Physik Step 26 (neu)
Lernkarten zu Step 26 des Grundlagenfachs Physik: Die Planetenbewegung: Gravitationskraft als Zentripetalkraft (Bahngeschwindigkeit, Umlaufzeit, Satelliten).
Lernkarten zu Step 26 des Grundlagenfachs Physik: Die Planetenbewegung: Gravitationskraft als Zentripetalkraft (Bahngeschwindigkeit, Umlaufzeit, Satelliten).
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Lernkarten
Die Gravitationskraft der Sonne – sie wirkt als Zentripetalkraft und zwingt die Erde auf eine (nahezu) kreisförmige Bahn: F_G = F_z.
G ⋅ M ⋅ m / r² = m ⋅ v² / r – die Planetenmasse m kürzt sich heraus.
Mit v = 2π ⋅ r / T: G ⋅ M / r² = 4π² ⋅ r / T² ⇒ M = 4π² ⋅ r³ / (G ⋅ T²); man braucht nur den Bahnradius r und die Umlaufzeit T eines Planeten.
M = 4π² ⋅ r³ / (G ⋅ T²) = 4π² ⋅ (1,496 ⋅ 10¹¹ m)³ / (6,674 ⋅ 10⁻¹¹ ⋅ (3,156 ⋅ 10⁷ s)²) ≈ 2,0 ⋅ 10³⁰ kg
Weil die Planetenmasse m auf beiden Seiten steht und sich kürzt – übrig bleibt nur die Masse M des Zentralkörpers, der die Zentripetalkraft liefert.
Aus G ⋅ M ⋅ m / r² = m ⋅ v² / r folgt v = √(G ⋅ M / r) – unabhängig von der Masse des umlaufenden Körpers; je grösser r, desto kleiner v.
Weil die Erde eine Geschwindigkeit quer zur Kraft hat: Die Gravitationskraft ändert nur ständig die Richtung der Geschwindigkeit (Kreisbewegung), nicht ihren Betrag. Ohne Bahngeschwindigkeit würde sie mit wachsender Beschleunigung in die Sonne stürzen.
Ja, die Gravitationskraft wirkt auf beide gleich gross. Die Sonnenmasse ist aber rund 300'000-mal grösser, also ist ihre Beschleunigung nach F = m ⋅ a um denselben Faktor kleiner – vernachlässigbar.
Weil die Gravitationskraft zwischen kleinen Massen extrem klein ist (Grössenordnung 10⁻⁹ N) – sie wird von der Reibung mit dem Boden bei weitem übertroffen.
Die Masse bestimmt sowohl die Gravitationskraft (F = G ⋅ M ⋅ m / r²) als auch die Trägheit (F = m ⋅ a) – in a = G ⋅ M / r² kürzt sie sich heraus.
Die Gravitation der Erde zieht das Meerwasser zum Erdmittelpunkt; ohne den Mond wäre der Meeresspiegel überall etwa gleich weit vom Erdzentrum entfernt.
Die Gravitationskraft des Mondes zieht das Wasser zu sich hin – auf der dem Mond zugewandten Seite entsteht ein Flutberg.
Erde und Mond kreisen um ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt; dabei wirkt auf das Wasser eine Zentrifugalkraft nach aussen (Trägheit), sodass auf der mondabgewandten Seite ein zweiter Flutberg entsteht.
Die beiden Flutberge bleiben relativ zum Mond stehen, während sich die Erde einmal pro Tag darunter hindurchdreht – ein Ort passiert pro Umdrehung zwei Flutberge und zwei Wellentäler, also wechseln Flut und Ebbe etwa alle sechs Stunden.
Ein Satellit, der immer über demselben Punkt der Erdoberfläche steht, weil er die Erde genau in der Zeit einer Erdrotation (ein Tag) umkreist.
Umlaufzeit T = 1 Tag (gleich der Erdrotation), Bahn in der Äquatorebene, Umlauf in Richtung der Erdrotation – nur dann bleibt er über einem festen Punkt.
Nur in der Äquatorebene läuft seine Kreisbahn parallel zur Erdrotation; über jedem anderen Breitengrad würde er im Tagesverlauf nach Norden und Süden pendeln.
F_G = F_z mit v = 2π ⋅ r / T: G ⋅ M / r² = 4π² ⋅ r / T² ⇒ r³ = G ⋅ M ⋅ T² / (4π²) ⇒ r = ∛(G ⋅ M ⋅ T² / (4π²)) – die Satellitenmasse spielt keine Rolle.
r = ∛(G ⋅ M ⋅ T² / (4π²)) = ∛(6,674 ⋅ 10⁻¹¹ ⋅ 5,97 ⋅ 10²⁴ kg ⋅ (86400 s)² / (4π²)) ≈ 4,22 ⋅ 10⁷ m
Höhe über der Oberfläche h = r – R_Erde = 4,22 ⋅ 10⁷ m – 0,637 ⋅ 10⁷ m ≈ 3,6 ⋅ 10⁷ m, also rund 36'000 km.
v = 2π ⋅ r / T = 2π ⋅ 4,22 ⋅ 10⁷ m / 86400 s ≈ 3,1 ⋅ 10³ m/s ≈ 3,1 km/s
Sie stehen sehr hoch (36'000 km): grosse Signallaufzeit und schlechte Abdeckung der Polregionen. GPS-Satelliten fliegen tiefer auf geneigten Bahnen und überstreichen die ganze Erde.
Die Wirkung verteilt sich auf eine kugelförmig wachsende Fläche um die Masse; die Kugelfläche wächst mit r², also sinkt die Kraft mit 1/r².
