Analysis in einer Variable für LAK
Universität Wien, SPL Mathematik, LV-Nr: 250028, LV-Titel: Analysis in einer Variable für LAK, LV-Leiterin: Krön, WS 13/14
Universität Wien, SPL Mathematik, LV-Nr: 250028, LV-Titel: Analysis in einer Variable für LAK, LV-Leiterin: Krön, WS 13/14
Kartei Details
| Karten | 52 |
|---|---|
| Lernende | 12 |
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 16.02.2014 / 03.08.2021 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/_analysis_in_einer_variable_fuer_lak
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Theoriefrage 23
Zeigen Sie, dass das Cauchy-Kriterium für uneigentliche Integrale genau dann erfüllt ist, wenn das uneigentliche Integral konvergiert.
Beweis Idee (Satz 4.5.3)
- 1 => 2
- Durch geeignete Umformungen zeigen wir, dass rot+grün=rot ist. => grün=0
- 2 => 3
- Wir schreiben (2) jetzt in etwas anderer Form auf, mit einer Epsilon-Formulierung und benennen das h schonmal zu r um.
- Dann betrachten wir das Integral von r bis s von f(x) und schreiben es als Differenz von Integralen der roten Form auf.
- Durch die Dreiecksgleichung kommen wir dann zu (3).
- 3 => 1
- Wir schreiben (3) nun anders auf und ersetzen r und s jeweils durch xn und xm einer Folge (xn) die Grenzwert +unendlich hat.
- Dann schreiben wir das Integral xn bis xm wieder als Differenz auf und nennen Summanden In und Im.
- Nun liegt die Definition einer Cauchyfolge vor uns, In ist also eine Cauchyfolge.
- Das heißt In ist auch konvergent, also existiert der Limes mit n -> unendlich.
- Schreiben wir für In den entsprechenden Summanden und bennen n in h um so sind wir wieder bei (1) angelangt.
Theoriefragen 24:
Formulieren und beweisen Sie das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale und wenden Sie Sei es an gegebenen Beispielen an.
siehe Abb
Theoriefrage 25:
Formulieren und beweisen Sie das Integralkriterium für Reihen und wenden Sie Sei es an gegebenen Beispielen an.
siehe Abb
Wie hängen konstante Funktionen und die erste Ableitung zusammen?
siehe Abb
- Wie hängt die n-te Ableitung einer ungeraden Funktion mit deren Extremstellen zusammen?
- Wie hängt die n-te Ableitung einer geraden Funktion mit deren Extremstellen zusammen?
siehe Abb
Wo konvergiert/ divergiert eine Potenzreihe?
Sei r = lim(1/a(1/n)) also der Konvergenzradius.
- Die PR konvergiert in [x0-r,x0+r].
- Die PR divergiert außerhalb davon.
Wann ist die Grenzfunktion f(x) einer Funktionenfolge fn(x) stetig?
siehe Abb.
Wann gilt Abb?
siehe Abb
Ist der Mittelpunkt x0 einer Potenzreihe verschiebbar (gemeinsam mit dem Konvergenzintervall)?
Wie hängen Begriffe aus der Algebra mit dem Integral zusammen?
Die Menge der Treppenfunktionen auf [a,b] zu einer Funktion f mit Zerlegung Z bilden einen Vektorraum.
Ein Funkional ist eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in dessen Körper.
Das Integral ist ein Funktional.
Nenne hinreichende Kriterien für Integrierbarkeit.
Sei f: [a,b] -> R
- f stetig => f integrierbar
- f monoton => f integrierbar
Formuliere den Satz zu den LAGRANGE-Multiplikatoren
siehe Abb
Definition: Weg
siehe Abb
Definition: Tangentialvektor
siehe Abb
Definition: reguläre und stückweise reguläre Wege
siehe Abb
Definition Stetigkeit
siehe Abb
Konvergenzkriterien für Reihen
siehe Abb
Tricks für Limiten
Erkläre anhand der Bsp, wie diese Limiten berechnet werden.
- Im Zähler und Nenner durch größte Potenz von n dividieren (also durch n^5). Dann Grenzübergang machen => Ergebnis = 1/3.
- Das selbe wie 1. hier ist aber n^(5/2) die größte Potenz. => Ergebnis = 0
- Sandwich Theorem: (-1)^n/n ≤ cos(n)/n ≤ (-1)^n/n und lim( (-1)^n/n ) = 0 also ist auch lim(cos(n)/n)=0
- Binomsche Formel verwenden: mit (sqrt(n^2+n+2)-sqrt(n^2+2)) erweitern und dann haben wir im zähler (a+b)(a-b). Dann wieder durch höchste von n dividieren => Endergebnis = 1/2
Definition Defferenzierbarkeit
siehe Abb
Definition stetig-differenzierbar
Wenn f' an der Stelle x stetig ist, so nennt man f an jener Stelle stetig differenzierbar.
Summenregel, Produktregel, Quotientenregel.
siehe Abb
Kettenregel
Seien f und g differenzierbar, so gilt Abb.
Extremstellen:
- Definition lokales Maximum/ Minimum
- Definition globales Maximum/ Minimum
+ Beweise, dass x lokale Extremstalle mit f diffferenzierbar in x <=> f'(x)=0 .
siehe Abb
Satz von ROLLE
siehe Abb
Beweis-Idee:
- Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
- Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
- Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0
Mittelwertsatz
siehe Abb
Beweis Idee:
- Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
- Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
- Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
- Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
Theoriefrage 1:
Was ist eine lokale Extremstelle einer reellen Funktion? Was besagen der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz? Beweisen Sie beide Sätze.
Satz von ROLLE Beweis-Idee:
- Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
- Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
- Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0
Mittelwertsatz Beweis-Idee:
- Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
- Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
- Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
- Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
Theoriefrage 2
Es sei f eine differenzierbar Funktion auf einem Intervall. Zeigen Sie, dass die Funktion konstant ist, wenn ihre Ableitung überall Null ist. Leiten Sie daraus ab: Wenn f'(x)=c·f(x) ist, dann gibt es eine Zahl a, sodass f(x)=a·ecx ist.
erster Teil:
- f'(x)=0
- => (f(x2)-f(x1))/(x2-x1) = 0
- => f(x2) = f(x1)
- das geht für alle x also ist f konstant
zweiter Teil:
- f'(x)=c*f(x)
- Betrachte g(x):=f(x)*e-cx
- g'(x) = f'(x)*e-cx + f(x)*(-c)e-cx = c*f(x)*e-cx - c*f(x)*e-cx = 0
- => g(x) ist konstant
- => g(x)=a
Satz zur Feststellung von Extremwerten (III.3.10)
siehe Abb
Beweis-Idee für Minimum:
- f''(x)>0
- lim( (f'(y)-f'(x)) / (y-x) ) > 0
- Das heißt es gibt eine Epsilonumgebung um x, s.d. alle y daraus (f'(y)-f'(x)) / (y-x) > 0 erfüllen.
- weil f'(x)=0 gilt also ( f'(y) / (y-x) ) > 0. Unterscheide folgende Fälle:
- y<x => f'(y)<0
- x<y => f'(y)>0
- Bis unmittelbar vorher fällt f also und unmittelbar danach steigt es wieder.
- => x ist ein lokales Minimum
Verallgemeinerter Mittelwertsatz
Beweis-Idee:
- Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
- Betrachte h(a)=h(b).
- Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
- Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.
Theoriefrage 3:
Formulieren und beweisen Sie den Mittelwertsatz und den verallgemeinerten Mittelwertsatz.
siehe Abb
Beweis-Idee MWS:
- Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
- Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
- Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
- Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
verallg. MWS Beweis-Idee:
- Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
- Betrachte h(a)=h(b).
- Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
- Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.
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