Sätze, Theoreme, Lemma usw.
Es handelt sich um Sätze, Lemmata usw. der Linearen Algebra 2
Es handelt sich um Sätze, Lemmata usw. der Linearen Algebra 2
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Flashcards
\(\text{Es sei } n\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\text{ und }det:Mat_\mathbb{K}(n\times n)\to\mathbb{K}\\ \text{eine Determinante und } A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{was gilt dann wenn:}\\ \text{1) }det(\lambda A)\\ \text{2) Falls in A ein Spaltenvektor der Nullvektor ist}\\ \text{3) Wenn }\tilde{A}\text{ aus A entsteht durch Vertauschen }\\ \text{zweier Spaltenvektoren also: }\tilde{A}=A\cdot P_{ij}\\ \text{was gilt dann für }det(\tilde{A})\\ \text{4) Wenn }\tilde{A}\text{ aus A entsteht durch Addition des}\\ \lambda -Fachen \text{ der j-ten Spalte zur i-ten Spalte also: } \\\tilde{A}=A\cdot Q_{ij}(\lambda)\\ \text{was gilt dann für }det(\tilde{A})\\\)
\(\text{1) }det(\lambda\cdot A)=\lambda^n\cdot det(A), \forall A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{2) Dann ist } det(A)=0\\ \text{3) } det(\tilde{A})=-det(A)\\ \text{4) }det(\tilde{A})=det(A)\)
\(\text{Sei }n\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\text{ und } det:Mat_\mathbb{K}(n\times n)\to\mathbb{K}\\ \text{eine Determinante}\\ \text{1) Falls }\sigma\in S_n \text{ und }A=\Big(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)}\Big)\\ \text{mit der Standardbasis }(e_1,\dots ,e_n) \\ \text{was gilt dann für det(A)}\\ \text{2) Falls }A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\text{eine obere Dreiecksmatix ist}\\ \text{d.h wenn gilt:}\\ A= \begin{pmatrix} \lambda_1 & &* \\ &\ddots&\\ 0&&\lambda_n \end{pmatrix}\\ \text{was gilt dann für det(A)\\ }\)
\(\text{1) }det(A)=sgn(\sigma)\\ \text{2) }det(A) =\lambda_1\cdot \ldots \cdot \lambda_n\)
\(\text{Wie lässt sich die Determinante einer Matrix berechnen?}\)
\(det(A)=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)\cdot a_{\sigma(1),1}\cdot\ldots\cdot a_{\sigma(n),n}\)
\(\text{Sei }n\in\mathbb{N}\backslash\{0\} \text{ und }A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{was gilt dann für:}\\ det(A^T)\\ \)
\(det(A^T)=det(A)\)
\(\text{Sei }n\in\mathbb{N}\backslash\{0\} \text{ und }A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{was ist äquivalent zu:}\\ \text{1) Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig}\\ \text{2) A ist invertierbar}\)
\(\text{1) Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig} \Leftrightarrow \\ det(A)=0\\ \text{2) A ist invertierbar}\Leftrightarrow\\ det(A)\neq 0\)
Wenn die Spaltenvektoren einer Matrix l.u. sind was gilt dann für die Determinante
\(det(A)=0\)
Wenn die Matrix A invertierbar ist was gilt dann für die Determinante
\(det(A)\neq0\)
\(\text{Was ergibt }det(A\cdot B)\)
\(det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)\)
\(\text{Was ergibt: }det(A^{-1})\text{ (falls A invertierbar ist)}\)
\(det(A^{-1})=[det(A)]^{-1}\)
\(Wenn \ A=(a_{ij})=(a_1,\ldots,a_n)\\ \text{Wie ist }A_{ij}\text{ definiert}\\ \text{und wie die Streichmatrix }A_{ij}'\)
\(A_{ij}= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&0&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&1&\cdots&0\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&0&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\\ \text{Die Matrix entsteht also aus A indem, die j-te Spalte, also }a_j\\ \text{durch }e_j\text{ ersetzt wid und die i-te Zeile durch }e_i^T\\ \text{Bzw. indem j-te und i-te Zeile durch 0 ersetzen und}\\ \text{an der Stelle (ij) eine 1}\\ A_{ij}'= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\\ \text{Diese Matrix entsteht durch streichen der j-ten Spalte und i-ten Zeile}\)
\(\text{Wie kann }\\ 1)\ det(a_1,\ldots,a_{j-1},e_i,a_{j+1},\ldots,a_n)\\ 2)\ det(A_{ij})\\ \text{berechnet werden}\\ \)
\(1)\ det(a_1,\ldots,a_{j-1},e_i,a_{j+1},\ldots,a_n)=(-1)^{i+j}det(A_{ij}')\\ 2)\ det(A_{ij})=(-1)^{i+j}det(A_{ij}')\\\)
\(\text{Wenn A eine Matrix und }\tilde{A}\text{ die zu A komplementäre Matrix}\\ \text{Was ergibt: } A\cdot\tilde{A}\)
\(A\cdot\tilde{A}=\tilde{A}\cdot A=det(A)\cdot E_n\\\ mit\ A\in Mat_K(n\times n)\)
\(\text{Wenn A invertierbar ist, wie lassen sich die Einträge berechenen mit:}\\ A^{-1}=(\alpha_{ij})\)
\(\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\frac{det(A_{ji}')}{det(A)}\)
\(x,b\in K^n\\ \text{Wie lässt sich folgenden Gleichungssystem}\\ \text{mit der Cramer'schen Regel lösen:}\\ Ax=b\)
\(x_j=\frac{det(a_1,\ldots,a_{j-1},b,a_{j+1},\ldots,a_n)}{detA}\\ \text{MaW: Man setzt in der Matrix a an die j-te Spalte den Ergebnisvektor b}\)
Ist die Determinante der Darstellenden Matrix einer Abbildung bezüglich einer Basis,
also M(A,F,A), unabhängig von der Wahl der Basis?
\(\text{Ja weil folgendes gilt:}\\ det(M(\mathscr{A},F,\mathscr{A}))=det(M(\mathscr{B},F,\mathscr{B}))\)
\(\text{Wie kann folgende Komposition berechnet werden:}\\ det(F\circ G)\)
\(det(F\circ G)=det(F)\cdot det(G)\)
Was für Aussagen gelten für Eigenräume
\(1)\ Eig_{\lambda}(F)\subset V\ ist \ UVR\\ 2)\ Eig_{\lambda}(F)\backslash\{0\}=\{\text{EV von F zum EW }\lambda\}\\ 3)\ Eig_{\lambda}(F)\backslash\{0\}\neq \emptyset\Leftrightarrow \lambda\text{ ist EW von F}\\ 4)\ Eig_{\lambda}(F)=ker(F-\lambda id)\\ 5)\ Falls\ \lambda_1\neq\lambda_2:\ Eig_{\lambda_1}(F)\cap\ Eig_{\lambda_2}(F)=\{0\}\)
\(\text{Was gilt wenn }v_1,\ldots,v_r\text{ EV von F zu paarweise}\\ \text{verschiedenen EW sind}\)
\((v_1,\ldots,v_r)\text{ bildet eine linear unabhängige Familie}\)
Welche Eigenschaften treffen auf das Charakteristische Polynom zu?
1) Es ist eindeutig bestimmt
2) Die Nullstellen des Polynoms sind die Eigenwerte
Was gilt wenn die Eigewerte von F paarweise verschieden sind?
Dann ist F diagonalisierbar
Was ist äquivaltenz zu der Aussage:
F ist trigonalisierbar
Dass das charakteristische Polynom von F in Linearfaktoren zerällt
Was ist äquivaltenz zu der Aussage:
Das Charakteristische Polynom von F zerfällt in Linearfaktren
F ist trigonaliesierbar
Was ergibt sich wenn man F in das charakteristische Polynom von F einsetzt, also:
\(\chi_F(F)\)
\(\chi_F(F)=0\)
\(\text{Was gilt wenn G Abstanderhaltend ist und }G\in Abb(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)\)
\(\exists c\in\mathbb{R}^n,F\in Abb(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n):\\ \forall x\in\mathbb{R}^n:G(x)=F(x)+c\ sodass\ F\ orthogonal\\ c=G(0)\ und\ F(x)=G(x)-c\)
Wenn folgendes gilt was folgt daraus:
\(\exists c\in\mathbb{R}^n,F\in Abb(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n):\\ \forall x\in\mathbb{R}^n:G(x)=F(x)+c\ mit\ F\ orthogonal\)
Dass G Abstand erhaltend ist
\(\text{Was ist zu folgender Aussage äquivalent:}\\ \text{F ist orthogonal}\)
\(1)\ \text{F ist orthogonal}\\\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\langle x,y\rangle =\langle F(x),F(y)\rangle\\ 2)\ \text{F ist linear und für jede ONB }\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ von\ \mathbb{R}^n\\ \text{ist auch }\mathscr{B}=(w_1,\ldots,w_n)\ mit\ w_j=F(v_j)\ eine\ ONB\)
\(\text{Was ist zu folgender Aussage äquivalent:}\\ \forall x,y\in\mathbb{R}^n:\langle x,y\rangle =\langle F(x),F(y)\rangle\\ \)
\(1)\ \text{F ist orthogonal}\\ 2)\ \text{F ist linear und für jede ONB }\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ von\ \mathbb{R}^n\\ \text{ist auch }\mathscr{B}=(w_1,\ldots,w_n)\ mit\ w_j=F(v_j)\ eine\ ONB\)
\(\text{Was ist zu folgender Aussauge äquivalent:}\\ \text{F ist linear und für jede ONB }\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ von\ \mathbb{R}^n\\ \text{ist auch }\mathscr{B}=(w_1,\ldots,w_n)\ mit\ w_j=F(v_j)\ eine\ ONB\)
\(1)\ \text{F ist orthogonal}\\ 2)\ \forall x,y\in\mathbb{R}^n:\langle x,y\rangle =\langle F(x),F(y)\rangle\\ \)
\(Wenn\ s:V\times V\to K\text{ bilinear bzw. sesquiliniear}\\ \text{Was folgt wenn s symmetrisch bzw. hermitesch ist}\)
\(\text{Die darstellende Matrix B bezüglich einer}\\ \text{beliebigen Basis erfüllt die Gleichung: }B^T=B\ bzw.\ B^T=\overline{B}\)
Was besagt die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung
\(Für\ V\ ein\ euklidischer\ oder\ unitärer\ VR:\\ |\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\cdot\|y\|\\ \text{und Gleichheit gilt genau wenn:}\\ (x,y)\ l.a\)
\(\text{Was gilt wenn }\pi\text{ eine orthogonale Projektion ist}\)
\(1)\ ker(\pi)=im(id-\pi)=(im(\pi))^\perp\\ 2)\ im(\pi)=ker(id-\pi)=(ker(\pi))^\perp\\ 3)\ V=ker(\pi)\oplus im(\pi)\)
\(\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ ONB\\ F\in End_K(V)\ und\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})\\ \text{Was ist äquivalent zu:}\\ \text{F ist orthogonal (unitär)}\)
\(1)\ A^T\cdot\overset{(-)}{A}=E_n\\ 2)\ A\cdot\overset{(-)}{A^T}=E_n\\ 3)\ \text{Die Spaltenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\\ 4)\ \text{Die Zeilenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n \)
\(\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ ONB\\ F\in End_K(V)\ und\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})\\ \text{Was ist äquivalent zu:}\\ A^T\cdot\overset{(-)}{A}=E_n\\\)
\(1)\ \text{F ist orthogonal (unitär)}\\ 2)\ A\cdot\overset{(-)}{A^T}=E_n\\ 3)\ \text{Die Spaltenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\\ 4)\ \text{Die Zeilenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\)
\(\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ ONB\\ F\in End_K(V)\ und\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})\\ \text{Was ist äquivalent zu:}\\ A\cdot\overset{(-)}{A^T}=E_n\\\)
\(1)\ \text{F ist orthogonal (unitär)}\\ 2)\ A^T\cdot\overset{(-)}{A}=E_n\\ 3)\ \text{Die Spaltenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\\ 4)\ \text{Die Zeilenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\)
\(\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ ONB\\ F\in End_K(V)\ und\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})\\ \text{Was ist äquivalent zu:}\\ \text{Die Spaltenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\\\)
\(1)\ \text{F ist orthogonal (unitär)}\\ 2)\ A^T\cdot\overset{(-)}{A}=E_n\\ 3)\ A\cdot\overset{(-)}{A^T}=E_n\\ 4)\ \text{Die Zeilenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n \)
\(\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ ONB\\ F\in End_K(V)\ und\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})\\ \text{Was ist äquivalent zu:}\\ \text{Die Zeilenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\)
\(1)\ \text{F ist orthogonal (unitär)}\\ 2)\ A^T\cdot\overset{(-)}{A}=E_n\\ 3)\ A\cdot\overset{(-)}{A^T}=E_n\\ 4)\ \text{Die Spaltenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\\\)
Was ist äquivalent zu:
F ist unitär
\(\text{Es gibt eine ONB } \mathscr{A}\text{ aus Eigenvektoren von F }\\ \text{und alle EW haben Betrag 1. Also:}\\ \mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ und\ F(v_j)=\lambda_j\cdot v_j\ mit \ |\lambda_j|=1\ und\ :\\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})= \begin{pmatrix} \lambda_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&\lambda_n \end{pmatrix}\)
\(\text{Wie kann eine Matrix }A\in O(2)\text{ dargestellt werden}\)
\(Falls\ det(A)=1:\\ A= \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}\\ Falls\ det(A)=-1\\ A= \begin{pmatrix} \cos\alpha&\sin\alpha\\ \sin\alpha&-\cos\alpha \end{pmatrix}\)
Was ist äquivalent zu:
F orthogonoal
\(\text{Es gibt ONB }\mathscr{A}\text{ von V, sodass:}\\ M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})= \begin{pmatrix} 1&&&&&&&&&&&0\\ &\ddots\\ &&1\\ &&&-1\\ &&&&\ddots\\ &&&&&-1\\ &&&&&&\cos\alpha_1&-\sin\alpha_1\\ &&&&&&\sin\alpha_1&\cos\alpha_1\\ &&&&&&&&\ddots\\ &&&&&&&&&\cos\alpha_r&-\sin\alpha_r\\ 0&&&&&&&&&\sin\alpha_r&\cos\alpha_r \end{pmatrix}\\ bzw:\\ M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})= \begin{pmatrix} E_{n_+}\\ &E_{n_-}\\ &&A_1\\ &&&\ddots\\ &&&&A_r \end{pmatrix} \ mit:\ A_j= \begin{pmatrix} \cos\alpha_j&-\sin\alpha_j\\ \sin\alpha_j&\cos\alpha_j \end{pmatrix}\)
Was ist äquivalent zu:
F ist selbstadjungiert
F ist unitär diagonalisierbar und alle EW von F sind reell
