoffverhalten (Kompressibilität - Idealgasverhalten)

• Finite-Differenzen-Verfahren (FD)
• Finite-Volumen-Verfahren (FV)

• Zur Erhöhung der Leistungsfähigkeit bestehender Komponenten und Systeme (verteilt?)
• Zur Verminderung unerwünschter Betriebseigenschaften (Verschleiß, Geräusch, Schwingungsverhalten, Energieverbrauch, …) (konzentriert?)
• Zur Auslegung von Steuerungen und Regelungen (konzentriert?)
• Zur Untersuchung grundlegender physikalischer Zusammenhänge (verteilt?)
• im konstruktiven Entwicklungsprozess (Produktentwicklung) (konzentriert und verteilt?)

Viele leistungsfähige Untersuchungsverfahren der Regelungstechnik lassen sich nur bei linearen
Regelkreiselementen anwenden.

a) Reihenschaltung von Widerständen ohne Berücksichtigung der dazwischen liegenden Volumina

b) Reihenschaltung von Widerständen und Kapazitäten

Kapazität (Flussgrößenspeicher)

Induktivität (Differenzgrößenspeicher)

Widerstand (Verbraucher)

• laminar: Strömungen verlaufen geordnet (Schichten); viskoser Reibungsanteil größer \(\rightarrow\) verhindert Ausbildung von Mikrowirbeln
• turbulent: hoher Impulsaustausch quer zur Strömung; unregelmäßige, hochfrequente zeitliche und räumliche Schwankungen der Strömungsgrößen; bestehen aus Wirbelelementen verschiedesnter Größen bzw. Schwankungsfrequenz; an kleinsten Elementen mit größter Frequenz wirken viskose Kräfte, die kinetische Energie der Turbulenzbewegung in innere Energie (Wärme) überführen (Dissipation)

1. Beschreibung im Zeitbereich durch gewöhnliche DGLn mit konstanten Koeffizienten
2. Laplace-Transformation (DGL von Zeit- in Bildbereich)
3. Ausklammern der Transformierten (U(S) und Y(S)) und Umstellen nach Y(S)/U(S)

siehe Bild

mit der Schrittweite h:

• Genauigkeit: Verfahrensfehler (~h^P), Rundungsfehler (~ 1/h) 
• Rechenzeit (~ 1/h) 
• numerische Stabilität (h<h_krit)

⇒Wahl der Schrittweite h: Kompromiss zwischen Rechengenauigkeit und -aufwand

P ... Fehlerordnung des Verfahrens

• konzentriert (Systemsimulation): Signale nur zeitabhängig (statisch :algebraisch, dynamisch: algebraisch+gewöhnliche DGL) 
• verteilt (Feldsimulation): Signale zeit- und ortsabhängig (partielle DGL)

• DGL:grücken  Abhängigkeit zwischen Variable x, Funktion y und Ableitungen dieser Funktion f⁽ⁿ⁾ aus
• gewöhnliche DGL: y=y_(x), gewöhnliche Ableitungen nur nach einer Veränderlichen, Ordnung n bezieht sich auf n-te Ableitung von y
• partielle DGL: y=y(x₁,...,x_m), partielle Ableitungen nach mehreren Unbekannten
• algebraische Gleichungen: y=y(x₁...x_m), keine Ableitungen von y

- anhand der Reynoldszahl: \(Re={Trägheit \over Reibung}={l*v \over \nu}\)

- \(Re_{krit} \approx 2300\) für gerade Rohre

strömungsmechanische Erhaltungsgleichungen:

• Kontinuitätsgleichung (Masserhaltung)
• Impulssatz (Kräftegleichgewicht in x,y,z)
• Energiebilanz

• Reibung an Zylinderantrieben (7-Parameter, Makkar, Leuven, Elasto-Plastic, Dahl)
• Verluste in Pumpen und Motoren (Modellbildung mittels 3D-Kennfeld, Bavendiek, Polymod, Two-Line, KNN)
• Ventildynamik (PT2-Verhalten mit Totzeit)

Systeme mit stark unterschiedlichen Eigenfrequenzen

• einschritt: Zur Berechnung eines neuen Approximationswertes x_i+1an der Stelle t_i+1 wird nur der letzte Berechnete Wert  x_i des letzten Schrittes t_i benutz
• mehrschritt: Zur Berechnung des Näherungswertes x_i+1 werden an der Stelle t_i+1 nicht nur der Näherungswert x_i des letzten Schrittes t_i sondern zusätzlich zurückliegende Werte x_i-k verwendet

• Zustandsänderung zwischen zwei Orten
• Betrachtung der Energieströme
• zwei charakteristische Bedingungen:

1. aufgenommene und abgeführte Masse sind gleich \(\dot m_1 = \dot m_2 = \dot m\)
2. aufgenommene und abgeführte Energie sind gleich (Speicherung von Energieanteilen durch instationäre Vorgänge werden nicht berücksichtig, eingeschwungener Zustand)