Statistik KE2 Kapitel 2.3 - 2.5
Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wozu dienen Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Zur Charakterisierung von Häufigkeitsverteilungen.
Was ist der Erwartungswert E(X)?
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X ist jener Wert, der sich bei genügend häufiger Wiederholung des Zufallsexperimentes als Mittelwert der Ergebnisse ergeben würde.
Wodurch unterscheidet sich bsw. das arithmetische Mittel vom Erwartungswert?
Im Vergleich zum arithmetischen Mittel, welches die tatsächliche Lage der Häufigkeitsverteilung beschreibt, ist der Erwartungswert eine theoretische Größe. Der Erwartungswert ist als Parameter zur Bestimmung der Lage einer Verteilung formal direkt mit dem arithmetischen Mittel vergleichbar.
Wie stellt sich die Formel für die Berechnung des Erwartungswertes?
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Wie berechnet sich der Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen
Für diskrete Zufallsvariablen berechnet sich der Erwartungswert als Summe der Produkte aus den möglichen Realisationen des Zufallsexperiments und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert kann einen Wert annehmen, der keinem möglichen Ergebnis des zugrundeliegenden Zufallsexperiments entspricht.
Welche Rolle nimmt der Erwartungswert in den Wirtschaftswissenschaften ein?
Der Erwartungswert spielt in den Anwendungen derWahrscheinlichkeitsrechnung innerhalb der Wirtschaftswissenschaften eine sehr wichtige Rolle. Wenn in Entscheidungsproblemen die Zielgröße eine Zufallsvariable ist, dann entsteht grundsätzlich das Problem eines eindeutigen Entscheidungskriteriums. Anstelle der Zufallsvariablen kann der Erwartungswert der Zufallsvariablen für die Herleitung eines Entscheidungskriteriums verwendet werden.
Welche Bedeutung nehmen die Standardabweichung und die Varianz in der Statistik ein?
Als wichtigstes Streuungsmaß für die Häufigkeitsverteilung eines quantitativen Merkmals wurden in der deskriptiven Statistik die Varianz und die Standardabweichung eingeführt. Diese beiden Maße werden innerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung als Parameter für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen verwendet. Die beiden Streuungsparameter sind ähnlich definiert wie in der deskriptiven Statistik.
Erläuter die formale Definiton der Varianz bei einer stetigen und einer diskreten Zufallsvariablen.
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Wie ist die Standardabweichung definiert?
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Inweiweit kann die Existenz eine Mittelwerts und einer Varianz sowohl bei stetigen Zufallsvariablen als auch bei diskreten Zufallsvariablen garaniert werden?
Die Existenz des Mittelwertes und der Varianz kann sowohl bei stetigen Zufallsvariablen als auch bei den diskreten Zufallsvariablen, die (abzählbar) unendlich viele Werte annehmen können, im Allgemeinen nicht garantiert werden. Es gibt wichtige Beispiele von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die einen oder beide Parameter nicht besitzen. Das gleiche gilt natürlich sinngemäß für die im nächsten Abschnitt dargestellten allgemeineren Momente.
Was sind Momente?
Erwartungswert und Varianz sind Spezialfälle einer allgemeinen Klasse von Parametern zur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Kenngröße. Es handelt sich hierbei um die Momente einer Zufallsvariablen.
Worin wird bei Momenten unterschieden?
- Momente um 0 und
- Momente in Bezug auf einen Parameter a, wobei vor allem die zentralen Momente, die auf den Erwartungswert der Zufallsvariablen bezogen werden, interessieren.
Wie wird das k-te Moment um Null definiert?
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Erläutere Varianz als zentrales Moment der zweiten Ordnung
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Was lässt sich mittels Momenten untersuchen?
Mit Hilfe von Momenten können verschiedene Eigenschaften von eingipfligen Verteilungen wie z.B. die Schiefe und die Wölbung untersucht werden. Diese Eigenschaften werden zur Charakterisierung einer Verteilung benutzt.
Was bezeichnet man als Momentkoeffizient der Schiefe?
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Was bezeichnet man als Kurtosis?
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Was bezeichnet die Kurtosis-Exzess?
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Wann treten Zufallsvariablen als Argumente von Funktionen auf.
In vielen Anwendungsfällen der Wahrscheinlichkeitsrechnung treten Zufallsvariablen als Argumente von Funktionen auf. Das ist z.B. immer dann der Fall, wenn eine Größe Y eine Funktion einer anderen Größe X ist und X eine Zufallsvariable ist.
Was bedeutet es, wenn bei einer Funktion Y = g(X) die unabhängige Variable X eine Zufallsvariable ist?
Wenn bei einer Funktion Y = g(X) die unabhängige Variable X eine Zufallsvariable ist, dann ist auch die abhängige Variable Y wieder eine Zufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X bestimmt dann über die Funktion Y = g(X) die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen Y .
Was ist eine lineare Transformation? Was nennt man eine Linearkombination?
Liegt eine lineare Funktion einer Zufallsvariablen vor, also Y = aX + b, so wird diese auch als lineare Transformation der Zufallsvariablen X bezeichnet. Fehlt bei einer linearen Funktion mehrerer Zufallsvariablen das absolute Glied, dann wird von einer Linearkombination der Zufallsvariablen gesprochen.
Wie lautet die Definition für den Erwartungswert der lineare Transformation?
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Erläutere die Varianz einer linearen Transformation
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Wie lautet der Erwartungswert einer lineare Funktion?
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Wozu dienen Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Zur Charakterisierung von Häufigkeitsverteilungen.
Was ist der Erwartungswert E(X)?
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X ist jener Wert, der sich bei genügend häufiger Wiederholung des Zufallsexperimentes als Mittelwert der Ergebnisse ergeben würde.
Wodurch unterscheidet sich bsw. das arithmetische Mittel vom Erwartungswert?
Im Vergleich zum arithmetischen Mittel, welches die tatsächliche Lage der Häufigkeitsverteilung beschreibt, ist der Erwartungswert eine theoretische Größe. Der Erwartungswert ist als Parameter zur Bestimmung der Lage einer Verteilung formal direkt mit dem arithmetischen Mittel vergleichbar.
Wie stellt sich die Formel für die Berechnung des Erwartungswertes?
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Wie berechnet sich der Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen
Für diskrete Zufallsvariablen berechnet sich der Erwartungswert als Summe der Produkte aus den möglichen Realisationen des Zufallsexperiments und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert kann einen Wert annehmen, der keinem möglichen Ergebnis des zugrundeliegenden Zufallsexperiments entspricht.
Welche Rolle nimmt der Erwartungswert in den Wirtschaftswissenschaften ein?
Der Erwartungswert spielt in den Anwendungen derWahrscheinlichkeitsrechnung innerhalb der Wirtschaftswissenschaften eine sehr wichtige Rolle. Wenn in Entscheidungsproblemen die Zielgröße eine Zufallsvariable ist, dann entsteht grundsätzlich das Problem eines eindeutigen Entscheidungskriteriums. Anstelle der Zufallsvariablen kann der Erwartungswert der Zufallsvariablen für die Herleitung eines Entscheidungskriteriums verwendet werden.
Welche Bedeutung nehmen die Standardabweichung und die Varianz in der Statistik ein?
Als wichtigstes Streuungsmaß für die Häufigkeitsverteilung eines quantitativen Merkmals wurden in der deskriptiven Statistik die Varianz und die Standardabweichung eingeführt. Diese beiden Maße werden innerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung als Parameter für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen verwendet. Die beiden Streuungsparameter sind ähnlich definiert wie in der deskriptiven Statistik.
Erläuter die formale Definiton der Varianz bei einer stetigen und einer diskreten Zufallsvariablen.
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Wie ist die Standardabweichung definiert?
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Inweiweit kann die Existenz eine Mittelwerts und einer Varianz sowohl bei stetigen Zufallsvariablen als auch bei diskreten Zufallsvariablen garaniert werden?
Die Existenz des Mittelwertes und der Varianz kann sowohl bei stetigen Zufallsvariablen als auch bei den diskreten Zufallsvariablen, die (abzählbar) unendlich viele Werte annehmen können, im Allgemeinen nicht garantiert werden. Es gibt wichtige Beispiele von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die einen oder beide Parameter nicht besitzen. Das gleiche gilt natürlich sinngemäß für die im nächsten Abschnitt dargestellten allgemeineren Momente.
Was sind Momente?
Erwartungswert und Varianz sind Spezialfälle einer allgemeinen Klasse von Parametern zur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Kenngröße. Es handelt sich hierbei um die Momente einer Zufallsvariablen.
Worin wird bei Momenten unterschieden?
- Momente um 0 und
- Momente in Bezug auf einen Parameter a, wobei vor allem die zentralen Momente, die auf den Erwartungswert der Zufallsvariablen bezogen werden, interessieren.
Wie wird das k-te Moment um Null definiert?
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Erläutere Varianz als zentrales Moment der zweiten Ordnung
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Was lässt sich mittels Momenten untersuchen?
Mit Hilfe von Momenten können verschiedene Eigenschaften von eingipfligen Verteilungen wie z.B. die Schiefe und die Wölbung untersucht werden. Diese Eigenschaften werden zur Charakterisierung einer Verteilung benutzt.
Was bezeichnet man als Momentkoeffizient der Schiefe?
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Was bezeichnet man als Kurtosis?
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Was bezeichnet die Kurtosis-Exzess?
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Wann treten Zufallsvariablen als Argumente von Funktionen auf.
In vielen Anwendungsfällen der Wahrscheinlichkeitsrechnung treten Zufallsvariablen als Argumente von Funktionen auf. Das ist z.B. immer dann der Fall, wenn eine Größe Y eine Funktion einer anderen Größe X ist und X eine Zufallsvariable ist.
Was bedeutet es, wenn bei einer Funktion Y = g(X) die unabhängige Variable X eine Zufallsvariable ist?
Wenn bei einer Funktion Y = g(X) die unabhängige Variable X eine Zufallsvariable ist, dann ist auch die abhängige Variable Y wieder eine Zufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X bestimmt dann über die Funktion Y = g(X) die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen Y .
Was ist eine lineare Transformation? Was nennt man eine Linearkombination?
Liegt eine lineare Funktion einer Zufallsvariablen vor, also Y = aX + b, so wird diese auch als lineare Transformation der Zufallsvariablen X bezeichnet. Fehlt bei einer linearen Funktion mehrerer Zufallsvariablen das absolute Glied, dann wird von einer Linearkombination der Zufallsvariablen gesprochen.
Wie lautet die Definition für den Erwartungswert der lineare Transformation?
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Erläutere die Varianz einer linearen Transformation
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Wie lautet der Erwartungswert einer lineare Funktion?
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