Statistik 7

p (p-Wert)

Wahrscheinlichkeit, das gefundene Ergebnis oder noch ein stärker gegen die Nullhypothese sprechendes Ergebnis unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist, zu finden

Fisher war der Meinung, dass es nicht möglich sein nachzuweisen, dass die Nullhypothese gültig ist: Man kann sie nur verwerfen oder eben nicht verwerfen

Falsikationismus (Popper): wissenschafltiche Hypothesen können niemals durch empirische Beobachtungen beweisen oder verifiziert, sondern immer nur entkräftet oder falsifiziert werden

in vielen Fällen unrealistisch, dass es überhaupt keinen Effekt gibt

• Null- und Alternativhypothese

• Alternativhypothese ist in den meisten Anwendungen die

  Forschungshypothese, die von Interesse ist.

• Nullhypothese ist der Gegenpart zur Alternativhypothese

• Null- und Alternativhypothese schliessen sich gegenseitig aus

• Binäre Entscheidung: Entscheidung für entweder

  • die Nullhypothese

    oder

  • die Alternativhypothese 

H₀ ist wahr, wird aber verworfen

H₀ ist falsch, wird aber beibehalten

• P(H₁ annehmen | H₀ wahr) ≤ α 

• p ≤ α 

• Überschreitungswahrscheinlichkeit p ist ein empirisches Ergebnis

• Irrtumswahrscheinlichkeit α wird vor der Untersuchung festgelegt 

• H₀: μ ≤ 50 H₁: μ > 50 

• Nullhypothese besteht aus einem Wertebereich

• Für jeden Wert des Wertebereichs kann eine Verteilung betrachtet werden

• Festlegung des Ablehnungsbereichs:

  • Betrachtung der Verteilung unter dem Wert der Nullhypothese, der gerade noch mit der Nullhypothese vereinbar ist (μ = 50)

• Irrtumswahrscheinlichkeit stellt Obergrenze dar 

\(1 - \beta\)

• Effekt(grösse)

• Signifikanzniveau α

• Streuung der Populationsmerkmalsverteilung

• Stichprobengrösse

• Art des Tests (einseitig vs. zweiseitig)

einseitiger Test, gerichtete Hypothese:

z_emp = 3,58

z_krit = 1,645

z_emp > z_krit 

H₀ verworfen

• je grösser die Stärke des Effekts ist,

• je grösser der Stichprobenumfang ist,

• je geringer die Merkmalsstreuung ist,

• je grösser α ist.

Vergleich eines Stichprobenmittelwertes mit einem Populationsmittelwert bei bekannter Populationsvarianz 

Vergleich eines Stichprobenmittelwertes mit einem Populationsmittelwert bei unbekannter Populationsvarianz 

• Wahrscheinlichkeit, unter H0 den beobachteten Prüfgrössenwert oder einen (in Richtung der Alternative) noch extremeren Wert zu erhalten.

• Bezieht sich auf Betrag der Prüfgrösse

• Gleicher Wert der Prüfgrösse geht beim zweiseitigen Test – im Vergleich

  zum einseitigen Test - mit doppeltem p-Wert einher

• Computerprogramme geben typischerweise den p-Wert für zweiseitigen

  Test aus --> muss für einseitigen Test halbiert werden.

• Einseitiger T est hat mehr Power

• Unstandardisierte Grösse des Effekts

  Population: ε = μ − μ0

  Postuliert unter Alternativhypothese: ε1 = μ1 − μ0

  Schwer vergleichbar über Studien, in denen Effekt mit unterschiedlicher Metrik erfasst wurde

• Daher: Standardisierung der Effektgrössen 

\(\delta = 0.14 \space\space\space\space\delta = 0.35 \space\space\space\space\delta = 0.57 \)

• Bestimmung des optimalen Stichprobenumfangs, um bei einem festgegelgtem Signifikanzniveau eine a priori festgelegte Teststärke zu erhalten

• Grösse des Effekts und Populationsstandardabweichungen müssen bekannt sein bzw. festgelegt werden 

• Rückgriff auf standardisierte Effektgrössen 

•   Ein nicht-signifikantes Ergebnis zeigt nicht, dass die Nullhypothese wahr ist.

• Das Signifikanzniveau muss vor einer Untersuchung festgelegt werden.

• Hypothesen müssen vor der Untersuchung formuliert werden.

• Erstellt man Hypothesen anhand von Zusammenhängen in den Daten, müssen diese an neuen Daten überprüft werden.

• Ein signifikantes Ergebnis bedeutet nicht zwangsläufig, dass der Unterschied/ Zusammenhang praktisch bedeutsam ist.

• Ein signifikantes Ergebnis bedeutet nicht, dass der Effekt präzise geschätzt wurdeèKonfidenzintervalle sind notwendige Ergänzung

• Der p-Wert entspricht NICHT der Wahrscheinlichkeit, mit der die Nullhypothese wahr ist:

  p = P(E|H₀) ≠ P(H₀ |E) 

1) Zwingt den Forschenden, eine Annahme bezüglich des erwarteten Effekts zu treffen

• inhaltlicheHypothesemussbegründetundspezifiziert werden --> Theorien gehaltvoller

2) Erlaubt Prüfung der Alternativhypothese: Alternativhypothese kann abgelehnt / Nullhypothese angenommen werden

• Fehler, der mit dieser Entscheidung verbunden ist, quantifizierbar

3) H₀ beibehalten ≠ Populationseffekt gleich 0

• sondern lediglich,dass ein emirisches Ergebnis unter der Annahme eines Effekts der spezifizierten Grösse unwahrscheinlich ist, wenn die Untersuchung so angelegt wurde, dass die gewünschte Power erreicht wurde.

4) H₁ annehmen ≠ Populationsmittelwert exakt μ1

• sondern lediglich, dass ein solches Ergebnis unter der Annahme der Nullhypothese unwahrscheinlich ist. 

Allgemeine Alternativhypothese: Die Person stammt aus einer Population mit einem

Mittelwert von μ > 100. H1: μ > 100 (μ > μ0)

Spezifische Alternativhypothese: Die Person stammt aus einer Population mit einem Mittelwert von μ = 110. H1: μ = 110 (μ = μ1)