Statistik 7
Grundlagen der Interferenzstatistik
Grundlagen der Interferenzstatistik
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Cartes-fiches
Signifikanzniveau:
festgelegte Grenze der Wahrscheinlichkeit z.B. 0.05
Überschreitungswahrscheinlichkeit:
p (p-Wert)
Wahrscheinlichkeit, das gefundene Ergebnis oder noch ein stärker gegen die Nullhypothese sprechendes Ergebnis unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist, zu finden
Falsifikationismus;
Fisher war der Meinung, dass es nicht möglich sein nachzuweisen, dass die Nullhypothese gültig ist: Man kann sie nur verwerfen oder eben nicht verwerfen
Falsikationismus (Popper): wissenschafltiche Hypothesen können niemals durch empirische Beobachtungen beweisen oder verifiziert, sondern immer nur entkräftet oder falsifiziert werden
Kritik an Fisher:
in vielen Fällen unrealistisch, dass es überhaupt keinen Effekt gibt
Binäres Entscheidungskonzept nach Neyman und Pearson:
Null- und Alternativhypothese
Alternativhypothese ist in den meisten Anwendungen die
Forschungshypothese, die von Interesse ist.
Nullhypothese ist der Gegenpart zur Alternativhypothese
Null- und Alternativhypothese schliessen sich gegenseitig aus
Binäre Entscheidung: Entscheidung für entweder
die Nullhypothese
oder
die Alternativhypothese
Fehler erster Art \(\alpha\):
H0 ist wahr, wird aber verworfen
Fehler zweiter Art \(\beta\):
H0 ist falsch, wird aber beibehalten
Verwerfen der Nullhypothese wenn:
P(H1 annehmen | H0 wahr) ≤ α
p ≤ α
Unterschied p-Wert und α-Fehler:
Überschreitungswahrscheinlichkeit p ist ein empirisches Ergebnis
Irrtumswahrscheinlichkeit α wird vor der Untersuchung festgelegt
Zusammengesetzte Hypothese:
H0: μ ≤ 50 H1: μ > 50
Nullhypothese besteht aus einem Wertebereich
Für jeden Wert des Wertebereichs kann eine Verteilung betrachtet werden
Festlegung des Ablehnungsbereichs:
Betrachtung der Verteilung unter dem Wert der Nullhypothese, der gerade noch mit der Nullhypothese vereinbar ist (μ = 50)
Irrtumswahrscheinlichkeit stellt Obergrenze dar
Teststärke (Power):
\(1 - \beta\)
wovon hängen β und (1 — β) ab?
Effekt(grösse)
Signifikanzniveau α
Streuung der Populationsmerkmalsverteilung
Stichprobengrösse
Art des Tests (einseitig vs. zweiseitig)
Statistisches Testen an Stichproben:
einseitiger Test, gerichtete Hypothese:
zemp = 3,58
zkrit = 1,645
zemp > zkrit
H0 verworfen
Teststärke ist umso höher, ...
je grösser die Stärke des Effekts ist,
je grösser der Stichprobenumfang ist,
je geringer die Merkmalsstreuung ist,
je grösser α ist.
Einstiproben-Gauss-Test (z-Test)
Vergleich eines Stichprobenmittelwertes mit einem Populationsmittelwert bei bekannter Populationsvarianz
Einstichproben-t-Test:
Vergleich eines Stichprobenmittelwertes mit einem Populationsmittelwert bei unbekannter Populationsvarianz
Zweiseitiger Test: p-Wert
Wahrscheinlichkeit, unter H0 den beobachteten Prüfgrössenwert oder einen (in Richtung der Alternative) noch extremeren Wert zu erhalten.
Bezieht sich auf Betrag der Prüfgrösse
Gleicher Wert der Prüfgrösse geht beim zweiseitigen Test – im Vergleich
zum einseitigen Test - mit doppeltem p-Wert einher
Computerprogramme geben typischerweise den p-Wert für zweiseitigen
Test aus --> muss für einseitigen Test halbiert werden.
Einseitiger T est hat mehr Power
Standardisierte Effektgrössen:
Unstandardisierte Grösse des Effekts
Population: ε = μ − μ0
Postuliert unter Alternativhypothese: ε1 = μ1 − μ0
Schwer vergleichbar über Studien, in denen Effekt mit unterschiedlicher Metrik erfasst wurde
Daher: Standardisierung der Effektgrössen
Cohens δ :
\(\delta = 0.14 \space\space\space\space\delta = 0.35 \space\space\space\space\delta = 0.57 \)
Testplanung:
- Bestimmung des optimalen Stichprobenumfangs, um bei einem festgegelgtem Signifikanzniveau eine a priori festgelegte Teststärke zu erhalten
Grösse des Effekts und Populationsstandardabweichungen müssen bekannt sein bzw. festgelegt werden
Rückgriff auf standardisierte Effektgrössen
Take Home Messages:
Ein nicht-signifikantes Ergebnis zeigt nicht, dass die Nullhypothese wahr ist.
Das Signifikanzniveau muss vor einer Untersuchung festgelegt werden.
Hypothesen müssen vor der Untersuchung formuliert werden.
Erstellt man Hypothesen anhand von Zusammenhängen in den Daten, müssen diese an neuen Daten überprüft werden.
Ein signifikantes Ergebnis bedeutet nicht zwangsläufig, dass der Unterschied/ Zusammenhang praktisch bedeutsam ist.
Ein signifikantes Ergebnis bedeutet nicht, dass der Effekt präzise geschätzt wurdeèKonfidenzintervalle sind notwendige Ergänzung
Der p-Wert entspricht NICHT der Wahrscheinlichkeit, mit der die Nullhypothese wahr ist:
p = P(E|H0) ≠ P(H0 |E)
Probleme des Nullhypothesentest, welche das binäre Entscheidungskonzept lösen kann:
1) Zwingt den Forschenden, eine Annahme bezüglich des erwarteten Effekts zu treffen
• inhaltlicheHypothesemussbegründetundspezifiziert werden --> Theorien gehaltvoller
2) Erlaubt Prüfung der Alternativhypothese: Alternativhypothese kann abgelehnt / Nullhypothese angenommen werden
• Fehler, der mit dieser Entscheidung verbunden ist, quantifizierbar
3) H0 beibehalten ≠ Populationseffekt gleich 0
• sondern lediglich,dass ein emirisches Ergebnis unter der Annahme eines Effekts der spezifizierten Grösse unwahrscheinlich ist, wenn die Untersuchung so angelegt wurde, dass die gewünschte Power erreicht wurde.
4) H1 annehmen ≠ Populationsmittelwert exakt μ1
• sondern lediglich, dass ein solches Ergebnis unter der Annahme der Nullhypothese unwahrscheinlich ist.
Unterschied allgemeine und spezifische Alternativhypothese:
Allgemeine Alternativhypothese: Die Person stammt aus einer Population mit einem
Mittelwert von μ > 100. H1: μ > 100 (μ > μ0)
Spezifische Alternativhypothese: Die Person stammt aus einer Population mit einem Mittelwert von μ = 110. H1: μ = 110 (μ = μ1)
