Einführung in die analytische Chemie: statistische Verfahren

• Die Gaussverteilung gilt nur für unendlich viele Messungen
• Für eine endliche Anzahl von Messungen muss die Gaussverteilung angepasst werden.
• Die t-Verteilung wird für eine sinkende Anzahl Freiheitsgrade (Anzahl Messungen - 1) immer breiter

• Normalverteilung gegeben, keine Aussreiser oder systematischen Abweichungen vorhanden
• Berechnung des Mittelwertes und dessen Standardabweichung
• Beachte Unerschied Standardabweichungen für Einzelmessungen und für Mittelwerte
• Festlegung der statistischen Sicherheit (1- γ bzw. P%) des Vertrauensbereiches (normalerweise durch Auftraggeber)
• Ermittung des t-Faktors t für die Vorliegenden Freiheitsgrade v = n - 1 aus einer Tabelle (Bild t-Verteilung)
• Vertrauensbereich: Bild
• Messwertangabe: c(Pt) = 

  c(Pt) = 4,2 ± 2,8 μgkg^-1(n= 4, P%= 95 %)

• Beispiel: Wiederhohlungsmessung eines Standards im Laufe eines Labortages jeweils nach einer festgelegten Anzahl von Messungen unbekannter Proben
• Anschauliche Darstellung der Vertrauensintervalle für eine Gauss-Verteilung
• Zeigt an, ob ein (analytischer) Prozess inerhalb festgelegter Grenzen verläuft
• und ob es einen systematischen Drift weg von der Zielgrösse (μ) gibt. 

• Lineare Regression
  • Funktionelle Beziehung zwischen Messsignal und Konzentration
  • Man wendet die Methode der kleinsten Quadrate an, um die "beste" Gerade (y=mx+b) zu ermitteln
  • Es wird angenommen, dass die Fehler der y-Werte wesentlich grösser als die der x-Werte sind
  • BIld
• Nicht lineare Regression
  • Es gibt analyseverfahren ohne lineare Korrelation von Signal und Konzentration

• Aufnahme einer Kalibrationsfunktion
• Messung eines Signals einer unbekannten Probe
• Ermittlung der Konzentrationaus der Umkehrfunktion der Kalibrationsfunktion; diese heisst Analysefunktion

• Die Unsicherheit der Kalibration nimmt mit der Entfernung vom Schwerpunkt zu
• Die Qualität (Güte) der Kalibration hat Auswirkungen auf die Unsicherheit des Analysenergebnisses

• Vorteile
  • sehr gut geeignet für Routinebetrieb (viele, ähnliche Proben)
  • viele Proben ohne zusätzlichen Aufwand analysierbar
  • Standardlösungen z.T. wiederverwendbar
• Nachteile
  • systematische Fehler schwer erkennbar
  • Matrixeffekte nicht korrigierbar, daher Probleme bei wechselnder Probenart
• Voraussetzungen
  • Verhältnisse in der Probe ähnlich denen der Standards
  • wenige systematische Fehlerquellen
  • hohe Reproduzierbarkeit aller Analyseschritte bei Standards und Proben

Beispiel: Bestimmung gleicher MnO₄^- Konzentrationen in zwei verschiedenen Matrizes

• Standardlösung in Matrix 1 (Wasser)
• Standardlösung in Matrx 2 (Wasser mit Kupfersulfat --> bläuliche Verfärbung, obwohl MnO₄^- Konzentration nicht höher sein muss!)

• Viskosität und Oberflächenspannung der Lösung
  • Verschiedene Konzentrationen von Lösungsmitteln oder Säuren 
  • Salzfrachten
  • Spuren organischer Bestandteile in wässrigen Lösungen
• Störsignale
  • Farbige Komponenten bei optischen Verfahren
  • Isotopeninterferenzen in der Massenspektrometrie
• Kontaminationen
  • Analyt an Gefässwandungen oder Chemikalien

• Matrixanpassung
  • Matrix der Standardlösungen an die Probenmatrix anpassen
  • viele Proben ohne „zusätzlichen“ Aufwand analysierbar
  • oft schwierig, da Probenmatrix nicht immer genau bekannt
• Interner Standard
  • Zugabe eines dem Analyten chemisch verwandten Standards in bekannter Konzentration
  • interner Standard darf in der Probe nicht vorhanden sein
  • Berechnung eines Response-Faktors
• Standardaddition
  • genaue Anpassung der Matrizes
  • hoher Aufwand notwendig

• Voraussetzung: Interner Standard und Analyt können simultan bestimmt werden.
• Beispiele:
  • CD₃COOH bei Bestimmung von CH₃COOH mit GC-MS
  • Rh in der Elementanalytik
• Ziel: Relative Messignale

• Untergrundsignal bei Bestimmungsmethoden, zusätzlich Kontamination (Blindwert) bei analytischen Gesamtverfahren
• Damit hängt kleinster, mit ausreichender statistischer Sicherheit erfassbarer Messwert von der Empfindlichkeit (Steigung der Kalibriergeraden) der Bestimmungsmethode ab

• Kleinster nachweisbarer Wert einer Messung
• Ziel: Ab welchem Signal kann eine Messung als grösser als der Blindwert angesehen werden?
• Nachweisgrenze: y_N = y_B + t_v,P% · s_B
  • y_B: Mittelwert des Untergrundsignals bzw. Blindwertes
  • s_B: Standardabweichung des Untergrundsignals bzw. Blindwertes
  • t_v,P%: Quantil der t-Verteilung; P% = 1 – α (1 – ß) 

• Mindestgehalt, der mit einem Messverfahren erfasst werden kann
• Ziel: Welches ist die kleinste Konzentration, bei der mit hoher Wahrscheinlichkeit ein signifikantes Messsignal erzeugt wird?

• Blindwert
  • Ist der Wahre Wert der Konzentration des Analyten gleich Null, wird in α% (Vertrauensbereich) Messungen ein falsch positives Signal erhalten
• Nachweisgrenze
  • Ist der Wahre Wert gleich der NAchweisgrenze, liefern genau 50% der Messungen ein signifikantes Messergebnis
• Erfassungsgrenze
  • Ist der Wahre Wert gleich der Erfassungsgrenze, wird in β% Messungen ein falsch negatives Signal erhalten

  • Ist α gleich β (Normalfall), gilt: y_E = 2 ^. y_NWG  

• Fehler 1. Art
• Vortäuschen eines nichtexistierenden Effekts
  • falsch positiver Schwangerschaftstest
  • falsch positiver Krebsvorsorgetest
  • falsch positiver Bestimmung einer Verunreinigung

• Fehler 2. Art
• Verschleiern eines existierenden Effekts