Sätze, Theoreme, Lemma usw.
Es handelt sich um Sätze, Lemmata usw. der Linearen Algebra 2
Es handelt sich um Sätze, Lemmata usw. der Linearen Algebra 2
Kartei Details
| Karten | 50 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 03.05.2016 / 28.07.2016 |
| Lizenzierung | Keine Angabe |
| Weblink |
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\(\text{Es sei } n\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\text{ und }det:Mat_\mathbb{K}(n\times n)\to\mathbb{K}\\ \text{eine Determinante und } A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{was gilt dann wenn:}\\ \text{1) }det(\lambda A)\\ \text{2) Falls in A ein Spaltenvektor der Nullvektor ist}\\ \text{3) Wenn }\tilde{A}\text{ aus A entsteht durch Vertauschen }\\ \text{zweier Spaltenvektoren also: }\tilde{A}=A\cdot P_{ij}\\ \text{was gilt dann für }det(\tilde{A})\\ \text{4) Wenn }\tilde{A}\text{ aus A entsteht durch Addition des}\\ \lambda -Fachen \text{ der j-ten Spalte zur i-ten Spalte also: } \\\tilde{A}=A\cdot Q_{ij}(\lambda)\\ \text{was gilt dann für }det(\tilde{A})\\\)
\(\text{1) }det(\lambda\cdot A)=\lambda^n\cdot det(A), \forall A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{2) Dann ist } det(A)=0\\ \text{3) } det(\tilde{A})=-det(A)\\ \text{4) }det(\tilde{A})=det(A)\)
\(\text{Sei }n\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\text{ und } det:Mat_\mathbb{K}(n\times n)\to\mathbb{K}\\ \text{eine Determinante}\\ \text{1) Falls }\sigma\in S_n \text{ und }A=\Big(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)}\Big)\\ \text{mit der Standardbasis }(e_1,\dots ,e_n) \\ \text{was gilt dann für det(A)}\\ \text{2) Falls }A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\text{eine obere Dreiecksmatix ist}\\ \text{d.h wenn gilt:}\\ A= \begin{pmatrix} \lambda_1 & &* \\ &\ddots&\\ 0&&\lambda_n \end{pmatrix}\\ \text{was gilt dann für det(A)\\ }\)
\(\text{1) }det(A)=sgn(\sigma)\\ \text{2) }det(A) =\lambda_1\cdot \ldots \cdot \lambda_n\)
\(\text{Wie lässt sich die Determinante einer Matrix berechnen?}\)
\(det(A)=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)\cdot a_{\sigma(1),1}\cdot\ldots\cdot a_{\sigma(n),n}\)
\(\text{Sei }n\in\mathbb{N}\backslash\{0\} \text{ und }A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{was gilt dann für:}\\ det(A^T)\\ \)
\(det(A^T)=det(A)\)
\(\text{Sei }n\in\mathbb{N}\backslash\{0\} \text{ und }A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{was ist äquivalent zu:}\\ \text{1) Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig}\\ \text{2) A ist invertierbar}\)
\(\text{1) Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig} \Leftrightarrow \\ det(A)=0\\ \text{2) A ist invertierbar}\Leftrightarrow\\ det(A)\neq 0\)
Wenn die Spaltenvektoren einer Matrix l.u. sind was gilt dann für die Determinante
\(det(A)=0\)
Wenn die Matrix A invertierbar ist was gilt dann für die Determinante
\(det(A)\neq0\)
\(\text{Was ergibt }det(A\cdot B)\)
\(det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)\)
