Algebra
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Fichier Détails
| Cartes-fiches | 62 |
|---|---|
| Utilisateurs | 31 |
| Langue | Deutsch |
| Catégorie | Mathématiques |
| Niveau | Autres |
| Crée / Actualisé | 23.01.2017 / 13.05.2025 |
| Lien de web |
https://card2brain.ch/box/20170123_algebra
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| Intégrer |
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Man spricht von einer Gruppe wenn sie:
- Assoziativ auf M ist, a * (b * c) = (a * b) * c
- ein neutrales Element besitzt
- jedes Element ein Inverses besitzt
man spricht von einer abelschen Gruppe wenn sie:
- eine Gruppe ist
- und zudem kommutativ ist a * b = b * a
was bedeutet:
- kommutativ
- assoziativ
- neutrales Element
- inverses
- kommutativ:a * b = b * a
- assoziativ: a * (b * c) = (a * b) * c
- neutrales Element a: a * n = n * a = a
- inversesb : a * b = b * a = n
Man sricht von einer Untergruppe wenn:
Teilmenge U einer Gruppe (G, *) wieder eine Gruppe bildet:
- wenn die Operation *:UxU abgeschlossen auf U ist
- das NEUTRALE Element von G auch Element von U ist
- für jedes a aus U das inverse a^-1 auch in U ist
Wann spricht man von einer Endlichen zyklische Gruppe?
\(G=\langle a \rangle=\{ a^0,a^1,a^2,...a^{n-1}\}\)
Falls a^k = e und k die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft, dann heißt k die Ordnung
des Elementes a.
Es gilt:
Man spricht von einer Zyklischen Gruppe wenn:
es eine erzeugendes element <a> gibt also
\(G=\langle a \rangle=\{ a^m|m\in \mathbb{Z}\}\)
Wei werden Linksnebenklassen von U nach a Definiert für a aus G
die Linksnebenklasse von U nach a als
\(a*U = \{a*x|x\in U\}\)
die Rechtsnebenklasse von U nach a als
\(U*a = \{x*a|x\in U\}\)
Was wird der Index von U in G genannt ud schreibt man [G:U]
Die Anzahl der verschiedenen Nebenklassen.
Was sagt der Satz von Lagrange für endliche Gruppen (G,*) und der Untergruppe U aus G?
H ist untergruppe von G dann
\(=> |H| \mid|G|\)
ord(H) | ord(G)
Was ist ein Homomorphismus
Eine Abbildung \(\varphi : G_1\to G_2\) von einer Grupe \((G_1,\odot)\) in eine Gruppe\((G_1,\otimes)\) wenn \(\forall a,b \in G_1\) gilt:
Muss Total sein( jede element der Unrsprungsmenge muss enthalten sein)
und die Strukturgleichung muss erfüllt sein
\(\varphi(a \odot b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)\)
injektiv bedeutet
\(\forall a_i,a_j \in A \) \(a_i \neq a_j : f(a_i) \neq f(a_j)\)
Bijektiv bedeutet
Injektiv und Surjektiv:
Für jedes Element der Zielmenge gibt es genaus ein Element aus der Definitionsmenge
ein Isomarphismus ist ein:
bijektiver Homomorphismus
Also injektiv \(a \neq b \implies \varphi( a) \neq \varphi(b)\)
und surjektiv: zu jedem \(a' \in M_2\) gibt es ein \(a \in M_1\) mit \( \varphi(a) = a'\)
Was ist der Kern eines Homomorphismuses?
Als Kern werden all jene Elemente der Ausgangsmenge bezeichnet, die auf das Einselement der Zielmenge
abgebildet werden.
\(kern(\varphi) = \{x\in G_1 | \varphi(x) =e_2\} = \varphi ^{-1}(\{e_2\})\)
\(kern(\varphi) \)ist Untergruppe von \(G_1\)
\(e_1 \in kern(\varphi)\)
\(\varphi\)ist injektiv gdw. \(kern(\varphi) = \{e_1\}\)
Was ist ein Bild und die Bildmengen
Im Sinne der Algebra ist ein Bild ein Element der Bildmenge. Die Bildmenge ist die Ausgangsmenge einer
Relation. Jedes Element der Linken Menge ist ein Bild.
\(bild(\varphi) = \{y\in G_2 | y=\varphi(x) \text {für ein }x\in G_1\} = \varphi (G_1)\)
\(bild(\varphi)\) ist Untergruppe von\(G_2\)
\(\varphi\)ist surjektiv gdw \(bild(\varphi) = G_2\)
Was ist ein Ring?
Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen
\( \bigoplus: M\times M \to M \) und \(\bigodot : M\times M \to M \)
Welche eingenschaften haben Ringe?
- \((M,\bigoplus) \)ist eine abelsche Gruppe,
- die Verknüpfung \(\bigodot \) ist assoziativ
- und den Distributivgesetzen:
- \(a\bigodot(b \bigoplus c) = (a \bigodot b) \bigoplus (a \bigodot c)\)
- \((a\bigoplus b) \bigodot c = (a\bigodot c) \bigoplus (b \bigodot c)\)
Wann hat ein Ring Nullteiler?
a * b = 0 muss gelten ohne ,dass einer der beiden (a,b) 0 ist.
bsp:
\(( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+,*)\)
2*3 = 6 =0 mod 6
Wann Hat ein Ring Einheiten oder invertierbare Elemente?
Wenn es zu einem Element \(a\in R\) ein Element \(b\in R\)gibt, so das
a * b = 1 und b * a = 1
Wann spricht man von einmen Integritätsbereich?
bei einem
- kommutativen,
- nullteilerfreien,
- Ring mit 1
Division mit Rest
Für zwei Zahlen a aus Z und b aus N
gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen q aus Z und r aus {0,1,...,b-1} sodass...?
a=b*q+r
was sagt das lemma von Be´zout aus?
für zwei Zahlen a,b und ihren ggT (a,b) gilt:
\(\exists x,y\in \mathbb{Z}\text{ mit }ax+by = (a,b)\)
was macht der Euklidische Algorithmus?
ggT von a und b bestimmen durch wiederholte Divisoin mit Rest.
was ist die Eulersche Phi-Funktion ?
\(\varphi(n)= |\{a \in \mathbb{N}|ggT(a,b)=1,1\leq a\leq n\}|=| \mathbb{Z}^*_m|\)
also die Anzahl der zu n teilerfermden Zahlen a zwischen 1 und n
Wie werden alle Nullteier und Einheiten eines Restklassenrings z.B. modulo 14 über \(\mathbb{Z}\) bestimmt?
14 ind Primfaktoren zerlegen: 2*7
Alle fielfachen der Prinfaktoren sind Nullteiler.
Alle übiggebliebenen sind Einheiten in \(\mathbb{Z}\)14
teilen Sie 3 durch alle Elemente von \(\mathbb{Z}_{14}^*\)
also 3:a \(\forall a\in\mathbb{Z}_{14}^*\)
z.B.
\(3:3 = 3*3^{-1}=3*9=1\)
und die Berechnung immer schön anhand der Tafel ablesen!
Matritzen Adiren
1 2 5 6
+
3 4 7 8
1+5 2+6
3+7 4+8
Wann sind Vektoren Inear Unabhängig?
bei 2 Vektloren,
Wenn der eine nicht aus den anderen gebaut werden kann
Bei >2 Vektoren
Wenn keiner aus den anderen gebaut werden kann
was ist der Rang einer Matrix?
Anzahl der Linear unabhängigen Zeilenvektoren/Spaltenvektoren.
Ob zeile oder spalte macht keinen unterschid
Rang der Matrix bestimmen:
Durch äqivalenzumformung versuchen die zeilen auf 0 zu bingen bis zur Zeilen Stufen Form z.B.
1 0 2
0 1 2
0 0 0
Der rang ist die Anzahl der Spalten welche nicht umgeformt werden können.
Was sit eine Lineare Abbindung?
Wie ein Homomorphismus
(menge aller Lösungeen des LGS
Vektorraum ----> Vektorraum
Additivität F(v + w) = f(v) + f(w)
Homogenität: f( a * v ) = a * f ( v )
Wann ist eine Matrix Quadratisch?
Wenn gild
Zeilenanzahl = Spaltenanzahl
Wofür steht \(M^T\)?
Die Transponierte Matrix von M
1 2 =M 1 3 = \(M^T\)
3 4 2 4
Wie bestimmt man \(M^{-1}\)
Gauß Jordan Algo:
1. Links M rechts Einheitsmatrix
2.umformen bis die Einheitsmatrix Links steht, Dann sit rechts das inverse von M
bsp.
1 2 | 1 0
3 2 | 0 1
zu.
1 0 | -3 2
0 1 | 2 -1
Wie bestimmt man die Determinante
1. Von Dreiecksmatrizen ( durch die 0en Links unten)
\(D= \begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 0&5&6\\ 0&0&9\\ \end{pmatrix}\) det(D)= 1*5*9=45
Wenn nicht vorhanden durch Umformung erstellen
2. bei 2x2 Matrix
\(\begin{vmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{vmatrix} = 1*4-3*2 = -2\)
3.Bei 3x3 Matrix
bei der Matrix \(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{vmatrix} \) ----> \(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{vmatrix} \begin{matrix} 1&2\\3&5\\7&8\end{matrix} \)
schräg nach rechts +
schräg nach links -
Also det(M)=1*5*9+2*6*7+3*4*8
-7*5*3-8*6*1-9*4*2 = 0
Welche Elemenaroperationen Gibt es für Matrizen?
C(i,j) : Vertauschen der Zeile i und j
M(j,α): Multiplikation aller Elemente von Zeile i mit einem Skalar \(α \in K\)
S(i,j,-α): Subtraktion der α-fachen aller Elemente der j-ten Zeile von allen Elementen der i-ten Zeile
Was macht die Eulerische \(\varphi-Funktion\) und wie wird sie angewand?
Bestimmt die anzahl der Elemente in \(\mathbb{Z}\)
Modulo Zahl in die Primfaktoren zerlegen.
Phi(X) = phi(px1) * phi(px2) * phi(px3) = (px1 - 1) *( px2 - 1) * (px3 - 1)
Z.B. Phi(12) = phi(2)*phi(11) = 1 * 10= 10
Wenn die Potenz >=2 ist also z.B. Phi(4) = phi (2)*phi(2) wird nur einmal -1 gerechnet also 2* (2-1)
Wie Funktionirt der Fermat-Test für ein \(n \in \mathbb{N}\)
1.
Zufällige Zahl a mit\((a,m)=1\)
2.
Wenn die Aussage:
\(a^m-1 = 1(m)\) oder \(a^m=a(m)\)
"Ja" => "Prim ?"
"Nein" => "Nicht prim !"
Wann Ist eine Zahl psydoprim?
wenn sie zu einer Basis prim ist.
z.B. \((7^{99}=1 (100))=> 100\) ist Psydoprim
