Lernkarten
Man spricht von einer Gruppe wenn sie:
- Assoziativ auf M ist, a * (b * c) = (a * b) * c
- ein neutrales Element besitzt
- jedes Element ein Inverses besitzt
man spricht von einer abelschen Gruppe wenn sie:
- eine Gruppe ist
- und zudem kommutativ ist a * b = b * a
was bedeutet:
- kommutativ
- assoziativ
- neutrales Element
- inverses
- kommutativ:a * b = b * a
- assoziativ: a * (b * c) = (a * b) * c
- neutrales Element a: a * n = n * a = a
- inversesb : a * b = b * a = n
Man sricht von einer Untergruppe wenn:
Teilmenge U einer Gruppe (G, *) wieder eine Gruppe bildet:
- wenn die Operation *:UxU abgeschlossen auf U ist
- das NEUTRALE Element von G auch Element von U ist
- für jedes a aus U das inverse a^-1 auch in U ist
Wann spricht man von einer Endlichen zyklische Gruppe?
\(G=\langle a \rangle=\{ a^0,a^1,a^2,...a^{n-1}\}\)
Falls a^k = e und k die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft, dann heißt k die Ordnung
des Elementes a.
Es gilt:
Man spricht von einer Zyklischen Gruppe wenn:
es eine erzeugendes element <a> gibt also
\(G=\langle a \rangle=\{ a^m|m\in \mathbb{Z}\}\)
Wei werden Linksnebenklassen von U nach a Definiert für a aus G
die Linksnebenklasse von U nach a als
\(a*U = \{a*x|x\in U\}\)
die Rechtsnebenklasse von U nach a als
\(U*a = \{x*a|x\in U\}\)
Was wird der Index von U in G genannt ud schreibt man [G:U]
Die Anzahl der verschiedenen Nebenklassen.
