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Lernende 28 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Andere
Erstellt / Aktualisiert 23.01.2017 / 21.06.2021
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Man spricht von einer Gruppe wenn sie:

  • Assoziativ auf M ist,  a * (b * c) = (a * b) * c
  • ein neutrales Element besitzt
  • jedes Element ein Inverses besitzt
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man spricht von einer abelschen Gruppe wenn sie:

  • eine Gruppe ist
  • und zudem kommutativ ist a * b = b * a
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was bedeutet:

  • kommutativ
  • assoziativ
  • neutrales Element
  • inverses
  • kommutativ:a * b = b * a
  • assoziativ: a * (b * c) = (a * b) * c
  • neutrales Element a:   a * n = n * a = a
  • inversesb : a * b = b * a = n
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Man sricht von einer Untergruppe wenn:

Teilmenge U einer Gruppe (G, *)  wieder eine Gruppe bildet:

  • wenn die Operation *:UxU abgeschlossen auf U ist
  • das NEUTRALE Element von G auch Element von U ist
  • für jedes a aus U das inverse a^-1 auch in U ist
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Wann spricht man von einer Endlichen zyklische Gruppe?

\(G=\langle a \rangle=\{ a^0,a^1,a^2,...a^{n-1}\}\)

Falls a^k = e und k die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft, dann heißt k die Ordnung
des Elementes a.
Es gilt:

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Man spricht von einer Zyklischen Gruppe wenn:

es eine erzeugendes element <a> gibt also

\(G=\langle a \rangle=\{ a^m|m\in \mathbb{Z}\}\)

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Wei werden Linksnebenklassen von U nach a Definiert für a aus G

die Linksnebenklasse von U nach a als

\(a*U = \{a*x|x\in U\}\)

die Rechtsnebenklasse von U nach a als

\(U*a = \{x*a|x\in U\}\)

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Was wird der Index von U in G genannt ud schreibt man [G:U]

Die Anzahl der verschiedenen Nebenklassen.