Lineare Algebra I

Sei \(U\subset V\)ein Untervektorraum. Die Faktorgruppe \(V/U\) der Nebenklassen
\(v+ U\) von V modulo U wird ein K-Vektorraum durch
\(a \cdot (v+U)=a\cdot v +U\)
Unabhängigkeit von der Auswahl: Ist \(v_1+U=v_2+U\), so gilt \(v_1-v_2\in U\). Folglich:
\(av_1-av_2=a(v_1-v_2)\in U\)und daher \(av_1+U=av_2+U\)
\(V/U\) heißt  der Faktorvektorraum. Die kanonische Projektion \(p: V\longrightarrow V/U\)
ist linear. 

Def. 0.43.

Seien M;N;K Mengen und \(f: M\longrightarrow N, \space g: N \longrightarrow K\) Abbildungen.
Die Abbildung: \(g \circ f: M \longrightarrow K, m \longmapsto g(f(m))\) heißt die Komposition von f und g. Die Komposition kann man als Mengenabbildung auffasen :

\(\circ:Abb(M,N)\times Abb(N,K) \longrightarrow Abb(M,K)\)

\((f,g) \mapsto g\circ f\)

Kor. 2.27.

Sei \(f: V\longrightarrow W\)eine lineare Abbildung. Dann gibt es einen
natürlichen Isomorphismus

\((W/Bild(f))^* \cong Kern(f^*:W^* \longrightarrow V^*)\)

Def. 3.1.

Eine \(m \times n\)-Matrix mit Einträgen in \(K\) ist ein Schema

\(\left(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1n} &\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right)\) mit \(a_{ij} \in K\) für \(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n\).

Die Menge der \(m\times n\)-Matrizen über \(K\) wird mit \(M_{m,n}(K)\) bezeichnet.

Satz 2.28. (Homomorphiesatz für lineare Abb.)

Seien V , W Vektorräume und \(f: V\longrightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gibt es einen natürlichen
Vektorraumisomorphismus
\(F:V/Kern(f) \tilde{\longrightarrow} \space Bild(f)\)
mit der Eigenschaft \(f=i\circ F \circ p\). Hier bezeichnet \(p:V \longrightarrow V/Kern(f)\) die
kanonische Projektion und \(i: \space Bild(f) \longrightarrow W\) die Inklusion.

Def.5.8.

Eine Bilinearform \(\gamma: V\times V\longrightarrow K\) heißt 

symmetrisch \(\Longleftrightarrow\) \(\gamma(v_2,v_1)=\gamma(v_1,v_2) \space \space \forall v_1,v_2\in V\),

antisymmetrisch \(\Longleftrightarrow\) \(\gamma(v_2,v_1)=-\gamma(v_1,v_2) \space \space \forall v_1,v_2 \in V\)

Def.5.5

Eine Bilinearform \(\gamma :V \times V \longrightarrow K\) heißt nicht ausgeartet, wenn die zugehörige Abbildung \(\Gamma:V\longrightarrow V^*\) ein Isomorphismus ist. (andernfalls ausgeartet)

Eine Bilinearform \(\gamma : V \times V \longrightarrow K\) ist in jedem Argument linear, d.h. 

\(\gamma(av_1+bv_2,w)=a\gamma(v_1,w)+b\gamma(v_2,w)\)

\(\gamma(v,aw_1+bw_2)=a\gamma(v,w_1)+b\gamma(v,w_2)\)

Def 4.21. 

Sei V ein K-Vektorraum. Eine Multilinearform (n-Form)
auf V ist eine Abbildung

\(\alpha : \underbrace{V\times\cdot\cdot\cdot\times V}_{n-mal}\longrightarrow K,\)

die in jeder Variable (d.h. bei Festhalten der (\(n-1\)) anderen) linear ist. heißt
alternierend, wenn \((v_1,...,v_n)=0\)für jedes n-Tupel\((v_1,...,v_n)\) mit \(v_i=v_j\)
für irgendwelche \(i \not=j\) gilt.

Alternierende n-Formen können addiert und mit Skalaren multipliziert werden
und bilden in natürlicher Weise einen K-Untervektorraum von \(Abb(V^n,K)\), der
mit \(Alt^nV\) bezeichnet wird.
Spezialfall n = 1: \(Alt^1V=V^*\) (Dualraum).

Satz.4.23.

Eine alternierende n-Form \(\alpha:V^n\longrightarrow K\)  ist

(i) homogen

\(\alpha(v_1,...,v_{j-1},\lambda v_j,v_{j+1},...v_n)=\lambda\alpha(v_1,...,v_n)\)

(ii)scherungsinvariant

\(\alpha(v_1,...,v_{j-1}, v_j+\lambda v_i,v_{j+1},...v_n)=\lambda\alpha(v_1,...,v_n)\)

\(\forall \lambda\in K, v_1,...,v_n\in V, i,j\in \{1,...,n\} \space \space i\not=j\)

Satz 4.27.

(i) Die Determinante ist multilinear in den Zeilen

(ii) Sind in A zwei Zeilen gleich, so gilt \(det(A)=0\)

(iii) \(det(E_n)=1\)

(iv) Die Determinante bleibt invariant unter der Zeilenumformung \(v_i\mapsto v_i+\lambda v_j, \space i\not=j, \lambda\in K\)

(v) bei der Zeilenumformung \(v_i \mapsto \lambda v_i, \lambda\in K^{\times}\), multipliziert sich die Determinante mit \(\lambda\)

Entwicklung nach der j-ten Spalte:

\(det(A)\stackrel{df}{=} \sum\limits^n_{i=0}(-1)^{i+j}a_{ij}\space det(A_{ij})\)

\(det(a)=a\)

Satz 4.32.

Es gilt \(|A|=|A^t|\)

Def 0.8. 

Die leere Menge ; ist die Menge, die kein Element enthält.

Def 0.9. Eine Menge N heißt Teilmenge der Menge M (\(N \subset M\)), wenn
M alle Elemente aus N enthält.

Bsp. 0.10. 
die leere Menge \(\emptyset\); ist Teilmenge jeder Menge.

Bem 0.11. 

Anstelle von \(N \subset M\) wird oft auch \(N \subseteq M\) oder \(N \subseteqq M\)geschrieben. Für uns sind diese drei Symbole vollkommen gleichwertig. Die
Schreibweisen oder auch \(N \subsetneq M\) oder auch \(N \subsetneqq M\) bedeuten: N ist
Teilmenge von M aber nicht gleich M.

Def 0.12. 

Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heißt Potenzmenge
von M und wird mit \(P(M)\)bezeichnet.

Bsp 0.13. Potenzmenge

• \(M = \{0,1\} \Longrightarrow P(M) = \{ \emptyset, \{0\},\{1\}, \{0,1\}\}\)
•  ist M eine endliche Menge mit n Elementen, so ist P(M) eine endliche Menge

mit 2ⁿ Elementen. Dies folgt mit elementarer Kombinatorik: für jedes Element
gibt es genau 2 Möglichkeiten: in der Teilmenge enthalten zu sein oder nicht.

Unendlich viele Mengen werden typischerweise
in der Form \((M_i)_{i\in I}\)durchnummeriert, wobei \(I\) eine Menge ist, die man
Ihrer Rolle wegen auch Indexmenge nennt. Man sagt,\((M_i)_{i\in I}\)  ist eine durch \(I\)
indizierte Familie von Mengen.

Def 0.14. 

Seien\(K, L\) Teilmengen einer Menge \(M\) und \((M_i)_{i\in I}\) eine Familie
von Teilmengen von M. Dann bildet man die folgenden Mengen

(i) \(\bigcup \limits_{i\in I} M_i = \{ m \in M | \space\exists \space i\in I : m\in M_i\} \)  (Vereinigung) 

(ii) \(\bigcap \limits_{i \in I} M_i = \{m \in M |\space m \in M_i \space \forall i\in I\} \)   (Durchschnitt)

(iii) \(K \setminus L =\{ m\in K | \space m \notin L\} \)  (Komplement)  auch \(K - L\)

Def 0.16

Sei \((M_i)_ {i\in I}\) eine Familie von Teilmengen einer Menge M. Man
sagt, \(M\) ist die disjunkte Vereinigung der \(M_i\) und schreibt 

\(M= \bigcup \limits^. _{i\in I} M_i\)   oder auch \(M= \coprod\limits_{i \in I} M_i\)

wenn \(M= \bigcup_{i \in I} M_i\) und \(M_i \cap M_j=\emptyset \) für \(i\not= j\) gilt

Def 0.17

Die Menge \(M_1 \times \cdot \cdot \cdot \times M_n\)  besteht aus allen n-Tupeln (m₁, ... , m_n)  mit \(m_1 \in M , ... , m_n \in M_n\)und heißt die Produktmenge

Bei Familien schreibt man auch \(\prod\limits_{i\in I} M_i\)

Bsp. 0.18

\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\)

\(\mathbb {R} \times \emptyset =\emptyset\)

Def 0.20

Sei \(f: M \longrightarrow N\) eine Abb.  , so ist

\(i: M \longrightarrow N\)  die kanonische Inklusionsabb. falls \(M \subset N\)

m (aufgefasst als Element von M) \(\longmapsto\) m (aufgefasst als Element von N)

und \(id: M \longrightarrow N, \space m \longmapsto m\) die Identitätsabbildung, falls \(M = N\)

Def 0.22

Zwei Abb. heißen gleich, wenn: 

\(f, g: M \longrightarrow N \space \space f(m)=g(m) \space \space \forall m\in M\)

Homomorphismen sind Strukturerhaltende Abbildungen.

Def 1.21. 

Seien \((G,*_G ,e_G)\) und \((H,*_H, e_H)\) Gruppen. Eine Abbildung
\(f:G \longrightarrow H\) heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle \(g, g^{'} \in G\) gilt

\(f(g*_G g^{'}) =f(g) *_H f(g^{'})\)

Sind \((R, +_R, \cdot_R,0_R)\) und \((S, +_S,\cdot_S,0_S)\)  Ringe, so heißt eine Abb. \(f:R \longrightarrow S\)

Ringhomomorphismus, wenn für alle \(a,b\in R\) gilt 

\(f(a+_Rb)=f(a)+_S f(b), \space f(a\cdot_R b)= f(a) \cdot_S f(b)\)

Ein Ringhomomorphismus \(f:R \longrightarrow S \) von Ringen mit 1 \((R, +_R, \cdot_R, 0_R,1_R)\) und  \((S, +_S,\cdot_S,0_S,1_S)\) heißt unitär, wenn zusätzlich gilt: \(f(1_R)=1_S\)