Lineare Algebra I

Bsp 0.13. Potenzmenge

• \(M = \{0,1\} \Longrightarrow P(M) = \{ \emptyset, \{0\},\{1\}, \{0,1\}\}\)
•  ist M eine endliche Menge mit n Elementen, so ist P(M) eine endliche Menge

mit 2ⁿ Elementen. Dies folgt mit elementarer Kombinatorik: für jedes Element
gibt es genau 2 Möglichkeiten: in der Teilmenge enthalten zu sein oder nicht.

Unendlich viele Mengen werden typischerweise
in der Form \((M_i)_{i\in I}\)durchnummeriert, wobei \(I\) eine Menge ist, die man
Ihrer Rolle wegen auch Indexmenge nennt. Man sagt,\((M_i)_{i\in I}\)  ist eine durch \(I\)
indizierte Familie von Mengen.

Def 0.14. 

Seien\(K, L\) Teilmengen einer Menge \(M\) und \((M_i)_{i\in I}\) eine Familie
von Teilmengen von M. Dann bildet man die folgenden Mengen

(i) \(\bigcup \limits_{i\in I} M_i = \{ m \in M | \space\exists \space i\in I : m\in M_i\} \)  (Vereinigung) 

(ii) \(\bigcap \limits_{i \in I} M_i = \{m \in M |\space m \in M_i \space \forall i\in I\} \)   (Durchschnitt)

(iii) \(K \setminus L =\{ m\in K | \space m \notin L\} \)  (Komplement)  auch \(K - L\)

Def 0.16

Sei \((M_i)_ {i\in I}\) eine Familie von Teilmengen einer Menge M. Man
sagt, \(M\) ist die disjunkte Vereinigung der \(M_i\) und schreibt 

\(M= \bigcup \limits^. _{i\in I} M_i\)   oder auch \(M= \coprod\limits_{i \in I} M_i\)

wenn \(M= \bigcup_{i \in I} M_i\) und \(M_i \cap M_j=\emptyset \) für \(i\not= j\) gilt

Def 0.17

Die Menge \(M_1 \times \cdot \cdot \cdot \times M_n\)  besteht aus allen n-Tupeln (m₁, ... , m_n)  mit \(m_1 \in M , ... , m_n \in M_n\)und heißt die Produktmenge

Bei Familien schreibt man auch \(\prod\limits_{i\in I} M_i\)

Bsp. 0.18

\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\)

\(\mathbb {R} \times \emptyset =\emptyset\)

Def 0.20

Sei \(f: M \longrightarrow N\) eine Abb.  , so ist

\(i: M \longrightarrow N\)  die kanonische Inklusionsabb. falls \(M \subset N\)

m (aufgefasst als Element von M) \(\longmapsto\) m (aufgefasst als Element von N)

und \(id: M \longrightarrow N, \space m \longmapsto m\) die Identitätsabbildung, falls \(M = N\)

Def 0.22

Zwei Abb. heißen gleich, wenn: 

\(f, g: M \longrightarrow N \space \space f(m)=g(m) \space \space \forall m\in M\)

Homomorphismen sind Strukturerhaltende Abbildungen.

Def 1.21. 

Seien \((G,*_G ,e_G)\) und \((H,*_H, e_H)\) Gruppen. Eine Abbildung
\(f:G \longrightarrow H\) heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle \(g, g^{'} \in G\) gilt

\(f(g*_G g^{'}) =f(g) *_H f(g^{'})\)

Sind \((R, +_R, \cdot_R,0_R)\) und \((S, +_S,\cdot_S,0_S)\)  Ringe, so heißt eine Abb. \(f:R \longrightarrow S\)

Ringhomomorphismus, wenn für alle \(a,b\in R\) gilt 

\(f(a+_Rb)=f(a)+_S f(b), \space f(a\cdot_R b)= f(a) \cdot_S f(b)\)

Ein Ringhomomorphismus \(f:R \longrightarrow S \) von Ringen mit 1 \((R, +_R, \cdot_R, 0_R,1_R)\) und  \((S, +_S,\cdot_S,0_S,1_S)\) heißt unitär, wenn zusätzlich gilt: \(f(1_R)=1_S\)

Eine Abb von Körpern heißt Körperhomomorphismus, wenn sie ein unitärer Ringshomomorphismus ist. 

Def 1.22. 

Ein Gruppen-(Ring-, Körper-)homomorphismus heißt Gruppen-
(Ring-, Körper-) Isomorphismus, wenn er bijektiv ist. Zwei Gruppen (Ringe,
Körper) heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.

Bem 1.23. 

Die inverse Abbildung \(f^{-1}\) zu einem Gruppen- (Ring-, Körper-)
Isomorphismus ist wieder ein Gruppen-(Ring-, Körper-)Isomorphismus

Lem 1.24

Sei \(f: (G, *_G,e_G) \longrightarrow (H,*_H,e_H)\) ein Gruppenhomomorphismus. 

Dann gilt

(i) \(f(e_G)=e_H\)

(ii)\(f(g^{-1})=f(g)^{-1} \space \forall g\in G\)

Bsp 1.25

• Ist \((G,*,e)\) eine Gruppe, so ist die Identität \(id: G \longrightarrow G\)  ein Gruppenisomorphismus 
• Sind  \((G,*_G,e_G), \space (H,*_H,e_H)\) Gruppen, so ist die triviale Abb.\(f: G \longrightarrow H, \space f(g)=e_H \space \forall g\in G\) ein Gruppenhomomorphismus  
• Sei \(n\in \mathbb{N}\). Die Restklassenabbildung (Kanonische Projektion) \(\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \space\space a\longmapsto \bar {a}\)  ist ein surjektiver, unitärer Ringhomomorphismus.

Def 1.26.

Eine Teilmenge \(H\) einer Gruppe \((G,*,e)\) heißt Untergruppe , wenn sie mit der von \(G\) geerbten Struktur eine Gruppe ist, d.h.

(i) \(e \in H\)

(ii) \(h,h^{'} \in H \Rightarrow h*h^{'} \in H\)

(iii) \(h \in H \Rightarrow h^{-1}\in H\)

Sei \(n \in \mathbb{N}\). Die Abbildung

\(\mathfrak{S}_n \longrightarrow \mathfrak{S}_{n+1}\)

\(\left ( \begin{array}{ccc} 1& ...& n \\ \pi(1) & ... & \pi(n) \end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{cccc} 1 & ... & n, & n+1 \\ \pi(1) & ... & \pi(n), & n+1 \end{array} \right)\)

ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus

Bsp 1.25.

Die Exponentialabb. 

\((\mathbb{R},+,0)\longrightarrow (\mathbb{R}_{>0},\cdot,1)\)

\(t \longmapsto e^t\)

ist ein Gruppenisomorphismus.

Def. 2.15.

Ein Vektorraum ist deifiniert als ein unitärer Linksmodul über einem unitärem Ring \(R\), welcher eine abelsche Gruppe \((M,+_M,0_M)\)  mit der Operation 

\(R \times M \longrightarrow M, \space (a,m) \mapsto a\cdot m\)

so dass für alle \(a,b\in R, \space v,w\in M\) gilt 

(M1) \(a \cdot(b\cdot v) = (a \cdot b) \cdot v\)

(M2) \((a + b) \cdot v= a\cdot v + b\cdot v\)

(M3) \(a\cdot (v + w)=a\cdot v + a\cdot w \)

(M4) \(1_R \cdot v=v\)

Def 2.16.

Ein Modul über einem Körper \(K\) heißt K-Vektorraum

Bsp. 2.17

• \(\{0\}\) mit der offensichtlichen (und einzig möglichen) Operation  ist ein K-Vektorraum.
• \((K, +_K,0_K)\) mit der Operation \(K\times K \rightarrow K, \space (a,v) \mapsto av\)  ist ein K-Vektorraum. 
• \(K^{n}= K\times \cdot \cdot \cdot \times K \) (n-mal) wird zum K-Vektorraum  durch:   \((v_1, ...,v_n)+(w_1,...,w_n)=(v_1+w_1,...,v_n+w_n)\) und  \(a(v_1, ...,v_n)=(av_1, ...,av_n)\)

•  

Lemma 2.18 Sei V ein K-VR. Dann gilt für alle \(v\in V, a \in K\)

(i) \(0_K \cdot v= 0_V\)

(ii)\((-1)_K v=-v\)

(iii)\(a \cdot 0_V=0_V\)

Def. 2.19.

Es seien V,W K-VR. Ein Gruppenhomomorphismus \(f:V\longrightarrow W\)

heißt (K-) lineare Abbildung oder (K-)Vektorraumhomomorphismus wenn \(f(ax)=af(x)\space \forall x \in V\)gilt. Die Menge der linearen Abb. von V nach W wird mit \(Hom_K(V,W)\) bezeichnet.

Spezial Fälle von VR-Homomorphismen:

Epimorphismus wenn der Homomorphismus surjektiv ist

Endomorphismus \(End_K(V)=Hom_K(V,V)\) wenn f von demselben in den selben VR abbildet. (also V=W gilt)

Automorphismus \(GL(V)=Aut_K(V)=\{\phi \in End_K(V) |\space \phi \space Isomorphismus\}\) wenn V=W also \(f:V \longrightarrow V\) und f bijektiv ist.

Def. 2.20. 

Eine Teilmenge W eines Vektorraumes V heißt Untervektorraum,
wenn sie mit den von W geerbten Strukturen ein Vektorraum ist, d.h.

(i) W ist Untergruppe von V
(ii) \(w\in W \Longrightarrow a\cdot w \in W \space \forall a\in K\)

Bsp. 2.21.

\(V=\{(x,y,z)\in \mathbb{R^3}| \space x+y+z=0\}\) ist ein Untervektorraum von \(\mathbb{R^3}\) 

Lemma 2.22.

Sei \(f: V\longrightarrow W\) eine K-Lin Abb. Dann gilt:

(i)\( Kern(f)\subset V\) ist ein Untervektorraum

da für \(v \in Kern(f)\) gilt  \(f(av)=af(v)=a \cdot0_W=0_W\) also \(av\in Kern(f) \space \forall a\in K\)

(ii)\(Bild(f) \subset W \)ist ein Untervektorraum

da für \(w=f(v)\in Bild(f)\) gilt \(a\cdot w=a \cdot f(v) =f(a \cdot v)\in Bild(f)\)

Operationen auf Vektorräumen

1) Seien U,V K-Vektorräume und M eine Menge. 

(a) \(Abb(M,V)\) wird zum Vektorraum durch 

\((f_1 +f_2) (m)=f_1(m)+f_2(m), \space (af)(m)=a(f(m))\)

neutrales Element: \(e(m)= 0_V \space \space \forall m\in M\) (,,Nullabbildung"), Beziechnung \(0 \in Abb(M,V)\)

\(Hom_K(U,V)\subset Abb(U,V)\) ist ein Untervektorraum, weil: 

-0 ist eine lineare Abbildung

-\(f_1,f_2 \) linear \(\Longrightarrow f_1+f_2 \) linear 

-\(a\in K, f \) linear \(\Longrightarrow af \) linear

\(Hom_K(U,V)\subset Abb(U,V)\) ist ein Untervektorraum, weil: 

-0 ist eine lineare Abbildung

-\(f_1,f_2 \) linear \(\Longrightarrow f_1+f_2 \) linear 

-\(a\in K, f \) linear \(\Longrightarrow af \) linear

Es gilt \(Hom_K(U,V) \subset Abb(U,V)\) ist ein Untervektorraum

Spezialfall: \(V=K\)

Def.2.23.

\(U^*:=Hom_K(U,K)\)

der Dualraum zu U, seine Elemente heißen die Linearformen auf U

Ist \(f:U \longrightarrow V\) eine lineare Abbildung, so ist die duale Abbildung

\(???????\)

__________

Die Abbildung

 \(*:Hom_K(U,V) \longrightarrow Hom_K(V^*,U^*)\)

\(f\longmapsto f^*\)

ist linear

Die Abbildung bildet von dem Vektorraum U auf dessen Bidualraum ab:

\(U \longrightarrow (U^*)^*, \space \space u \longmapsto(f \mapsto f(u))\)

ist linear und heißt die Auswertungsabbildung 

Das kartesische Produkt \(U\times V\) wird durch \((u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,v_1+v_2)\)
und \(a(u,v)=(au,av)\)zu einem K-Vektorraum.
Alternative Bezeichnung : \(U \oplus V\) (die direkte Summe).

Seien \(U_1,U_2\subset V\) Untervektorräume.

(i): \(U_1 \cap U_2\) ist ein Untervektorraum in V

(ii): \(U_1+U_2=\{u_1+u_2| \space u_1\in U_1, u_2\in U_2\}\) ist ein Untervektorraum in V

Lemma 2.24.

Die natürliche Abbildung 

\(\varphi:U_1 \oplus U_2 \longrightarrow U_1+U_2, \space (u_1,u_2)\mapsto u_1+u_2\)

ist linear und surjektiv. Gilt \(U_1\cap U_2=\{0\}\) so ist \(\varphi\) ein Isomorphismus

Sei \(U\subset V\)ein Untervektorraum. Die Faktorgruppe \(V/U\) der Nebenklassen
\(v+ U\) von V modulo U wird ein K-Vektorraum durch
\(a \cdot (v+U)=a\cdot v +U\)
Unabhängigkeit von der Auswahl: Ist \(v_1+U=v_2+U\), so gilt \(v_1-v_2\in U\). Folglich:
\(av_1-av_2=a(v_1-v_2)\in U\)und daher \(av_1+U=av_2+U\)
\(V/U\) heißt  der Faktorvektorraum. Die kanonische Projektion \(p: V\longrightarrow V/U\)
ist linear. 

Def. 0.43.

Seien M;N;K Mengen und \(f: M\longrightarrow N, \space g: N \longrightarrow K\) Abbildungen.
Die Abbildung: \(g \circ f: M \longrightarrow K, m \longmapsto g(f(m))\) heißt die Komposition von f und g. Die Komposition kann man als Mengenabbildung auffasen :

\(\circ:Abb(M,N)\times Abb(N,K) \longrightarrow Abb(M,K)\)

\((f,g) \mapsto g\circ f\)

Kor. 2.27.

Sei \(f: V\longrightarrow W\)eine lineare Abbildung. Dann gibt es einen
natürlichen Isomorphismus

\((W/Bild(f))^* \cong Kern(f^*:W^* \longrightarrow V^*)\)