Cartes mémoires Analysis in einer Variable für LAK (Seite 1 von 2)

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Langue	Deutsch
Catégorie	Mathématiques
Niveau	Université
Crée / Actualisé	16.02.2014 / 03.08.2021
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Definition Stetigkeit

siehe Abb

Konvergenzkriterien für Reihen

siehe Abb

Tricks für Limiten

Erkläre anhand der Bsp, wie diese Limiten berechnet werden.

Im Zähler und Nenner durch größte Potenz von n dividieren (also durch n^5). Dann Grenzübergang machen => Ergebnis = 1/3.
Das selbe wie 1. hier ist aber n^(5/2) die größte Potenz. => Ergebnis = 0
Sandwich Theorem: (-1)^n/n ≤ cos(n)/n ≤ (-1)^n/n und lim( (-1)^n/n ) = 0 also ist auch lim(cos(n)/n)=0
Binomsche Formel verwenden: mit (sqrt(n^2+n+2)-sqrt(n^2+2)) erweitern und dann haben wir im zähler (a+b)(a-b). Dann wieder durch höchste von n dividieren => Endergebnis = 1/2

Definition Defferenzierbarkeit

siehe Abb

Definition stetig-differenzierbar

Wenn f' an der Stelle x stetig ist, so nennt man f an jener Stelle stetig differenzierbar.

Summenregel, Produktregel, Quotientenregel.

siehe Abb

Kettenregel

Seien f und g differenzierbar, so gilt Abb.

Extremstellen:

Definition lokales Maximum/ Minimum
Definition globales Maximum/ Minimum

+ Beweise, dass x lokale Extremstalle mit f diffferenzierbar in x <=> f'(x)=0 .

siehe Abb

Satz von ROLLE

siehe Abb

Beweis-Idee:

Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0

Mittelwertsatz

siehe Abb

Beweis Idee:

Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.

Theoriefrage 1:

Was ist eine lokale Extremstelle einer reellen Funktion? Was besagen der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz? Beweisen Sie beide Sätze.

Satz von ROLLE Beweis-Idee:

Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0

Mittelwertsatz Beweis-Idee:

Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.

Theoriefrage 2

Es sei f eine differenzierbar Funktion auf einem Intervall. Zeigen Sie, dass die Funktion konstant ist, wenn ihre Ableitung überall Null ist. Leiten Sie daraus ab: Wenn f'(x)=c·f(x) ist, dann gibt es eine Zahl a, sodass f(x)=a·e^cx ist.

erster Teil:

f'(x)=0
=> (f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁) = 0
=> f(x₂) = f(x₁)
das geht für alle x also ist f konstant

zweiter Teil:

f'(x)=c*f(x)
Betrachte g(x):=f(x)*e^-cx
g'(x) = f'(x)*e^-cx + f(x)*(-c)e^-cx = c*f(x)*e^-cx - c*f(x)*e^{-cx = 0}
=> g(x) ist konstant
=> g(x)=a

Satz zur Feststellung von Extremwerten (III.3.10)

siehe Abb

Beweis-Idee für Minimum:

f''(x)>0
lim( (f'(y)-f'(x)) / (y-x) ) > 0
Das heißt es gibt eine Epsilonumgebung um x, s.d. alle y daraus (f'(y)-f'(x)) / (y-x) > 0 erfüllen.
weil f'(x)=0 gilt also ( f'(y) / (y-x) ) > 0. Unterscheide folgende Fälle:
- y<x => f'(y)<0
- x<y => f'(y)>0
Bis unmittelbar vorher fällt f also und unmittelbar danach steigt es wieder.
=> x ist ein lokales Minimum

Verallgemeinerter Mittelwertsatz

Beweis-Idee:

Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
Betrachte h(a)=h(b).
Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.

Theoriefrage 3:

Formulieren und beweisen Sie den Mittelwertsatz und den verallgemeinerten Mittelwertsatz.

siehe Abb

Beweis-Idee MWS:

Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.

verallg. MWS Beweis-Idee:

Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
Betrachte h(a)=h(b).
Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.

Theoriefrage 4:

Es sei f eine differenzierbar Funktion auf einem Intervall. Zeigen Sie, dass die Funktion steigend ist, wenn ihre Ableitung überall positiv ist.
Zeigen Sie außerdem: Wenn f'(x)=0 und f''(x)<0 für ein x in diesem Intervall, dann ist dieses x ein lokales Maximum.
Ohne Beweis: Wie kann anhand höherer Ableitungen festgestellt werden, ob f in x ein Maximum oder Minimum hat, wenn f'(x)=f''(x)=0 ist?

erster Teil

Wir wählen x_1<x_{2 und es gilt laut Angabe immer}(f(x₂)-f(x₁)) / (x₂-x₁) > 0
=> f(x₂)>f(x₁)
=> f ist st.m.st.

zweiter Teil (Satz zur Feststellung von Extremstellen)

f''(x)>0
lim( (f'(y)-f'(x)) / (y-x) ) > 0
Das heißt es gibt eine Epsilonumgebung um x, s.d. alle y daraus (f'(y)-f'(x)) / (y-x) > 0 erfüllen.
weil f'(x)=0 gilt also ( f'(y) / (y-x) ) > 0. Unterscheide folgende Fälle:
- y<x => f'(y)<0
- x<y => f'(y)>0
Bis unmittelbar vorher fällt f also und unmittelbar danach steigt es wieder.
=> x ist ein lokales Minimum

dritter Teil

Wenn f''(x)=0 so liegt ein Wendepunkt vor.
Wenn zusätzlich auch f'(x)=0, so ist die Tangente im Wendepunkt waagrecht und es liegt keine Extremstelle vor.
zB f(x)=x³

Kampaktifizierung

Was bedeutet das?
Nenne eine Möglichkeit für die Reellen Zahlen.

Bei der Kompaktifizierung werden alle Zaheln auf ein geschlossenes Intervall abgebildet und trotzdem bleibt die Abbildungsmenge ein metrischer Raum.

f: R -> [-1,1] mit f(x)= x / (|x|+1) und mit f(+infty)=1 und mit f(-infty)=-1 ist ein Bsp für eine funktion, die gemeinsam mit der Abstandsfunktion d(x,y) = |f(x)-f(y)| eine Kampaktifizierung bildet.

Theoriefrage 5:

Wie lautet die Regel von de l'Hospital? Wenden Sie die Regel in Beispielen an.

siehe Abb

Theoriefrage 6*:

Beweisen Sie die Regel von de l'Hospital.

Die Limiten gehen hier immer von x->b-

Beweis-Idee:

Weil f,g diffbar sind muss der verallgmeinerte MWS gelten.
(f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) ist also das Gleiche wie ein gewisses f'(Xi)/g'(Xi).
f'(Xi)/g'(Xi) liegt beliebig nahe am lim(f'(x)/g'(x)).

Wenn 1) gilt:

Dann ist der folgende Limes lim(f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) = f(x)/g(x).
Damit ist aber auch klar, dass sowohl f(x)/g(x) als auch f'(x)/g'(x) den selben Limes haben.

Wenn 2) gilt:

Wir haben gezeigt dass (f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) beliebig nahe an lim(f'(x)/g'(x)) liegt also es liegt in einer Umgebung davon.
Wenn wir nun (f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) * (g(x)-g(y)) / g(x) rechnen, liegt dies wieder in jener mit (g(x)-g(y)) / g(x) multiplizierten Umgebung. Jene
lim((f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) * (g(x)-g(y)) / g(x)) = lim(f(x)/g(x)) also liegt auch das in jener Umgebung.
Damit ist aber auch klar, dass sowohl f(x)/g(x) als auch f'(x)/g'(x) den selben Limes haben.

Theoriefrage 7:

Wie sind Konvexität und Konkavität einer reellen Funktion definiert?
Wie hängen diese Eigenschaften mit der zweiten Ableitung zusammen (mit Beweis)?

f''(x)>0 auf [x₁,x₂] <=> f konvex auf [x₁,x₂]
f''(x)<0 auf [x₁,x₂] <=> f konkav auf [x₁,x₂]

Beweis-Idee

In der Definition der Kovexität steckt ja eigentlich eine Abfrage der Steigung in [x₁,x₂] mit Hilfe des Parameters Lambda.
Nehmen wir an die Steigung steigt. Wir können uns zwei beliebige Punkte p₁ und p₂ suchen und sagen f'(p₁₎<f'(p₂)
Drücken wir nun p₁ und p_{2 durch}x₁ und x₂_{mit dem Paramter Lambda} aus, so sind wir bei der Definition der Konvexität angelangt.

Theoriefrage 8:

Wie lautet der Satz von Taylor?
Bestimmen Sie Taylorentwicklungen zu gegebenen Funktionen (Polynome bestimmter Länge mit Restglied oder ganze Reihen).

siehe Abb.

Begrifflichkeiten

Das Taylorpolinom ist die Summe von 0 bis n und hat immer Grad n.
Wenn das Restglied für alle x und mit n gegen unendlich gegen 0 geht, so nennt man die Summe (mit n gegen unendlich) Taylorreihe oder Taylorentwicklung..

Bsp 29ff

Theoriefrage 9*:

Beweisen Sie den Satz von Taylor.

Beweis-Idee:

Wir formen was z.z. ist auf 0 um und werden diese Aussage zeigen.
Wir betrachten g(x):= f(t) - T(t) - (f(x)-T(x)/(x-x₀)ⁿ * (t-x₀)ⁿ
Die Ableitungen von g(x) sind bis zur n-1ten immer 0.
Betrachten wir die zu zeigende im ersten Schritt umgeformte Aussage, so sehen wir, dass die Aussage die nte Ableitung von g(x) ist. Wir suchen also deren Nullstelle.
Wenden wir sen Satz von Rolle immer wieder auf g an, so bekommen wir diese Nullstelle (nämlich Xi).

Theoriefrage 10:

Definieren Sie punktweise und gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.
Zeigen Sie, dass der Limes einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktinen stetig ist.
Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass das im Allgemeinen nicht für punktweise konvergente Folge stetiger Funktionen gilt.

siehe Abb

Gegenbeispiel: f_n(x)= n-te Wurzel aus x
=> f(x)=0 für x=0 und f(x)=1 für x>0

Theoriefrage 11:

Formulieren Sie unter Verwendung der gleichmäßigen Konvergenz ein Kriterium dafür, wann bei einer Funktionenfolge der Grenzwert der Ableitungen gleich der Ableitung ihres Grenzwerts ist. Geben Sie alle Voraussetzungen exakt an.

Theoriefrage 12: *)

Führen Sie den Beweis durch.

Voraussetzung siehe Abb.

f_n diffbar auf [a,b]
f_n punktweise konvergent
f_'n gleichmäßig konvergent

Beweis-Idee:
(im Folgenden steht lim() immer für den Limes mit n gegen unendlich)

z.z. lim(f_'n(x)) = (lim(f_n(x)))'
Wenn Voraussetzung 1.-3. erfüllt sind, können wir den Satz vom gliedweisen Differenzieren anwenden und wissen dass lim(f_n(x)) = f(x) und dass lim(f_'n(x)) = f'(x), womit die Ausgangsgleichung klar ist.

Theoriefrage 13:

Was besagen das Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz?
Was besagt der Staz von Weierstraß?
Wie folgt aus dem Cauchy-Kriterium der Satz von Weierstraß?
Wenden Sie den Satz von Weierstraß für gegebene Beispiele an.

siehe Abb
siehe Abb
???
Bsp 33ff

Theoriefrage 14

Was ist eine Potenzreihe?
Bestimmen Sie zu gegebenen Beispielen den Konvergenzradius.
Es sei x₀ der Mittelnkt der Reihenentwicklung und r der Konvergenzradius. Auf wechen Kreisscheiben mit Mittelpunkt x₀ ist die Reihe gleichmäßig konvergent.

siehe Abb
Bsp 33ff
Idee:

Die Reihe ist nach dem Wurzelkriterium auf dem Rand und im Inneren konvergent.
Nach dem Satz von Weierstraß ist sie auch im selben Intervall glm. konv.

Theoriefrage 15

Zeigen Sie, dass eine Potenzreihe (genauer: ihre Summenfunkion) im Inneren ihres Konvergenzbereichs beliebig oft differenzierbar ist. Sie können dafür allgemeinere Sätze über gleichmäßige Konvergenz verwenden, sofern Sie diese mit allen entsprechenden Voraussetzungen formulieren.

siehe Abb.

Theoriefrage 16:

Formulieren und beweisen Sie den Identitätssatz für Potenzreihen.

siehe Abb.

Beweis Idee:

Induktion nach n
Zeige dass bei n=0 folgt dass a₀=b₀ (durch limes Vertauschen wegen Stetigkeit)
Zeige dass bei n+1 folgt dass a_n+1=b_n+1

Theoriefrage 17:

Definieren Sie folgende Begriffe einer reellen Funktion auf einem kompakten Intervall:
- Feinheit einer Zerlegung
- Treppenfunktion
- Riemann-Integral
- Ober- und Untersumme
Bestimmen Sie Ober- und Untersummen bzw. oberes und unteres Integral einer gegebenen reellen Funktion.

siehe Abb.

Theoriefrage 18: *
Zeigen Sie, dass jede reelle stetige Funktion auf einem kompakten Intervall integrierbar ist.

Theoriefrage 19:

Formulieren und beweisen Sie den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

siehe Abb

Theoriefrage 20a

Beweisen Sie den Hauptsatz (1) der Differential- und Integralrechnung.

siehe Abb.

Theoriefrage 20b

Beweisen Sie den Hauptsatz (2) der Differential- und Integralrechnung.

siehe Abb

Anm.:
In der ersten Zeile sollte die linke Seite der Gleichung eigentlich abgeleitet stehen (....)'= f'(x) - f'(x) = 0

Theoriefrage 21:

Bweisen Sie die Regel für partielle Integration und Integration durch Substitution.
Wenden Sie diese Regeln für Beispiele an (z.B. Bestimmung Kresifl.).

siehe Abb

Bestimmung der Fläche eines Viertelkreises:

f(x) = sqrt(r²-x²) = r * sqrt(1-(x/r)²)
Wir betrachten das Integral von f(x) im Bereich 0 bis r
Wir substituieren u = x/r und erhalten so das Integral von 0 bis 1 von sqrt(1-u²)
Wir substituieren u = sin(t) und erhalten so das Integral von 0 bis Pi/2 von cos²(t).
Wir integrieren partiell und erhalten <ausarbeiten>

Theoriefrage 22a

Definieren Sie uneigentliche Integrale 1. Art.

siehe Abb

Theoriefrage 22b

Definieren Sie uneigentliche Integrale 2. Art.

siehe Abb

Theoriefrage 22c

Bestimmen Sie, welche Arbeit eine Rakete leistet, die von der Erdoberfläche in das Weltall hinaus aus dem Anzieghungsbereich der Erde fliegt.

siehe Abb

Theoriefrage 23

Zeigen Sie, dass das Cauchy-Kriterium für uneigentliche Integrale genau dann erfüllt ist, wenn das uneigentliche Integral konvergiert.

Beweis Idee (Satz 4.5.3)

1 => 2
- Durch geeignete Umformungen zeigen wir, dass rot+grün=rot ist. => grün=0
2 => 3
- Wir schreiben (2) jetzt in etwas anderer Form auf, mit einer Epsilon-Formulierung und benennen das h schonmal zu r um.
- Dann betrachten wir das Integral von r bis s von f(x) und schreiben es als Differenz von Integralen der roten Form auf.
- Durch die Dreiecksgleichung kommen wir dann zu (3).
3 => 1
- Wir schreiben (3) nun anders auf und ersetzen r und s jeweils durch x_n und x_m einer Folge (x_n)_{die Grenzwert +unendlich hat.}
- Dann schreiben wir das Integral x_n bis x_m wieder als Differenz auf und nennen Summanden I_n und I_m.
- Nun liegt die Definition einer Cauchyfolge vor uns, I_n ist also eine Cauchyfolge.
- Das heißt I_nist auch konvergent, also existiert der Limes mit n -> unendlich.
- Schreiben wir für I_n den entsprechenden Summanden und bennen n in h um so sind wir wieder bei (1) angelangt.

Theoriefragen 24:

Formulieren und beweisen Sie das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale und wenden Sie Sei es an gegebenen Beispielen an.

siehe Abb

Theoriefrage 25:

Formulieren und beweisen Sie das Integralkriterium für Reihen und wenden Sie Sei es an gegebenen Beispielen an.

siehe Abb

Analysis in einer Variable für LAK

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