Mathematik
Mathe 5: Funktionen und Gleichungen
Mathe 5: Funktionen und Gleichungen
Fichier Détails
| Cartes-fiches | 12 |
|---|---|
| Langue | Deutsch |
| Catégorie | Mathématiques |
| Niveau | Autres |
| Crée / Actualisé | 24.08.2014 / 14.03.2019 |
| Lien de web |
https://card2brain.ch/box/mathematik61
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| Intégrer |
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Zuordnungen; Funktionen
rechtwinkliges Koordinatensystem
Eine Funktion ist eine Zuordnung von zwei Werten.
D.h. jedem Zahlenwert 1 (x) ist nur ein Zahlenwert 2 (y) zugeschrieben.
Zuordnungsvorschrift = x → y
Anhand einer Wertetabelle kann man einen Graphen erstellen.
Das Koordinatensystem besteht aus der X-Achse und der Y-Achse.
X-Achse = waagrecht
Y-Achse = senkrecht
P(x I y) ist allgemeine Angabe eines Punktes
P(0 I y) = ein Punkt auf der y-Achse
P(x I 0) = ein Punkt auf der x-Achse
Ein Graph ist in 4 Quadranten aufgeteilt:
Lineare Funtionen
Zuordnungsvorschrift allgemein: x → y
Funktion x → mx:
Die Funktion x → mx heißt jeden gewählten x-wert wird sein m-facher Wert zugeordnet.
Funktionsvorschrift: x → mx
Funktionsgleichung: y = mx
Berechnung Steigung m:
Zur Berechnung der Steigung braucht man zwei Punkte. Man bildet die Differenz der y-Werte der beiden Punkte, und dividiert sie durch die Diefferenz der x-Werte.
Die Funtion x → mx + n:
Funktion mit Sockelbetrag: x → mx + n
Funktionsgleichung: y = mx + n
Die Gerade schneidet den y-Achse bei Punkt P(0In).
Aufstellen einer Funktionsgleichung
1. Punkte und Steigungsdreieck in den Graphen einzeichnen.
2. Errechnung der Steigung m
3. Mit einem Punkt und der Steigung den y-Wert berechnen.
4. Angabe der Funktionsgleichung
Bsp.
Gegeben: Punkt P(-6I-3) und Steigung m = 0,625.
y = mx + n
-3 = 0,625 * -6 + n
-3 = -3,75 + n I+3,75
0,75 = n
Funktionsgleichung: y = 0,625 * x + 0,75
Errechnen der Nullstelle
Nullstelle ist der Punkt P(xI0)
Funktionsgleichung: y = 0
Bsp.
x → -0,9x + 3,15
y = -0,9x + 3,15
0 = -0,9x + 3,15 I-3,15
-3,15 = -0,9x I:(-0,9)
3,5 = x
Punkt 0 = P(3,5I0)
Betragsfunktion
Der absolute Betrag der positiiven Zahl x ist x (IxI=x)
Der absolute Betrag der negativen Zahl x ist -x(I-xI=x)
Der absolute Betrag ist nie negativ.
Der y-Wert ist nie negativ.
Schnittpunkt zweier Graphen im Koordinatensystem
Schnittpunkt = S(xIy)
Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu ermitteln setzt man beide Gleichungen gleich.
Bsp.
I = y=-1,5x+7
II = y=3x-2
Gleichsetzen:
-1,5x + 7 = 3x -2 I+1,5x +2
9 = 4,5x I:4,5
2 = x
__________________________
y = 3*2 - 2
y = 6 -2
y = 4
x = 2 I y = 4
S(2I4)
Gleichung umstellen nach y
Gleichung -> Funktionsgleichung
Bsp.
40 = 2x + 2y /-2x
40 - 2x = 2y /:2
20 - x = y
y = -x +20
Das Gleichsetzungsverfahren
1. Beide Gleichungen zu einer Variablen umstellen
2. Beide Therme gleichsetzen
3. Gleichung lösen, und mit der errechneten Zahlenwert die zweite Variable errechnen.
4. Lösungsmenge angeben L = {(x;y)}
Bsp.
I y = -2x +5
II y = 1,5x - 2
-------------------
Gleichsetzen:
y1 = y2
-2x +5 = 1,5x -2
-3,5x = -7
x = 2
Zweite Variable errechnen:
y = 1,5x2 -2
y = 1
Das Einsetzungsverfahren
1. Einer der Variablen wird zu einer Variable aufgelöst
2. Die Variable wird in die zweite Gleichung eingesetzt.
3. Variable errechnen
4. Mit der errechneten Zahl wird die zweite Variable errechnet.
Bsp.
I 3x +2y = 14
II 3x -y = 2
-------------------
II 3x -y = 2 -> 3x -2 = y
Variable II in Gleichung I einsetzen.:
3x +2(3x -2) =14
3x +6x -4 = 14 /+4
9x = 18 /:2
x = 2
Zweite Variable errechnen:
3x2 +2y = 14
6 +2y = 14
2y = 8
y = 4
L = (2;4)
Das Additionsverfahren
1. Gleichungen umformen das gleiche Variable untereinander stehen.
2. Entscheiden welche Variable wegfällt.
3. Gleichung erweitern.
4. Vorzeichen gleich (2. Gleichung wird vor 1. Substrahiert), Vorzeichen verschieden(Zahlen werden addiert).
5. Gleichung wird gelöst und die zweite Variable wird errechnet.
Bsp.
I 3x +5y = -47
II 2x -4y = 20
--------------------
3x +5y = -47 /*2
2x -4y = 20 /*(-3)
_______________
6x +10y = -94
-6x +12y = -60
_______________
+22y = -154
y = -7
zweite Variable errechen:
2x - 4*(-7) = 20
2x +28 = 20
2x = -8
x = -4
L = (-4;-7)
Beispiele
__________________________________
I x:y = 4:5 (Produkt Innenglieder = Produkt Außenglieder)
II 2(x+y) = 151,2
------------------------
x:y = 4:5
4y = 5x
------------------------
2(x+y) = 151,2
2x + 2y = 151,2 /-2x
2y = 151,2 -2x /*2
4y = 302,4 -4x
Gleichsetzungsverfahren:
5x = 302,4 -4x /+4x
9x = 302,4 /:9
x = 33,6
zweite Variable errechnen:
4y = 5*33,6
4y = 168
y = 42
L = (33,6; 42)
Lineare Ungleichungen
Randgerade - Halbebene
Bei der Umformung einer Ungleichung darf man
-gleiche Zahlen addieren oder subtrahieren
-mit der gleichen positiven Zahl multiplizieren oder dividieren
-mit der gleichen neagtiven Zahl multiplizieren oder dividieren, wenn man die Richtung des Relationszeichen umkehrt.
Bsp.
4-2x > x+7
-3 > 3x
-1 > x
Umformen zur Funktionsgleichung:
Bsp.
5x - 6y > 24 /-5
-6y > -5x + 24 /:6
-y > -5/6x +4 /(-1)
y < 5/6x - 4
