Physik: Schwingungen 2 und Wellen 1

1. Bestimmung von: Auslenkung (Ort) eines schwingenden Körpers zu einer best. Zeit.
2. Funktion s(t) wird gesucht
3. harm. Schwingung = eine Kreisbewegung, die man von der Seite so ansieht, dass sie eindimensional wird = die Bewegung nur auf einer Linie spielt
4. s = Schwingungsauslenkung = y-Koordinate des sich auf der Kreisbahn bewegenden Punktes.
5. Punkt kann mit Trigonometrie über Winkel phii bestimmt werden.
6. Amlitude = Radius = Dreieckshypothenuse im Kreis 
7.  y = s = A * sin(phii) --> A = Amplitude, s = Auslenkung. Bedeutung:
   1. Winkel phii ändert sich zeitlich, abhängig von Winkelgeschw. der Kreisbewegung: phii = w * t = 2pii*f*t
   2. gilt für: eine Schwingung, die bei t = 0 & s= 0 beginnt UND sich ZUERST in die positve Richtung bewegt
   3. Folge: Herleitung Zeit-Ort-Gesetz für harmonische Schwingungen: 

Möglichkeit 1: Ableitung aus der Ortsfunktion

Möglichkeit 2: Herleitung aus der Kreisbewegung

Resultate:

• Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz der harmonischen Schwingung: v(t) = siehe Extrablatt
• Zeit-Beschleunigungs-Gesetz der harmonischen Schwingung: a(t) = siehe Extrablatt

Allgemeines:

• Voraussetzung: Funktion s(t) muss bekannt sein = ordnet jeder Zeit den Körperort zu
• f'(x) = Ableitung von f(x) = gibt für jedes x die Steigungsgrösse der urspr. Funktion f(x) bei diesem x an =  gibt stärke der Funktionsänderung f(x) bei diesem x an

Beschreibung:

• Geschwindigkeit v(t): gibt Ordsänderungsgrösse s(t) zu einer bestimmten Zeit t an. Folge: Geschwindigkeitsfunktion v(t) = Geschwindigkeit = gibt an, wie gorss die Ortsänderung s(tt) zu einer best. Zeit ist = Ableitung der Ortsfunktion s(t)
• Beschleunigung a(t) = Änderung der Geschwindigkeit mit  der Zeit = Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion v(t)  =  2-Fache Ableitung von s(t)
• Formel: siehe Extrablatt

Maximalwert:

• wenn die Cosinus- bzw. Sinusfunktion grösstmöglich sind
• Formel siehe Extrablatt

1. Unterschied: ohne mathe. Ableitung Geschwindigkeits- & Beschleunigungsfunktion aus der Kreisbewegung herleiten
2. Fakt: harmonische Schwingung ist ein Anteil der Kreisbewegung in NUR eine Richtung = y-Richtung. Folge: nur y-Komponente der Geschwindigkeit&Beschleunigung der Kreisbewegung wichtig
3. effektive Geschwindigkeit der gleichförmigen Kreisbewegung = Bahngeschwindigkeit. Formel siehe Extrablatt
4. v_y(t), Formel: siehe Extrablatt
5. immer in die Richtung der resultierenden Kraft. Bei einer Kreisbewegung: die resultierende Kraft muss immer zum Kreismittelpunkt d.h. rechtwinklig zur Bahngeschwindigkeit zeigen. Fazit: die Beschleunigung einer Kreisbewegung zeigt immer zum Kreismittelpunkt
6. durch die Ableitung der Geschwindigkeit --> Ableitung kompliziert, da sich NICHT der Betrag sondern die Geschwindigkeits-Richtung ändert (zweidimensional).
7. siehe Extrablatt
8. siehe Extrablatt
9. Weil Vektro a_y im positiven Bereich der Y-Achse in die negative Richtung zeigt

Beschleunigung eines Körpers:

• zeigt immer in die Richtung der resultierender Kraft(=Vektrosumme = alle Kräfte zusammen) --> bei Kreisbewegung = zeigt in Kreismittelpunkt = rechtwinklig zur Bahngeschwindigkeit
• Schleunigung einer gleichförmigen Kreisbewegung = a =r*w^2 (Grund: Ableitung der Geschwindigkeit)

Wie gross ist die für die harmonische Schwingung relevante y-Komponente dieser Beschleunigung?

• a_y(t) = 
• Grund negatives Vorzeichen: Vektor a_y zeigt im positiven y-Achsen-Bereich in die neg. Richtung (nach unten, siehe Bild)
•  

• Federpendel-Bewegung = eine harmonische Schwingung
• Rückstellkraft F_R = Federkraft - Gewichtskraft =  F_F - F_{G = (D*x - m*g) = -D*s wobei das Minus für die Richtgrösse steht}
  • _{x = "nur" die Auslenkung der Feder aus ihrer unbelasteten Lage = Dehnung}
  • _{s = Auslenkung des FederPENDEls}
• Rückstellkraft = die resultierende Kraft auf den schwingenden Körper. Formel res. Kraft: F_res=m*a
• Federkonstante, Frequenz, Schwingungsdauer --> Formel: siehe extrablatt
• Frequenz & Schwingungsdauer NUR von Federkonstante & schwingender Masse abhängig, NICHT von Amplitude

•  siehe Abbildung S.13
• x=0 --> unbelastete Lage, während s=Auslenkung des Schwingenden Pendels. Zusammenhang: X=s_x0-s wobei s_x0= Abstand zwischen x und s
• herrscht Ruhelage-/Gleichgewichtslage = die am Feder hängenden Kräfte der Körper heben sich auf. andere Bezeichnung: x=s_{x0. Formel: siehe Extrablatt}

1. Oszillator = harmonische "Schwinger"
2. gemeinsames: f und T hängen auch nur von Federkonstante und schwingender Masse ab
3. Regel:

• Federkonstante D (ist eig. nur für Federn u.ä. definiert) wird bei anderen Oszillatoren durch die RICHTUNGSGRÖSSE D ersetzt
• Richtungsgrösse D: Konstante, die die Gleichung F_R=-D*s erfüllt

Aufbau?

• besteht aus 1 Gegenstand = Pendelkörper
• Pendelkörper hängt an Faden/Schnur o.ä

Beispiele:

• Schaukel, Pendeluhr, Hängelampe

• 2Kriterien: Beträge von Rückstellkraft und Auslenkung sind proportional zueinander & die Richtung ist entgegengesetzt
• S.8 zuunters, S.292 erster roter Punkt

siehe Buch

1. Nein: harmonisch: Vektro F(t) = -D *"Vektor"s(t) sowie T = 2*pi*Wurzel(m:D)
2. Proportionalitätsfaktor
3. Siehe extra  Formelblatt

Fadenpendel: von g, Fallbeschleunigung abhängig

Federpendel: von Masse des Pendelkörpers abhängig

wenn Fadenlänge (L) gegeben: T, f

Wenn etwas auf Kugel des Pendels liegt --> anderer Schwerpunkt (Schwerpunkt verschoben)

• wenn die Amplitude des schwingenden Körpers  immer kleiner wird, bis es zum Schwingungsstillstand kommt
• ein schwingendes System in Realität: immer in Verbindung mit Energieverlust (z.B. Reibung). Folge: jede freie (=sich überlassene) Schwingung ist gedämpft
• Faustregel: je grösser die Dämpfung, desto schneller verkleinert sich die Amplitude
• Kriechfall: Dämpfung ist so stark, dass der Körper nicht einmal mehr über die Ruhelage hinaus schwingt
• Zeichnung: siehe s. 18
• Siehe Extraformelblatt

Wann?

• wenn der schwingende Körper eine äussere (periodische) Einwirkung erfährt, die ihn zum Schwingen bringt (zwingt)

Bsp:

• Federpendel, Fadenpendel, das durch Handbewegung zum Schwingen gebracht wird
• Weihrauchfass, das geschwungen wird
• eine schauckelnde Person; von jmd. angeschupfst oder selber best. Bewegung macht um hoch zu schwingen
• Trommelfell im Ohr, das vom Schall in Schwingungen versetzt wird
• eine Handglocke, die geläutet wird

Art, wie der Körper schwingt

• von Erregerfrequenz f_E (Frequenz der Anregung) und Eigenfrequenz f₀ abhängig
• Eigenfrequenz= Körperfrequenz, mit der er frei schwingen würde, ohne äussere Anregung
• Berechnung der Eigenfrequenz beim harmonischen Oszillator: f₀ = siehe Extraformelblatt

_Fälle

• f_E << f₀: Erregerfrequenz  viel kleiner, Oszillator-Amplitude ist gleich der Erreger-Amplitude, beide schwingen im Gleichtakt = befinden sich immer in der gleichen Bewegungsphase ohne Phasenunterschied
• f_E>>f₀: Erregerfrequenz ist viel grösser, Erreger und Oszillator bewegen sich beide im Gegentakt

Eine Störung des Gleichgewichtzustandes, die sich in einem Metrum ausbreitet. 

• 1D-Metrum: Seil, Rohr, Schraubenfeder (Treppenläufer), Metallstange
• 2D-Metrum: Erd-&Wasseroberfläche, Tuch (Welle mit Bettdecke machen)
• 3D-Metrum: leerer Raum (Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen), luftgefüllter Raum (Schall, Druckwelle)

• Wellen transportieren Energie (meist Bewegungsenergie)
• Ein Stofftransport findet NICHT statt

eine einzelne Störung, die sich im Medium ausbreitet

Gegenteil: periodische Anregung einer Stelle, sodass eine konzinuierliche Welle entsteht

Wenn ein Medium an 1 Stelle periodisch angeregt wird

Es gibt 2 Wellenarten

Querwelle (Transversalwelle):

• Störende Bewegung: erfolgt quer zur Wellen-Ausbreitungsrichtung
• Beispiel: Querwelle durch eine Schraubenfeder oder ein Seil

Längswelle

• Störende Bewegung: erfolgt in die gleiche Richtung, wie sich die Welle ausbreitet
• Beispiel: Schallwelle (sich ausbreitende Luftdruckschwankungen), Welle durch in einer Linie aufgestellter beweglicher Magnete

Mechanische Welle: es wird etwas bewegt (Bewegungsenergie transportiert). Keine mechanische Welle: Licht

Entstehung:

• ein aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkter Mediumteil gibt seine Bewegung an die mit ihm verbundenen, benachbarten Teile weiter
• Koppflung = Verbindung zwischen den Medium-Teilen: entsteht durch die Kräfte, die zwischen den Teilen wirken
• Szenario: ein Mediumteil wird zum Schwingen gebracht. Folge: der betroffene Mediumteil zieht/stösst den benachbarten Teil mit und dieser wiederum den nächsten Teil usw. = so pflanzt sich die Störung (= die Auslenkung des 1. Teiles) durch das Medium fort.
• Achtung: die Auslenkung der benachbarten Teile sind zeitlich verschoben
•  

• bei einer harmonischen Welle führen die einzelnen Teilchen harmonische Schwingungen aus!!!
• durch harmonische Schwingung erzeugt. Bsp: Handbewegung am gespannten Seilende
• Folge. räuliche Wellenmuster lässt sich zu jedem Zeitpunkt durch Sinusfunktinen beschreiben = harm. Welle
• sehr gut ablesbar: Geschwindigkeit c (bei Perioden v): Punkt nehmen und schauen, wie schnell sich die Ausbreitung weiterverbreitet

Wellen haben eine Frequenz f und Periodendauer T WENN sie periodisch sind.

f und Periodendauer der Welle entsprechen der f und Periodendauer der Schwingungen der einzelnen Mediumteilchen.

• lambda = griechisches L
• Definition (Voraussetzung: periodische Welle): Abstand 2er Punkte gleicher Phase = Abstand zwischen 2 Punkten auf der Welle, die gerade in der gleichen Schwingungsphase sind d.h. die gleiche Auslenkung & Geschwindigkeit haben. Bsp.: sind beide gerade am oberen Umkehrpunkt
• Wellenlänge = das  räumliche Pendant (Gegenstück) zur Periodendauer (=zeitlich)
• Siehe S.20

• Symbol: c
• Ausbreitungs-/Wellen-/Phasengeschwindigkeit
• eine Welle breitet sich in einem Medium mit konstanter Geschwindigkeit aus 
• Abhängig von Mediumart & wie die Mediumteilchen aneiander gekoppelt sind (grösse der Kräfte zwischen ihnen)
• Bestimmung: einen Punkt des Wellenmusters auswählen z.B. den höchsten Punkt, und dann seine Geschwindigkeit bestimmen
• Ein Wellenpunkt kommt in 1 Periodendauer eine Wellenlänge weit
• Formel/Zusamenhang: c= siehe Extrablatt

• Wellenbewegung lässt sich nicht in 1 einzigen Diagramm mit 1 Graphen darstellbar, weil sie aus vielen Teilchen (verschieden bewegend) besteht
• abhängig von gewünschter Diagrammgrösse (zeitliche/räumliche): am besten einen "Schnappschuss" der Welle oder nur die Bewegung eines einzelnen Wellenteilchen darzustellen
• Momentaufnahme = "Schnappschuss": zeigt die Auslenkung von nebeneinanderliegenden Mediumteilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt (wie eingefroren). Diese horizontale Achse (x-Achse): gibt Ort der Medium-Teilchen an, vertikale Achse zeigt ihre momentane Auslenkung
• einzelne Teilchen-Bewegung: zeigt den zeitlichen Bewegungsverlauf eines einzelen Medium-Teilchens (wie beim Diagramm einer Schwingung)

• sind keine harmonischen Wellen, haben also keine Sinus-Form
• sind Mischungen aus Longitudinal- und Transversalwelle
• Funktion: Stofftransport ist möglich; Aussage, dass Wellen nur Energie transportieren, aber keine Materie, gilt nicht für Wasserwellen
• Spezielles? können trotzdem periodische Wellen sein: mit einer bestimmten Frequenz und Wellenlänge

1. Sind Druckschwankungen bzw. Dichteschwankungen, die sich in Materie fortpflanzen & sind Longitudinalwellen
2. Regel: Es gilt wie bei allen Wellenarten die Beziehung c = lambda*f
3. Schallwellengeschwindigkeit: typische Werte für c:

• in Luft von 20°C: 344 m/s
• in Wasser: 1500 m/s
• in Metallen: einige km/s

Folge: die Schallgeschwindigkeit ist kleiner als die Lichtgeschwindigkeit

• für Menschen hörbare Schallbereich: im Frequenzbereich 20HZ bis 20kHz & hat 10 Oktaven
• bei 1 Oktave: das Frequenzverhältnis ist zwischen tiefem und hohen Ton 1:3 --> Bsp: a' ist 440Hz höher als a'' mit 880Hz
• Infrastall: Schallfrequenzen unterhalb 20Hz
• Ultraschall: Schallfrequenzen oberhalb des Hörbereiches
• die Frequenz einer Schallwelle: bestimmt für das Gehör die Tonhöhe

• Lautstärke: durch die Schallwellenamplitude bestimmt & 1 Phasenverschiebung: nimmt Gehört nicht wahr
• 1 Ton =1 reiner Sinusschwing  = Amplitude ist anders als die Lautstärke
• Klänge = nicht sinusförmige, aber periodische Schwingungen = Frequenz &Wellenlänge und dadurch Tonhöhe anders
• Geräusch = unregelmässig = Amplitude und Frequenz bleiben gleich zeitlich verschoben = "Phasenverschiebung*
• Bsp.: ein Knall, ein Geräusch, Rauschen = nicht periodische Vorgänge

• entsteht: wenn sich 2 Töne mit sehr nahe beieinanderliegenden Frequenzen überlagern --> Schallwelle entsteht
• Amplitude der entstehenden Schallwelle: nimmt periodisch zu und wieder ab. Bedeutung: Man hört den Ton abwechselnd laut und leiser
• Siehe Grafik S.23

• Wenn sich der Sender einer Welle (z.B.Schallwellenquelle) in Bezug auf den Empfänger bewegt (z.B. das Ohr eines Beobachters)
• Was passiert? Frequenzverschiebung = Doppler-Verschiebung=Empfänger nimmt eine Frequenz f_E wahr, welche von der ausgesandten Frequenz f_S abweicht 
• Alltagsbeispiel: Wahrnehmung eines vorbeifahrenden Fahrzeuges, v.a. bei Fahrzeugen mit eingeschalteten Sirenen (Marinshorn)

1. in der Tonhöhe
2. wie Formeleins-Auto: Tonhöhe geht von hoch zu tief/verringert sich
3. Die Frequenz der Schallwelle verringert sich. Wichtig: nimmt nicht koninuirlich ab, sondern ändert sofort beim Vorbeifahren (auf 1 Schlag)

Wahrnehmung

• bei der Annäherung einer Schallquelle wird ein höherer, bei ihrer Entfernung ein tieferer Ton wahrgenommen im vgl. mit dem tatsächlichen ToN

Formel:

• benannt nach Christian Doppler: für die vom Empfänger (z.B. Ohr) gehörte Frequenz gilt: f_E=siehe Formelblatt
  • f_S=die vom Sender ausgesendete Frequenz
  • c=Ausbreiungsgeschwindigkeit der Schallwelle
  • v_E=Geschwindigkeit des Empfänger 
  • v_S= Geschwindigkeit des Senders
• Formelgebrauch: unwichtig, ob die Schallquelle oder der Empfänger/beide sich bewegen

Voraussetzung: die positive Richtung der Geschwindikeit soll immer vom Sender zum Empfänger zeige. D.H.: 

• wenn Empfänger in Skizze rechts vom Sender: sollen die Geschwidikeiten nach rechts positiv sein, solche nach links negativ --> gilt auch umgekehrt
• siehe Abb S.24