Algebra

es muss gelten

\(\varphi(v_1+V_2)=\varphi(v_1)+\varphi(v_2)\)

und

\(\varphi(\alpha*v) = \alpha * \varphi(v)\)

dim(Vekotrraum) = Rang (Basis)

1 x 0 0 x x

0 0 1 0 x x

0 0 0 1 x x

Wenn die Vektoren linear unabhängig sind bilden Sie eine Basis.

Linear unabhängig sind Sie wenn die determinante ungleich 0 ist.

Also vorgehen... Determinante bestimmen und gucken was rauskommt.

Die zeilen der Generatormatrix. z.B.   

1  2  3

4  5  6 

7  8  9  

l1 = 123

l2 = 456

l3 = 789

Die menge {l1,l2,l3} bildet eine Basis für den Code C

durch elementarumformung sodass voren die einheitsmartix steht und hinten dann die formel

B=b*Mi = 1(m)

Satz von Lagrange... suche Teiler von der Anzahl der Elemente in Z

Z.B. Z11   \(|U| \)Teilt  \(|\mathbb{Z}^*|\)

Anzahl Elemente 10 Teiler sind 1,2,5,10

die Menge aller moglichen Linearkombinationen der Vektoren
ai , der Spann von A oder der von A erzeugte Unterraum von V

<=> \(Kern(\varphi_A)={0}\)

<=>\(\varphi_A\)ist Injektiv

<=>A ist invertirbar

<=>\(det(A)\neq0!\)

<=>\(rang(A) = m\)

A = B *Q +R

1. A wird durch B in der Polynomdivision gerechent.

2. das ergebnis ist der Quotient Q und das was unten heraus kommt ist das Q

3. Wie beim Euklidischen Algorytmuss dieses Prinzip wiederholen bis 0 herraus kommt.

wenn es nur Triviale Teiler besitzt. Wie eine Primzahl.

basis Links|  vektor rechts

1. Dualdarstellung der Exponenten finden.

2

.\(2^{2^0} = 2^1 = 2\)

\(2^{2^1} = 2^2 = 4\) und so weiter rechnen

3. die welche im Dualsystem 1 sind zusammenzählen

\(2^{340}=2^{254+64+16+4}\)und das ausrechnen

C=L(H,0)

n = anzahl der zeilen z.B. 5

k= dimensin(C) = n - Rang(H) "anzahl der spalten" z.B. 5-2=3

Dann ist es ein (5,3) Linearcode

• eine Gruppe ist
• und zudem kommutativ ist a * b = b * a

• kommutativ:a * b = b * a
• assoziativ: a * (b * c) = (a * b) * c
• neutrales Element a:   a * n = n * a = a
• inversesb : a * b = b * a = n

Teilmenge U einer Gruppe (G, *)  wieder eine Gruppe bildet:

• wenn die Operation *:UxU abgeschlossen auf U ist
• das NEUTRALE Element von G auch Element von U ist
• für jedes a aus U das inverse a^-1 auch in U ist

\(G=\langle a \rangle=\{ a^0,a^1,a^2,...a^{n-1}\}\)

Falls a^k = e und k die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft, dann heißt k die Ordnung
des Elementes a.
Es gilt:

es eine erzeugendes element <a> gibt also

\(G=\langle a \rangle=\{ a^m|m\in \mathbb{Z}\}\)

die Linksnebenklasse von U nach a als

\(a*U = \{a*x|x\in U\}\)

die Rechtsnebenklasse von U nach a als

\(U*a = \{x*a|x\in U\}\)

Die Anzahl der verschiedenen Nebenklassen.

H ist untergruppe von G dann

\(=> |H| \mid|G|\)

ord(H) | ord(G)

Eine Abbildung \(\varphi : G_1\to G_2\) von einer Grupe \((G_1,\odot)\) in eine Gruppe\((G_1,\otimes)\) wenn \(\forall a,b \in G_1\) gilt:

Muss Total sein( jede element der Unrsprungsmenge muss enthalten sein)

und die Strukturgleichung muss erfüllt sein

\(\varphi(a \odot b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)\)

\(\forall a_i,a_j \in A \)  \(a_i \neq a_j : f(a_i) \neq f(a_j)\)

Jedes Element  der Zielmengen wird mindestens 1x ereicht.

\(\forall bj \in B \)  \(\exists a_j \in A:f(a_j) = b_i\)

Injektiv und Surjektiv:

Für jedes Element der Zielmenge gibt es genaus ein Element aus der Definitionsmenge

bijektiver Homomorphismus

Also injektiv \(a \neq b \implies \varphi( a) \neq \varphi(b)\)

und surjektiv:  zu jedem \(a' \in M_2\) gibt es ein \(a \in M_1\) mit \( \varphi(a) = a'\)

Als Kern werden all jene Elemente der Ausgangsmenge bezeichnet, die auf das Einselement der Zielmenge
abgebildet werden.

\(kern(\varphi) = \{x\in G_1 | \varphi(x) =e_2\} = \varphi ^{-1}(\{e_2\})\)

\(kern(\varphi) \)ist Untergruppe von \(G_1\)

\(e_1 \in kern(\varphi)\)

\(\varphi\)ist injektiv gdw. \(kern(\varphi) = \{e_1\}\)