Lineare Algebra I
Alle Lemmata und Korollare aus der Lineare Algebra I Vorlesung der Universität Heidelberg WS19/20
Alle Lemmata und Korollare aus der Lineare Algebra I Vorlesung der Universität Heidelberg WS19/20
Kartei Details
Karten | 52 |
---|---|
Sprache | Deutsch |
Kategorie | Mathematik |
Stufe | Universität |
Erstellt / Aktualisiert | 23.12.2019 / 25.10.2020 |
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Sei \(U\subset V\)ein Untervektorraum. Die Faktorgruppe \(V/U\) der Nebenklassen
\(v+ U\) von V modulo U wird ein K-Vektorraum durch
\(?\)
Unabhängigkeit von der Auswahl: Ist \(v_1+U=v_2+U\), so gilt \(v_1-v_2\in U\). Folglich:
\(av_1-av_2=a(v_1-v_2)\in U\)und daher \(av_1+U=av_2+U\)
\(V/U\) heißt der ___________. Die kanonische Projektion \(p: V\longrightarrow V/U\)
ist ___________
Sei \(U\subset V\)ein Untervektorraum. Die Faktorgruppe \(V/U\) der Nebenklassen
\(v+ U\) von V modulo U wird ein K-Vektorraum durch
\(a \cdot (v+U)=a\cdot v +U\)
Unabhängigkeit von der Auswahl: Ist \(v_1+U=v_2+U\), so gilt \(v_1-v_2\in U\). Folglich:
\(av_1-av_2=a(v_1-v_2)\in U\)und daher \(av_1+U=av_2+U\)
\(V/U\) heißt der Faktorvektorraum. Die kanonische Projektion \(p: V\longrightarrow V/U\)
ist linear.
Def. 0.43.
Seien M;N;K Mengen und \(f: M\longrightarrow N, \space g: N \longrightarrow K\) Abbildungen.
Die Abbildung: \(g \circ f: M \longrightarrow K, m \longmapsto g(f(m))\) heißt die ___________von f und g. Die Komposition kann man als Mengenabbildung auffasen :
\(\circ:Abb(M,N)\times Abb(N,K) \longrightarrow Abb(M,K)\)
\((f,g) \mapsto g\circ f\)
Def. 0.43.
Seien M;N;K Mengen und \(f: M\longrightarrow N, \space g: N \longrightarrow K\) Abbildungen.
Die Abbildung: \(g \circ f: M \longrightarrow K, m \longmapsto g(f(m))\) heißt die Komposition von f und g. Die Komposition kann man als Mengenabbildung auffasen :
\(\circ:Abb(M,N)\times Abb(N,K) \longrightarrow Abb(M,K)\)
\((f,g) \mapsto g\circ f\)
Kor. 2.27.
Sei \(f: V\longrightarrow W\)eine lineare Abbildung. Dann gibt es einen
natürlichen Isomorphismus
\((W/Bild(f))^* \cong \space ??\)
Kor. 2.27.
Sei \(f: V\longrightarrow W\)eine lineare Abbildung. Dann gibt es einen
natürlichen Isomorphismus
\((W/Bild(f))^* \cong Kern(f^*:W^* \longrightarrow V^*)\)
Def. 3.1.
Eine \(m \times n\)-Matrix mit Einträgen in \(K\) ist ein Schema
\(\left(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1n} &\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right)\) mit \(a_{ij} \in K\) für \(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n\).
Die Menge der \(m\times n\)-Matrizen über \(K\) wird mit __________ bezeichnet.
Def. 3.1.
Eine \(m \times n\)-Matrix mit Einträgen in \(K\) ist ein Schema
\(\left(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1n} &\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right)\) mit \(a_{ij} \in K\) für \(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n\).
Die Menge der \(m\times n\)-Matrizen über \(K\) wird mit \(M_{m,n}(K)\) bezeichnet.
Satz 2.28. (Homomorphiesatz für lineare Abb.)
Seien V , W Vektorräume und \(f: V\longrightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gibt es einen natürlichen
Vektorraumisomorphismus
\(F:V/Kern(f) \tilde{\longrightarrow} \space Bild(f)\)
mit der Eigenschaft \(f=i\circ F \circ p\). Hier bezeichnet \(p:V \longrightarrow V/Kern(f)\) die
______________ und \(i: \space Bild(f) \longrightarrow W\) die ___________.
Satz 2.28. (Homomorphiesatz für lineare Abb.)
Seien V , W Vektorräume und \(f: V\longrightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gibt es einen natürlichen
Vektorraumisomorphismus
\(F:V/Kern(f) \tilde{\longrightarrow} \space Bild(f)\)
mit der Eigenschaft \(f=i\circ F \circ p\). Hier bezeichnet \(p:V \longrightarrow V/Kern(f)\) die
kanonische Projektion und \(i: \space Bild(f) \longrightarrow W\) die Inklusion.
Def.5.8.
Eine Bilinearform \(\gamma: V\times V\longrightarrow K\) heißt
symmetrisch \(\Longleftrightarrow\) \(?????\),
antisymmetrisch \(\Longleftrightarrow\) \(?????\)
Def.5.8.
Eine Bilinearform \(\gamma: V\times V\longrightarrow K\) heißt
symmetrisch \(\Longleftrightarrow\) \(\gamma(v_2,v_1)=\gamma(v_1,v_2) \space \space \forall v_1,v_2\in V\),
antisymmetrisch \(\Longleftrightarrow\) \(\gamma(v_2,v_1)=-\gamma(v_1,v_2) \space \space \forall v_1,v_2 \in V\)
Def.5.5
Eine Bilinearform \(\gamma :V \times V \longrightarrow K\) heißt nicht ausgeartet, wenn die zugehörige Abbildung \(??????\) ein______________ ist. (andernfalls ausgeartet)
Def.5.5
Eine Bilinearform \(\gamma :V \times V \longrightarrow K\) heißt nicht ausgeartet, wenn die zugehörige Abbildung \(\Gamma:V\longrightarrow V^*\) ein Isomorphismus ist. (andernfalls ausgeartet)
Eine Bilinearform \(\gamma : V \times V \longrightarrow K\) ist in jedem Argument linear, d.h.
\(\gamma(av_1+bv_2,w)=??\)
\(\gamma(v,aw_1+bw_2)=??\)
Eine Bilinearform \(\gamma : V \times V \longrightarrow K\) ist in jedem Argument linear, d.h.
\(\gamma(av_1+bv_2,w)=a\gamma(v_1,w)+b\gamma(v_2,w)\)
\(\gamma(v,aw_1+bw_2)=a\gamma(v,w_1)+b\gamma(v,w_2)\)
Def 4.21.
Sei V ein K-Vektorraum. Eine __________ _________
auf V ist eine Abbildung
\(\alpha : \underbrace{V\times\cdot\cdot\cdot\times V}_{n-mal}\longrightarrow K,\)
die in jeder Variable (d.h. bei Festhalten der (\(n-1\)) anderen) linear ist. heißt
___________, wenn \((v_1,...,v_n)=0\)für jedes n-Tupel\((v_1,...,v_n)\) mit \(v_i=v_j\)
für irgendwelche \(i \not=j\) gilt.
Def 4.21.
Sei V ein K-Vektorraum. Eine Multilinearform (n-Form)
auf V ist eine Abbildung
\(\alpha : \underbrace{V\times\cdot\cdot\cdot\times V}_{n-mal}\longrightarrow K,\)
die in jeder Variable (d.h. bei Festhalten der (\(n-1\)) anderen) linear ist. heißt
alternierend, wenn \((v_1,...,v_n)=0\)für jedes n-Tupel\((v_1,...,v_n)\) mit \(v_i=v_j\)
für irgendwelche \(i \not=j\) gilt.
Alternierende n-Formen können addiert und mit Skalaren multipliziert werden
und bilden in natürlicher Weise einen ______________ von \(Abb(V^n,K)\), der
mit \(Alt^nV\) bezeichnet wird.
Spezialfall n = 1: \(Alt^1V=V^*\) (__________).
Alternierende n-Formen können addiert und mit Skalaren multipliziert werden
und bilden in natürlicher Weise einen K-Untervektorraum von \(Abb(V^n,K)\), der
mit \(Alt^nV\) bezeichnet wird.
Spezialfall n = 1: \(Alt^1V=V^*\) (Dualraum).
Satz.4.23.
Eine alternierende n-Form \(\alpha:V^n\longrightarrow K\) ist
(i) homogen
\(???????????????=\lambda\alpha(v_1,...,v_n)\)
(ii)scherungsinvariant
\(????????????????=\lambda\alpha(v_1,...,v_n)\)
\(\forall \lambda\in K, v_1,...,v_n\in V, i,j\in \{1,...,n\} \space \space i\not=j\)
Satz.4.23.
Eine alternierende n-Form \(\alpha:V^n\longrightarrow K\) ist
(i) homogen
\(\alpha(v_1,...,v_{j-1},\lambda v_j,v_{j+1},...v_n)=\lambda\alpha(v_1,...,v_n)\)
(ii)scherungsinvariant
\(\alpha(v_1,...,v_{j-1}, v_j+\lambda v_i,v_{j+1},...v_n)=\lambda\alpha(v_1,...,v_n)\)
\(\forall \lambda\in K, v_1,...,v_n\in V, i,j\in \{1,...,n\} \space \space i\not=j\)
Satz 4.27.
(i) Die Determinante ist _______ in den Zeilen
(ii) Sind in A zwei Zeilen gleich, so gilt \(det(A)=?\)
(iii) \(det(E_n)=?\)
(iv) Die Determinante bleibt invariant unter der Zeilenumformung \(???????????????\)
(v) bei der Zeilenumformung \(????????\), multipliziert sich die Determinante mit \(\lambda\)
Satz 4.27.
(i) Die Determinante ist multilinear in den Zeilen
(ii) Sind in A zwei Zeilen gleich, so gilt \(det(A)=0\)
(iii) \(det(E_n)=1\)
(iv) Die Determinante bleibt invariant unter der Zeilenumformung \(v_i\mapsto v_i+\lambda v_j, \space i\not=j, \lambda\in K\)
(v) bei der Zeilenumformung \(v_i \mapsto \lambda v_i, \lambda\in K^{\times}\), multipliziert sich die Determinante mit \(\lambda\)
Entwicklung nach der j-ten Spalte:
\(det(A)\stackrel{df}{=} \sum\limits?\)
Entwicklung nach der j-ten Spalte:
\(det(A)\stackrel{df}{=} \sum\limits^n_{i=0}(-1)^{i+j}a_{ij}\space det(A_{ij})\)
\(det(a)=?\)
\(det(a)=a\)
Satz 4.32.
Es gilt \(|A|=?\)
Satz 4.32.
Es gilt \(|A|=|A^t|\)
Def 0.6 (Cantor). Eine Menge ist eine Zusammenfassung _______________________________ unserer Anschauung oder unseres Denkens zu __ ________ ________
Def 0.6 (Cantor).
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,
wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem
Ganzen.
Def 0.8.
Die leere Menge ; ist die Menge, die _________________
Def 0.8.
Die leere Menge ; ist die Menge, die kein Element enthält.
Def 0.9. Eine Menge N heißt ________ der Menge M (\(N \subset M\)), wenn
_________________
Def 0.9. Eine Menge N heißt Teilmenge der Menge M (\(N \subset M\)), wenn
M alle Elemente aus N enthält.
Bsp. 0.10.
die leere Menge \(\emptyset\); ist _________ jeder Menge.
Bsp. 0.10.
die leere Menge \(\emptyset\); ist Teilmenge jeder Menge.
Bem 0.11.
Anstelle von \(N \subset M\) wird oft auch \(N \subseteq M\) oder \(N \subseteqq M\)geschrieben. Für uns sind diese drei Symbole vollkommen gleichwertig. Die
Schreibweisen oder auch \(N \subsetneq M\) oder auch \(N \subsetneqq M\) bedeuten: ___________________
Bem 0.11.
Anstelle von \(N \subset M\) wird oft auch \(N \subseteq M\) oder \(N \subseteqq M\)geschrieben. Für uns sind diese drei Symbole vollkommen gleichwertig. Die
Schreibweisen oder auch \(N \subsetneq M\) oder auch \(N \subsetneqq M\) bedeuten: N ist
Teilmenge von M aber nicht gleich M.
Def 0.12.
Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heißt __________
von M und wird mit ______bezeichnet.
Def 0.12.
Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heißt Potenzmenge
von M und wird mit \(P(M)\)bezeichnet.
Bsp 0.13. Potenzmenge
- \(M = \{0,1\} \Longrightarrow P(M) = \)________________
- ist M eine endliche Menge mit n Elementen, so ist P(M) eine endliche Menge
mit______ Elementen. Dies folgt mit elementarer Kombinatorik: für jedes Element
gibt es genau 2 Möglichkeiten: in der Teilmenge enthalten zu sein oder nicht.
Bsp 0.13. Potenzmenge
- \(M = \{0,1\} \Longrightarrow P(M) = \{ \emptyset, \{0\},\{1\}, \{0,1\}\}\)
- ist M eine endliche Menge mit n Elementen, so ist P(M) eine endliche Menge
mit 2n Elementen. Dies folgt mit elementarer Kombinatorik: für jedes Element
gibt es genau 2 Möglichkeiten: in der Teilmenge enthalten zu sein oder nicht.
Unendlich viele Mengen werden typischerweise
in der Form __________durchnummeriert, wobei \(I\) eine Menge ist, die man
Ihrer Rolle wegen auch __________ nennt. Man sagt,______ ist eine durch \(I\)
____________ von Mengen.
Unendlich viele Mengen werden typischerweise
in der Form \((M_i)_{i\in I}\)durchnummeriert, wobei \(I\) eine Menge ist, die man
Ihrer Rolle wegen auch Indexmenge nennt. Man sagt,\((M_i)_{i\in I}\) ist eine durch \(I\)
indizierte Familie von Mengen.
Def 0.14.
Seien\(K, L\) Teilmengen einer Menge \(M\) und \((M_i)_{i\in I}\) eine Familie
von Teilmengen von M. Dann bildet man die folgenden Mengen
(i) \(\bigcup \limits_{i\in I} M_i = \{ m \in M | \space\exists \space i\in I : m\in M_i\} \) ____________
(ii) \(\bigcap \limits_{i \in I} M_i = \{m \in M |\space m \in M_i \space \forall i\in I\} \) _____________
(iii) \(K \setminus L =\{ m\in K | \space m \notin L\} \) _______ auch \(K - L\)
Def 0.14.
Seien\(K, L\) Teilmengen einer Menge \(M\) und \((M_i)_{i\in I}\) eine Familie
von Teilmengen von M. Dann bildet man die folgenden Mengen
(i) \(\bigcup \limits_{i\in I} M_i = \{ m \in M | \space\exists \space i\in I : m\in M_i\} \) (Vereinigung)
(ii) \(\bigcap \limits_{i \in I} M_i = \{m \in M |\space m \in M_i \space \forall i\in I\} \) (Durchschnitt)
(iii) \(K \setminus L =\{ m\in K | \space m \notin L\} \) (Komplement) auch \(K - L\)
Def 0.16
Sei \((M_i)_ {i\in I}\) eine Familie von Teilmengen einer Menge M. Man
sagt, \(M\) ist die _____________der \(M_i\) und schreibt
\(M= \bigcup \limits^. _{i\in I} M_i\) oder auch \(M= \coprod\limits_{i \in I} M_i\)
wenn \(M= \bigcup_{i \in I} M_i\) und \(M_i \cap M_j=\emptyset \) für \(i\not= j\) gilt
Def 0.16
Sei \((M_i)_ {i\in I}\) eine Familie von Teilmengen einer Menge M. Man
sagt, \(M\) ist die disjunkte Vereinigung der \(M_i\) und schreibt
\(M= \bigcup \limits^. _{i\in I} M_i\) oder auch \(M= \coprod\limits_{i \in I} M_i\)
wenn \(M= \bigcup_{i \in I} M_i\) und \(M_i \cap M_j=\emptyset \) für \(i\not= j\) gilt
Def 0.17
Die Menge \(M_1 \times \cdot \cdot \cdot \times M_n\) besteht aus allen ______________ mit \(m_1 \in M , ... , m_n \in M_n\)und heißt die ____________
Bei Familien schreibt man auch _________
Bsp. 0.18
\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\)
\(\mathbb {R} \times \emptyset =?\)
Def 0.17
Die Menge \(M_1 \times \cdot \cdot \cdot \times M_n\) besteht aus allen n-Tupeln (m1, ... , mn) mit \(m_1 \in M , ... , m_n \in M_n\)und heißt die Produktmenge
Bei Familien schreibt man auch \(\prod\limits_{i\in I} M_i\)
Bsp. 0.18
\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\)
\(\mathbb {R} \times \emptyset =\emptyset\)
Def 0.20
Sei \(f: M \longrightarrow N\) eine Abb. , so ist
\(i: M \longrightarrow N\) _____________. falls \(M \subset N\)
m (aufgefasst als Element von M) \(\longmapsto\) m (aufgefasst als Element von N)
und \(id: M \longrightarrow N, \space m \longmapsto m\) die___________, falls \(M = N\)
Def 0.20
Sei \(f: M \longrightarrow N\) eine Abb. , so ist
\(i: M \longrightarrow N\) die kanonische Inklusionsabb. falls \(M \subset N\)
m (aufgefasst als Element von M) \(\longmapsto\) m (aufgefasst als Element von N)
und \(id: M \longrightarrow N, \space m \longmapsto m\) die Identitätsabbildung, falls \(M = N\)
Def 0.22
Zwei Abb. heißen gleich, wenn:
_________________________________
Def 0.22
Zwei Abb. heißen gleich, wenn:
\(f, g: M \longrightarrow N \space \space f(m)=g(m) \space \space \forall m\in M\)
Homomorphismen sind ______________________
Def 1.21.
Seien \((G,*_G ,e_G)\) und \((H,*_H, e_H)\) Gruppen. Eine Abbildung
\(f:G \longrightarrow H\) heißt ____________, wenn für alle \(g, g^{'} \in G\) gilt
\(f(g*_G g^{'}) =f(g) *_H f(g^{'})\)
Homomorphismen sind Strukturerhaltende Abbildungen.
Def 1.21.
Seien \((G,*_G ,e_G)\) und \((H,*_H, e_H)\) Gruppen. Eine Abbildung
\(f:G \longrightarrow H\) heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle \(g, g^{'} \in G\) gilt
\(f(g*_G g^{'}) =f(g) *_H f(g^{'})\)
Sind \((R, +_R, \cdot_R,0_R)\) und \((S, +_S,\cdot_S,0_S)\) Ringe, so heißt eine Abb. \(f:R \longrightarrow S\)
Ringhomomorphismus, wenn für alle \(a,b\in R\) gilt
__________________________________________
Ein Ringhomomorphismus \(f:R \longrightarrow S \) von Ringen mit 1 \((R, +_R, \cdot_R, 0_R,1_R)\) und \((S, +_S,\cdot_S,0_S,1_S)\) heißt unitär, wenn zusätzlich gilt: ___________
Sind \((R, +_R, \cdot_R,0_R)\) und \((S, +_S,\cdot_S,0_S)\) Ringe, so heißt eine Abb. \(f:R \longrightarrow S\)
Ringhomomorphismus, wenn für alle \(a,b\in R\) gilt
\(f(a+_Rb)=f(a)+_S f(b), \space f(a\cdot_R b)= f(a) \cdot_S f(b)\)
Ein Ringhomomorphismus \(f:R \longrightarrow S \) von Ringen mit 1 \((R, +_R, \cdot_R, 0_R,1_R)\) und \((S, +_S,\cdot_S,0_S,1_S)\) heißt unitär, wenn zusätzlich gilt: \(f(1_R)=1_S\)
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