Stab- und Flächentragwerke

- DGLn des Problems
- Anzahl RB und ÜB
- RB und ÜB

Flächentragwerke (dünnwandige räumliche Systeme): eine Abmessung (Dicke) ist klein gegenüber den beiden anderen Abmessungen (2D-Kontinuum, Schale)

Stab:
Eine Abmessung (Länge) ist groß gegenüber den beiden anderen (Querschnitts-)Abmessungen (1D-Kontinuum, Stäbe mit kompaktem Vollquerschnitt)

Stäbe mit dünnwandigem Querschnitt werden auch als Stabschalen bezeichnet --> alle 3 Längenausdehnungen haben unterschiedliche Dimensionen

- Einführung physikalisch sinnvoller Annahmen über den Verformungszustand (kinematische Annahmen) und den Spannungszustand (kinetische Annahmen) in einer Richtung (bei Schalen) bzw. zwei Richtungen (bei Stäben und Stabschalen) führt über Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik zu vereinfachten 2D und 1D Theorien.

-Grundgleichungen sind zunächst PDGLn abhängig von x, y, z
- durch Annahmen: Integration nach x und y

- übrig bleiben gewöhnliche DGLn, abhängig von z

-Theorien sind Näherungstheorien und nicht immer in sich völlig widerspruchsfrei
 

- alle Achsen orthogonal (rechtwinklig)
- Stablängsachse liegt im Flächenschwerpunkt S
- x, y sind Hauptachsen bzgl S
- Schubmittelpunkt M liegt auf S

-Matrix der Einflusszahlen ist entkoppelt, jede der 6 DGL kann für Schnittgrößen und zugehörige Verformungen integriert werden

- Wölbmomente I_xw und I_yw und Sektormoment S_w verschwinden an diesem Punkt
- Drillruhepunktachse geht durch diesen Punkt (wenn keine Wölbbehinderung, sonst nicht korrekt, wird aber genutzt)
- identisch zum Schubmittelpunkt

Reine Torsion:

• ohne Wölbbehinderung, d.h. Querschnitt kann sich ungehindert verwölben
• M=G*I_t*phi '

Wölbkrafttorsion:

• Querschnitt kann sich nicht ungehindert verwölben (durch Eigenspannungen, Querschnittssprünge)
• zusätzliche Längsspannungen hervorgerufen (evtl. mit Biegung gekoppelt)

- nur für kleine Durchbiegungen (Theorie 1. Ordnung)
- infolge Durchbiegung wird aus Platte Schale
- bei größeren Durchbiegung ist Änderung des Tragverhaltens nicht mehr vernachlässigbar

Beinhaltet 3 kinematische Annahmen:

• Stabquerschnitt ist in seiner Ebene z=konst. starr
• Verschiebung eines beliebigen Punktes P(x,y,z) in x und y Richtung ergeben sich aus Verschiebung des Punktes P0(0,0,z) und der Verdrehung um den Winkel phi (<<1) um diesen Punkt
• Stabquerschnitt bleibt bei Verformung (Verbiegung um bzw. Verdrehung der z-Achse) eben
• keine Schubverzerrungen

• alle Tragwerke, deren Elemente Stütze sind: Fachwerk (Zug, Druck); Stabwerk (Biegung, Torsion)
• Tragwerk aus Stäben mit Verhältnis: x:y:z=1:1:10

• Tragwerk aus Elementen deren Dicke deutlich kleiner ist als die anderen Abmessungen
• x:y:z=1:10:10

• Lösung kann für jeden Grundbeanspruchungszustand getrennt gelöst werden, anschließend überlagert
• Voraussetzungen: kleiner Verformungen & Verzerrungen
• lineare Theorie

• entsteht beim Freischneiden
• Spannungsresultante
• Schnittkraft [N/m] bzw. -moment [Nm/m]

• Querkräfte mit Wirkungslinie durch diesen Punkt ergeben nur Verbiegung, keine Verdrehung
• ist bei symmetrischen Querschnitten immer auf Symmetrieachse

• Verwölbung proportional zur Verdrillung und in jedem Querschnitt qualitativ gleich der Querschnittsfunktion w(x,y)
• w(x,y)=Einheitsverwölbung in [mm²] = konst.
• ist nur von Querschnittsform abhängig, da Querschnittsfunktion
• Verweölbung = -phi ' - w
• bei Kreisquerschnitten = 0

• Schnittgröße des Querschnittes, die Verwölbung berücksichtigt
• Integral der Normalspannung in z-Richtung mit w*dA
• Maß für Winkeländerung phi ' '
• Maß für die Behinderung (je größer Behinderung, desto größer phi ' ' --> desto größer B)
• B=-E*I_ww*phi ' '

• im GGW am Plattenelement befinden sich am Rand 3 Schnittgrößen, aber durch Vernachlässigung der Querkraftschubverzerrzung nur 2 kinematische Größen (Durchbiegung w und Verdrehung w,_y
• Drillmomente in statisch äquivalentes Kräftepaar wandeln, diese in der Ersatzquerkraft berücksichtigen

• statisch äquivalente Aufteilung des Drillmomentes einer beliebig belasteten Rotationsschale auf Quer- und Schubkraft

• die in einem elastischen System auftretenden Verformungen stellen sich im GGW so ein, dass das Gesamtpotential minimal wird

Rand- und Übergangsbedingungen

+ entkoppeln der PDGLn durch Ansatzfunktion zu gewöhnlichen DGLn
+ analythische Integration
+ resultierende AWA der Reihenglieder konvergiert schnell und kann kurzzeitig abgebrochen werden