Physik D
Begriffe, Formeln etc. aus dem Physik D Lehrgang der PHZH HS15
Begriffe, Formeln etc. aus dem Physik D Lehrgang der PHZH HS15
Was gilt für eine gleichförmige Bewegung eines Massenpunktes?
\(\vec{p}=const. \quad \vec{F}=0 \quad \vec{M}_0 =0 \\\vec{L}_0 =const\)
- Wie lautet der Drallsatz?
\(\frac {d \vec{L}_0}{dt} = \vec{M}_0\)
Wenn gilt
\(\frac {d \vec{L}_0 }{dt}=0\)
Was bedeutet das?
Die Änderung des Drehimpulses nach der Zeit ist gleich 0 und somit ist \(\vec{L}_0\) konstant.
Die Grössen \(\vec {L}_0 \) und \(\vec {M}_0\) enthalten den Ortsvektor \(\vec r\) .
- Wann sind diese Grössen also erst definiert?
- Wie heissen die Grössen?
- Wie lautet deren Formeln?
- Die Grössen sind erst definiert, wenn ein Bezugspunkt 0 festgelegt wurde.
- Drehimpuls und Drehmoment.
- \(\vec {L}_0 = \vec r \times \vec p\\ \vec {M}_0 = \vec r \times \vec F\)
- Was ist gibt die Kreisfrequenz an?
- Was ist der Unterschied von Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit und Winkelfrequenz?
- Was ist die Einheit der Kreisfrequen?
- Wie kann die Kreisfrequenz definiert werden?
- Mass dafür, wie schnell eine Schwingung abläuft. Sie gibt den überstrichenen Phasenwinkel der Schwingung pro Zeitspanne an. (Im Gegensatz zur Frequenz, welche die Anzahl Schwingungsperioden bezogen auf eine Zeitspanne angibt.
- Kein Unterschied
- Die Einheit der Kreisfrequenz ist: \(s^{-1}\)
- \(\omega = 2\pi f= \frac{2\pi}{T}\\ \omega = \frac{d\phi}{dt}\\ \omega = \frac{v}r, v= Bahngeschwindigkeit \\\omega=\frac{L_0}{J_0}\)
Nenne äquivalente physikalische Grössen bei der Translation und der Rotation
Siehe Bild
- Was ist speziell an einem abgeschlossenes System?
- Was gilt für ein abgeschlossenes System?
- Es wirken keine äusseren Kräfte auf das System.
- Der totale Impuls ist konstant. Und weiter:
\(\vec F=0=\frac{d\vec{P}}{dt}, also\\ \vec P = const.\)
Und bei einer Rotation:
\(\vec M=0, \frac{\vec {L}_0}{dt}=0\)
- Welche Komponente von \(\vec {L}_0 \) ist bei einer Kreisbewegung unabhängig vom Bezugspunkt 0, wenn dieser auf der Drehachse liegt?
- Wie ist diese Komponente definiert in diesem Fall?
- Welche Auswirkungen hat eine Veränderung des Abstandes der Masse zum Bezugspunkt 0 in einem abgeschlossenen System in der oben angesprochenen Kreisbewegung?
1. Die z-Komponente.
Merke: Bei einer Kreisbewegung kann der Bezugspunkt 0 im Kreismittelpunkt gewählt werden - dann fällt der Drehimpuls auf die z-Achse und es gilt:
\(L_{0z}=L_0=mr^2\omega=J_0\omega \), denn \(\vec {L}_0 =\vec r \times \vec p=m\vec r\times\vec v\)
Siehe S. 2.112 im Skript.
2. \(L_{0z}=J_0\omega\)
3. Wird der Ortsvektor der Masse verkleinert, erhöht sich die Winkelgeschwindigkeit, denn die Masse bleibt ja konstant -> Beispiel Pirouette Eiskunstlauf.
Erkläre die im Bild dargestellte Situation
Demonstration des Pirouetteneffekts auf dem Drehstuhl mit zwei Hanteln. In körpernaher Position ist das Trägheitsmoment kleiner, bei konstantem Drehimpuls die WInkelgeschwindigkeit daher grösser. (Impulssatz: Für ein abgeschlossenes System ohne äussere Kräfte ist der Drehimpuls erhalten.
Die Bewegungsgleichung lautet:
\(L_{0z}=J_0\omega, \quad J_0 =\int d^2m\)
Erkläre die Situation im Bild.
Wenn das sich drehende Velorad gedreht wird, ändert sich die Richtung des Drehimpulsvektors für das Velorad. Eine entsprechende Änderung des Drehimpulsvektors der Versuchsperson muss dies kompensieren, damit der totale Drehimpuls des Systems konstant bleibt.
- Eine Kraft \(\vec F\)greift an einer durch Lagerkräfte gesichterten Scheibe an. Sie erzeugt ein resultierendes in z-Richtung bezüglich der Achse (0). Drehmoment Welche Komponente im Bild erzeugt den Drehimpuls?
- Wie lautet die Formel des Drehmomentes für diese Komponente?
- Welche Beziehung besteht zwischen Drehmoment und Drehimpuls?
- Wieso entspricht diese Formulierung genau dem Hebelgesetz aus der Schule: Kraft mal dem senkrechten Abstand der Wirkungslinie zum Bezugspunkt?
- Wie lautet die Änderung des Drehimpulses in z-Richtung? Wie die z-Komponente des Drehimpulses?
1. Die z-Komponente des Drehimpulses/Drehmoments. Der Drehimpuls abgeleitet nach der Zeit ist ja gleich dem Drehmoment.
2. \(\vec M_{0z}=[\vec r \times \vec F]_z=rF_\perp sin\alpha\)
3. Der Drehmoment erzeugt eine Änderung des Drehimpulses - Der Drehmoment ist gleich der Änderung des Drehimpulses nach der Zeit.
4. Weil der Ortsvektor r mal dem Sinus des Winkel zwischen F und r gleich dem senkrechten Abstand zwischen der Wirkungslinie von \(F\perp\) und dem Bezugspunkt 0 ist. Es gilt also: \(rF_\perp sin\alpha=d_\perp F_\perp\)
5. \(dL_{0z}=rv\,dm=r^2\omega\,dm\quad v=r\omega=r\frac{d\phi}{dt}\) und somit \(L_{0z}= \omega\int r^2 dm=\omega J_0\) (man beachte, dass der Radius über die Änderung der Massen natürlich auch ändert und somit im Integral stehen muss. Die Winkelgeschwindigkeit mal dem Trägheitsmoment ist in der Rotation ist die Analogie zum Impuls welcher als Masse mal Geschwindigkeit definiert ist.
Wie lautet die Bewegungsgleichung für die Drehbewegung eines starren Körpers um eine raumfeste Achse mit Bezugspunkt 0?
Bewegungsgleichung:
\(M_{0z}=J_0\frac {d^2\phi}{dt}\)
Erweitert gilt: \(M_{0z}=d_{\perp}F_{\perp}=\frac{dL_{0z}}{dt}=\frac{d}{dt}(J_0\omega)=J_0\frac{d^2\phi}{dt^2}\), greifen statt einer Kraft mehrere an, so ist M0z durch das resultierende Drehmoment zu ersetzen: \(M_{0z}=\sum_{i}d_{i\perp}F_{i\perp}\)
\(M_{0} \) ist dann natürlich durch die entsprechenden Kräfte zu ersetzen: \(\vec M_{0}=\vec F\times\vec r\)
Also für ein Pendel: \(J_0\frac {d^2\phi}{dt^2}=-Mgdsin\phi\)
- Wieviele und welche Freiheitsgrade hat eine Roll- und Kreiselbewegung?
- Versuche diese und der Begriff der ebenen Bewegung zu beschreiben.
- Was gilt für die Translation in der Ebene (x-und y-Richtung) in Bezug auf die z-Achse?
- Wie lautet die Bewegungsgleichung einer Roll und Kreiselbewegung?
- 3: \(x_S, y_S, \phi\) (Auf den Schwerpunkt bezogen: x-Achse, y-Achse, Winkel (z.B. \(\phi\)) der Rotation um die Z-Achse.)
- Es bewegen sich die einzelnen Punte eines starren Körpers so, dass ihre Geschwindigkeiten dauernd parallel einer festen Ebene sind: Man spricht von einer ebenen Bewegung. Diese kann im allgemeinsten Fall als Überlagerung einer Translation parallel zur Ebene und einer Rotation um eine Achse normal zur Ebene (welche durch den Schwerpunkt S läuft) aufgefasst werden.
- \(\sum_i F_{iz}=0\)
- Translation: \(M\frac {d^2x_S}{dt^2}=\sum_i F_{ix}\quad\quad M\frac{d^2y_S}{dt^2}=\sum_i F_{iy} \) (Nach dem Schwerpunktsatz, welcher besagt, dass der Schwerpunkt eines Systems von Massenpunkten sich so bewegt, als ob in ihm die gesamte Masse konzentriert ist und sämtliche äussere Kräfte an ihm angreifen.
Rotation um die Achse normal zur xy-Ebene (z-Richtung): \(J_S \frac {d^2\phi}{dt^2}=\sum_i d_{i\perp}F_{i\perp}\quad\quad J_S=\int d_S^2dm\) (Nach dem Drallsatz welcher besagt, dass die Änderung des Impulses nach der Zeit gleich der Summe der Drehmomente ist -> hier für ein System von Massenpunkten bezogen auf den Schwerpunkt)
- Nenne das Drehmoment eines Spielzeugkreisels, wo der Schwerpunkt und der Kreismittelpunkt zusammenfallen.
- Was kann man anhand des Drehmoments bezüglich des Drehimpulses sagen?
- Das Drehmoment ist Null
- Die Änderung des Drehimpulses ist gleich 0, also ist der Drehimpuls konstant. Hat es Impuls, bleibt dieser gleich, hat es keinen Impuls, gibt es auch keinen:\(\frac {d\vec L_0}{dt}=0, \quad \vec L_0=konstant\)
-> Im Falle dieses Kreisels kann die Winkelgeschwindigkeit 0 sein, muss aber nicht.
Das Bild unten zeigt einen kräftefreien Kreisel - solange die rote Masse nicht angehängt wird.
- Was geschieht, wenn die rote Masse angehängt wird?
- In welche Richtung schaut die Drehpulsänderung generell?
- Es entsteht ein Drehmoment gegen den Betrachter des Bildes - dem Vektor \(\vec {L}_0\) wird also ein Vektor \(\frac {dL_0}{dt} \) angehängt, es ensteht ein neuer Drehimpulsvektor, welcher eine Präzession verursacht.
- In Richtung des Drehmoments: \(\frac {d\vec {L}_0}{dt}=\vec {M}_0\) (Drallsatz)
Erläutere den Drallsatz anhand des Bildes
Drallsatz: \(\frac {d\vec {L}_0}{dt}=\vec {M}_0\)
Die Änderung des Drehimpulses nach der Zeit ist gleich dem Drehmoment. Das heisst, dem Vektor des Drehimpulses wird in Richtung des Drehmomentes ein Vektor von \(d\vec {L}_0\) angehängt - dadurch ensteht der neue Vektor des Drehimpulses, welcher z. B. eine Präzession o. äh. verursacht.
Nenne die Gleichgewichtsbedingungen.
- \(\sum_i \vec F_i = 0 \) , die äusseren Kräfte müssen verschwinden.
- \(\sum_i \vec {M}_{0i}=\sum_i\vec {r}_i\times \vec {F}_i=0\), die Drehmomente müssen verschwinden (0 ist ein raumfester Bezugspunkt oder der Schwerpunkt.
Die Klötze im Bild sind im Gleichgewicht. Überlege, welche Kräfte auf die Klötze wirken (im Bild sichtbar).
- Wie gross sind die Drehmomente auf K1?
- Wie gross ist x?
- Wie gross sind die Drehmomente auf K2?
Siehe Bild
Wie sehen die äusseren Kräfte auf den Basketballspieler aus?
1. Vor dem Absprung (in den Knien) 2. Absprung 3. Flug 4. Landung 5. Nach der Landung (Knien)
Siehe Bild
Wie kann ich die Kraft des Seils auf die Kiste berechnen, wenn ich weiss, dass sie 500kg wiegt und mit einer Beschleunigung von 1.5m/s2 hochgezogen wird? (Die x-Koordinate schaut in Zugrichtung)
Auf die Kiste wirkt die Kraft G sowie die Kraft des Seils auf die Kiste. Diese Kraft des Seils auf die Kiste möchte ich berechnen. Ich kann einfach die Bewegungsgleichung in x-Richtung aufstellen:
\(ma_x=-G+F_{SK}\\ ma_x+mg=F_{SK}\\ 500kg\cdot1.5m/s^2+500kg\cdot9.81m/s^2=F_{SK}\)
Wie lautet die bekannte Formel für die Dichte?
\(\rho=\frac {m}{V},\quad [kg\cdot m^{-3}]\)
Unter Vernachlässigung von Auftrieb, Luftreibung, Zunahme von Gravitationskraft bei Annäherung an die Erde und der Folgen der Erdrotation fällt ein anfangs in Ruhe befindlicher Körper senkrecht mit der konstanten Beschleunigung g. Die Vorzeichen von g und der Geschwindigkeit v sind positiv für eine nach unten zeigende Koordinatenachse x. Wählt man die Nullpunkte (Start zur Zeit t=0 bei x=0) erhält man einfache Formeln für zum Beispiel die Endgeschwindigkeit für eine gegebene Fallhöhe h =x(t):
- Wie heisst die Formel für diese Endgeschwindigkeit?
- Wie die Formel für die Fallzeit?
- \(v_x = \sqrt {2gh}\)
- \(t_x=\sqrt \frac{2h}{g}\)
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Freier_Fall. Zugriff 30.11.2015
Im Bild sieht man abstrakt eine Bergbahn welche mit Gondeln Personen von A nach B bringt.
- Man kann die Arbeit auch ohne Winkel berechnen, weshalb?
- Welche Arbeit muss von einer Gondel von A nach B verrichtet werden?
- Wie lautet hier die Formel für die Leistung?
- Wenn die Menschen von A nach B gebracht werden, wirkt ihre Gewichtskraft (wir lassen die Gondel und ihr Gewicht etc. aussen vor) den Weg von A bis B. Das heisst, die Menschen verrichten mit ihrem Gewicht eine Arbeit an der Gondel, welche die Bergbahn kompensieren muss, um diese nach oben zu transportieren. Deshalb spielt für die Berechnung der Arbeit nur die Gewichtskraft und keine anderen Kräfte eine Rolle. Da die Gewichtskraft eine konservative Kraft ist, ist die geleistete Arbeit unabhängig vom Weg! Man kann also das Skalarprodukt ausnutzen, welches gleich 0 ist, wenn die Kraft senkrecht zum Weg ist. (cosinus(90)=0). Von A bis C wirkt also keine Kraft und die gesamte Kraft kann über den Weg von C nach B berechnet werden.
- \(W_{1\rightarrow 2}=F\int_C^B dr=mgh\)
- \(P=\frac {dW}{dt}=\vec F\cdot\frac {d\vec r }{dt}=\frac {mgh}{t}\)
Erklärung: Die Kraft (=Gewichtskraft der Menschen) wirkt einen Weg lang (hier wieder h, da die Kraft senkrecht auf dem Weg steht), und dass in einer gewissen Zeitspanne (zum Beispiel 1000 Personen à 80kg in einer Stunde eine Höhe von 500m hinauf).
Das Bild zeigt eine Masse m, welche auf eine Feder fallen gelassen wird. In der Höhe h, wo die Masse fallen gelassen wird, hat sie keine Geschwindigkeit. Die Masse, die Höhe und k sind gegeben.
- Wie kann die kinetische Energie des Klotzes gerade wenn er die Feder berührt berechnet werden?
- Wie stark wird die Feder zusammengedrückt?
- Wie gross ist dort ihre potentielle Energie?
- Energiesatz der Mechanik: \(T_2+U_2=T_1+U_1\rightarrow T_1=0, U_1\,sei\,ebenfalls\,0\\T_2=-U_2\)
1. Weg: \(E_kin=\frac {m}{2}v^2\rightarrow v=\sqrt{2gh}\).
2. Weg: \(W_{1\rightarrow2}=F\int dx=F\cdot h=mgh = T_2-T_1\\ T_1=0 \rightarrow T_2=mgh\)
- Wenn die Masse die Feder erreicht, beginnt sie, ihre kinetische/potentielle Energie in die Feder zu stecken. Wenn die Feder vollständig zusammengedrückt ist, ist die kinetische Energie der Feder = 0. Die kinetische Energie, welche in 1. berechnet wurde, steckt nun vollständig in potentieller Energie der Feder. Die potentielle Energie der Feder ist definiert als: \(\frac {k}{2}x^2\). Nun kann man die ehemals kinetische Energie des Klotzes mit der potentiellen Energie der Feder gleichsetzen: \(mgh=\frac{k}{2}x^2\) Das x steht hier für die Auslenkung der Feder (welche ja zusammengedrückt ist).
- Ihre potentielle Energie ist eben = mgh
Das Bild zeigt einen Bären, der einen Baum hinunterrutscht. Unten am Baum erreicht er eine Schnelligkeit von 5.6m/s. Seine Masse ist 150kg und die "Rutschhöhe" 12m.
- Wie stark ändert sich die potentielle Energie?
- Wie gross ist seine kinetische Energie, bevor er den Boden berührt?
- Wie gross ist die mittlere Reibungskraft auf den Bär?
- Um wieviel Grad ändert sich die Temperatur des Bären, falls die gesamte durch Reibung in Wärme umgewandelte Energie in den Bär strömt? (Anname: \(C_B=4185 J/(kg K)\))
- Seine Körpertemperatur ändert sich um 0.025 Kelvin. Wieso kann er sich trotzdem die Pfoten verbrennen?
- \(E_{pot}=mgh. Herleitung: U_2-U_1=-\int_0^h\vec Fd\vec r = - mgh, \Delta U_{pot}=mgh=17658J\)
- Man berechnet also quasi die Arbeit, welche der Bär verrichtet, wenn er den Baum hinauf klettert damit man die Änderung der potentiellen Energie, welche gleich der negativen Arbeit ist, berechnen kann.
- \(E_{kin}=\frac {m}{2}v^2=2352J\)
- Energie, welche beim herabrutschen verloren geht (Unterschied \(U_{pot_{oben}} zu\, E_{kin_{unten}}\)) also 1.) - 2.) = 15306 J.
- \(E_{Reibungskraft}=E_{Wärme}\) Man verwendet die Formel für die spezifische Wärmekapazität:
- \(c=\frac {\Delta Q}{m\cdot \Delta T},\quad [\frac {J}{kgK}]\)
\(\Delta Q\) = Wärme, welche dem Stoff zu- oder abgeführt wird in [J].
m= Masse des Stoffes
\(\Delta T\)=Differenz von End- zu Anfangstemperatur.
Man formt um:\(\Delta T=\frac {\Delta Q}{mc}, \Delta T=0.025 K\) - Weil die Wärme nicht gleichmässig in die gesamte Masse, sondern über die Masse der Pfoten in den Körper gelangt.
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Was gilt für eine gleichförmige Bewegung eines Massenpunktes?
\(\vec{p}=const. \quad \vec{F}=0 \quad \vec{M}_0 =0 \\\vec{L}_0 =const\)
- Wie lautet der Drallsatz?
\(\frac {d \vec{L}_0}{dt} = \vec{M}_0\)
Wenn gilt
\(\frac {d \vec{L}_0 }{dt}=0\)
Was bedeutet das?
Die Änderung des Drehimpulses nach der Zeit ist gleich 0 und somit ist \(\vec{L}_0\) konstant.
Die Grössen \(\vec {L}_0 \) und \(\vec {M}_0\) enthalten den Ortsvektor \(\vec r\) .
- Wann sind diese Grössen also erst definiert?
- Wie heissen die Grössen?
- Wie lautet deren Formeln?
- Die Grössen sind erst definiert, wenn ein Bezugspunkt 0 festgelegt wurde.
- Drehimpuls und Drehmoment.
- \(\vec {L}_0 = \vec r \times \vec p\\ \vec {M}_0 = \vec r \times \vec F\)
- Was ist gibt die Kreisfrequenz an?
- Was ist der Unterschied von Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit und Winkelfrequenz?
- Was ist die Einheit der Kreisfrequen?
- Wie kann die Kreisfrequenz definiert werden?
- Mass dafür, wie schnell eine Schwingung abläuft. Sie gibt den überstrichenen Phasenwinkel der Schwingung pro Zeitspanne an. (Im Gegensatz zur Frequenz, welche die Anzahl Schwingungsperioden bezogen auf eine Zeitspanne angibt.
- Kein Unterschied
- Die Einheit der Kreisfrequenz ist: \(s^{-1}\)
- \(\omega = 2\pi f= \frac{2\pi}{T}\\ \omega = \frac{d\phi}{dt}\\ \omega = \frac{v}r, v= Bahngeschwindigkeit \\\omega=\frac{L_0}{J_0}\)
Nenne äquivalente physikalische Grössen bei der Translation und der Rotation
Siehe Bild
- Was ist speziell an einem abgeschlossenes System?
- Was gilt für ein abgeschlossenes System?
- Es wirken keine äusseren Kräfte auf das System.
- Der totale Impuls ist konstant. Und weiter:
\(\vec F=0=\frac{d\vec{P}}{dt}, also\\ \vec P = const.\)
Und bei einer Rotation:
\(\vec M=0, \frac{\vec {L}_0}{dt}=0\)
- Welche Komponente von \(\vec {L}_0 \) ist bei einer Kreisbewegung unabhängig vom Bezugspunkt 0, wenn dieser auf der Drehachse liegt?
- Wie ist diese Komponente definiert in diesem Fall?
- Welche Auswirkungen hat eine Veränderung des Abstandes der Masse zum Bezugspunkt 0 in einem abgeschlossenen System in der oben angesprochenen Kreisbewegung?
1. Die z-Komponente.
Merke: Bei einer Kreisbewegung kann der Bezugspunkt 0 im Kreismittelpunkt gewählt werden - dann fällt der Drehimpuls auf die z-Achse und es gilt:
\(L_{0z}=L_0=mr^2\omega=J_0\omega \), denn \(\vec {L}_0 =\vec r \times \vec p=m\vec r\times\vec v\)
Siehe S. 2.112 im Skript.
2. \(L_{0z}=J_0\omega\)
3. Wird der Ortsvektor der Masse verkleinert, erhöht sich die Winkelgeschwindigkeit, denn die Masse bleibt ja konstant -> Beispiel Pirouette Eiskunstlauf.
Erkläre die im Bild dargestellte Situation
Demonstration des Pirouetteneffekts auf dem Drehstuhl mit zwei Hanteln. In körpernaher Position ist das Trägheitsmoment kleiner, bei konstantem Drehimpuls die WInkelgeschwindigkeit daher grösser. (Impulssatz: Für ein abgeschlossenes System ohne äussere Kräfte ist der Drehimpuls erhalten.
Die Bewegungsgleichung lautet:
\(L_{0z}=J_0\omega, \quad J_0 =\int d^2m\)
Erkläre die Situation im Bild.
Wenn das sich drehende Velorad gedreht wird, ändert sich die Richtung des Drehimpulsvektors für das Velorad. Eine entsprechende Änderung des Drehimpulsvektors der Versuchsperson muss dies kompensieren, damit der totale Drehimpuls des Systems konstant bleibt.
- Eine Kraft \(\vec F\)greift an einer durch Lagerkräfte gesichterten Scheibe an. Sie erzeugt ein resultierendes in z-Richtung bezüglich der Achse (0). Drehmoment Welche Komponente im Bild erzeugt den Drehimpuls?
- Wie lautet die Formel des Drehmomentes für diese Komponente?
- Welche Beziehung besteht zwischen Drehmoment und Drehimpuls?
- Wieso entspricht diese Formulierung genau dem Hebelgesetz aus der Schule: Kraft mal dem senkrechten Abstand der Wirkungslinie zum Bezugspunkt?
- Wie lautet die Änderung des Drehimpulses in z-Richtung? Wie die z-Komponente des Drehimpulses?
1. Die z-Komponente des Drehimpulses/Drehmoments. Der Drehimpuls abgeleitet nach der Zeit ist ja gleich dem Drehmoment.
2. \(\vec M_{0z}=[\vec r \times \vec F]_z=rF_\perp sin\alpha\)
3. Der Drehmoment erzeugt eine Änderung des Drehimpulses - Der Drehmoment ist gleich der Änderung des Drehimpulses nach der Zeit.
4. Weil der Ortsvektor r mal dem Sinus des Winkel zwischen F und r gleich dem senkrechten Abstand zwischen der Wirkungslinie von \(F\perp\) und dem Bezugspunkt 0 ist. Es gilt also: \(rF_\perp sin\alpha=d_\perp F_\perp\)
5. \(dL_{0z}=rv\,dm=r^2\omega\,dm\quad v=r\omega=r\frac{d\phi}{dt}\) und somit \(L_{0z}= \omega\int r^2 dm=\omega J_0\) (man beachte, dass der Radius über die Änderung der Massen natürlich auch ändert und somit im Integral stehen muss. Die Winkelgeschwindigkeit mal dem Trägheitsmoment ist in der Rotation ist die Analogie zum Impuls welcher als Masse mal Geschwindigkeit definiert ist.
Wie lautet die Bewegungsgleichung für die Drehbewegung eines starren Körpers um eine raumfeste Achse mit Bezugspunkt 0?
Bewegungsgleichung:
\(M_{0z}=J_0\frac {d^2\phi}{dt}\)
Erweitert gilt: \(M_{0z}=d_{\perp}F_{\perp}=\frac{dL_{0z}}{dt}=\frac{d}{dt}(J_0\omega)=J_0\frac{d^2\phi}{dt^2}\), greifen statt einer Kraft mehrere an, so ist M0z durch das resultierende Drehmoment zu ersetzen: \(M_{0z}=\sum_{i}d_{i\perp}F_{i\perp}\)
\(M_{0} \) ist dann natürlich durch die entsprechenden Kräfte zu ersetzen: \(\vec M_{0}=\vec F\times\vec r\)
Also für ein Pendel: \(J_0\frac {d^2\phi}{dt^2}=-Mgdsin\phi\)
- Wieviele und welche Freiheitsgrade hat eine Roll- und Kreiselbewegung?
- Versuche diese und der Begriff der ebenen Bewegung zu beschreiben.
- Was gilt für die Translation in der Ebene (x-und y-Richtung) in Bezug auf die z-Achse?
- Wie lautet die Bewegungsgleichung einer Roll und Kreiselbewegung?
- 3: \(x_S, y_S, \phi\) (Auf den Schwerpunkt bezogen: x-Achse, y-Achse, Winkel (z.B. \(\phi\)) der Rotation um die Z-Achse.)
- Es bewegen sich die einzelnen Punte eines starren Körpers so, dass ihre Geschwindigkeiten dauernd parallel einer festen Ebene sind: Man spricht von einer ebenen Bewegung. Diese kann im allgemeinsten Fall als Überlagerung einer Translation parallel zur Ebene und einer Rotation um eine Achse normal zur Ebene (welche durch den Schwerpunkt S läuft) aufgefasst werden.
- \(\sum_i F_{iz}=0\)
- Translation: \(M\frac {d^2x_S}{dt^2}=\sum_i F_{ix}\quad\quad M\frac{d^2y_S}{dt^2}=\sum_i F_{iy} \) (Nach dem Schwerpunktsatz, welcher besagt, dass der Schwerpunkt eines Systems von Massenpunkten sich so bewegt, als ob in ihm die gesamte Masse konzentriert ist und sämtliche äussere Kräfte an ihm angreifen.
Rotation um die Achse normal zur xy-Ebene (z-Richtung): \(J_S \frac {d^2\phi}{dt^2}=\sum_i d_{i\perp}F_{i\perp}\quad\quad J_S=\int d_S^2dm\) (Nach dem Drallsatz welcher besagt, dass die Änderung des Impulses nach der Zeit gleich der Summe der Drehmomente ist -> hier für ein System von Massenpunkten bezogen auf den Schwerpunkt)
- Nenne das Drehmoment eines Spielzeugkreisels, wo der Schwerpunkt und der Kreismittelpunkt zusammenfallen.
- Was kann man anhand des Drehmoments bezüglich des Drehimpulses sagen?
- Das Drehmoment ist Null
- Die Änderung des Drehimpulses ist gleich 0, also ist der Drehimpuls konstant. Hat es Impuls, bleibt dieser gleich, hat es keinen Impuls, gibt es auch keinen:\(\frac {d\vec L_0}{dt}=0, \quad \vec L_0=konstant\)
-> Im Falle dieses Kreisels kann die Winkelgeschwindigkeit 0 sein, muss aber nicht.
Das Bild unten zeigt einen kräftefreien Kreisel - solange die rote Masse nicht angehängt wird.
- Was geschieht, wenn die rote Masse angehängt wird?
- In welche Richtung schaut die Drehpulsänderung generell?
- Es entsteht ein Drehmoment gegen den Betrachter des Bildes - dem Vektor \(\vec {L}_0\) wird also ein Vektor \(\frac {dL_0}{dt} \) angehängt, es ensteht ein neuer Drehimpulsvektor, welcher eine Präzession verursacht.
- In Richtung des Drehmoments: \(\frac {d\vec {L}_0}{dt}=\vec {M}_0\) (Drallsatz)
Erläutere den Drallsatz anhand des Bildes
Drallsatz: \(\frac {d\vec {L}_0}{dt}=\vec {M}_0\)
Die Änderung des Drehimpulses nach der Zeit ist gleich dem Drehmoment. Das heisst, dem Vektor des Drehimpulses wird in Richtung des Drehmomentes ein Vektor von \(d\vec {L}_0\) angehängt - dadurch ensteht der neue Vektor des Drehimpulses, welcher z. B. eine Präzession o. äh. verursacht.
Nenne die Gleichgewichtsbedingungen.
- \(\sum_i \vec F_i = 0 \) , die äusseren Kräfte müssen verschwinden.
- \(\sum_i \vec {M}_{0i}=\sum_i\vec {r}_i\times \vec {F}_i=0\), die Drehmomente müssen verschwinden (0 ist ein raumfester Bezugspunkt oder der Schwerpunkt.
Die Klötze im Bild sind im Gleichgewicht. Überlege, welche Kräfte auf die Klötze wirken (im Bild sichtbar).
- Wie gross sind die Drehmomente auf K1?
- Wie gross ist x?
- Wie gross sind die Drehmomente auf K2?
Siehe Bild
Wie sehen die äusseren Kräfte auf den Basketballspieler aus?
1. Vor dem Absprung (in den Knien) 2. Absprung 3. Flug 4. Landung 5. Nach der Landung (Knien)
Siehe Bild
Wie kann ich die Kraft des Seils auf die Kiste berechnen, wenn ich weiss, dass sie 500kg wiegt und mit einer Beschleunigung von 1.5m/s2 hochgezogen wird? (Die x-Koordinate schaut in Zugrichtung)
Auf die Kiste wirkt die Kraft G sowie die Kraft des Seils auf die Kiste. Diese Kraft des Seils auf die Kiste möchte ich berechnen. Ich kann einfach die Bewegungsgleichung in x-Richtung aufstellen:
\(ma_x=-G+F_{SK}\\ ma_x+mg=F_{SK}\\ 500kg\cdot1.5m/s^2+500kg\cdot9.81m/s^2=F_{SK}\)
Wie lautet die bekannte Formel für die Dichte?
\(\rho=\frac {m}{V},\quad [kg\cdot m^{-3}]\)
Unter Vernachlässigung von Auftrieb, Luftreibung, Zunahme von Gravitationskraft bei Annäherung an die Erde und der Folgen der Erdrotation fällt ein anfangs in Ruhe befindlicher Körper senkrecht mit der konstanten Beschleunigung g. Die Vorzeichen von g und der Geschwindigkeit v sind positiv für eine nach unten zeigende Koordinatenachse x. Wählt man die Nullpunkte (Start zur Zeit t=0 bei x=0) erhält man einfache Formeln für zum Beispiel die Endgeschwindigkeit für eine gegebene Fallhöhe h =x(t):
- Wie heisst die Formel für diese Endgeschwindigkeit?
- Wie die Formel für die Fallzeit?
- \(v_x = \sqrt {2gh}\)
- \(t_x=\sqrt \frac{2h}{g}\)
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Freier_Fall. Zugriff 30.11.2015
Im Bild sieht man abstrakt eine Bergbahn welche mit Gondeln Personen von A nach B bringt.
- Man kann die Arbeit auch ohne Winkel berechnen, weshalb?
- Welche Arbeit muss von einer Gondel von A nach B verrichtet werden?
- Wie lautet hier die Formel für die Leistung?
- Wenn die Menschen von A nach B gebracht werden, wirkt ihre Gewichtskraft (wir lassen die Gondel und ihr Gewicht etc. aussen vor) den Weg von A bis B. Das heisst, die Menschen verrichten mit ihrem Gewicht eine Arbeit an der Gondel, welche die Bergbahn kompensieren muss, um diese nach oben zu transportieren. Deshalb spielt für die Berechnung der Arbeit nur die Gewichtskraft und keine anderen Kräfte eine Rolle. Da die Gewichtskraft eine konservative Kraft ist, ist die geleistete Arbeit unabhängig vom Weg! Man kann also das Skalarprodukt ausnutzen, welches gleich 0 ist, wenn die Kraft senkrecht zum Weg ist. (cosinus(90)=0). Von A bis C wirkt also keine Kraft und die gesamte Kraft kann über den Weg von C nach B berechnet werden.
- \(W_{1\rightarrow 2}=F\int_C^B dr=mgh\)
- \(P=\frac {dW}{dt}=\vec F\cdot\frac {d\vec r }{dt}=\frac {mgh}{t}\)
Erklärung: Die Kraft (=Gewichtskraft der Menschen) wirkt einen Weg lang (hier wieder h, da die Kraft senkrecht auf dem Weg steht), und dass in einer gewissen Zeitspanne (zum Beispiel 1000 Personen à 80kg in einer Stunde eine Höhe von 500m hinauf).
Das Bild zeigt eine Masse m, welche auf eine Feder fallen gelassen wird. In der Höhe h, wo die Masse fallen gelassen wird, hat sie keine Geschwindigkeit. Die Masse, die Höhe und k sind gegeben.
- Wie kann die kinetische Energie des Klotzes gerade wenn er die Feder berührt berechnet werden?
- Wie stark wird die Feder zusammengedrückt?
- Wie gross ist dort ihre potentielle Energie?
- Energiesatz der Mechanik: \(T_2+U_2=T_1+U_1\rightarrow T_1=0, U_1\,sei\,ebenfalls\,0\\T_2=-U_2\)
1. Weg: \(E_kin=\frac {m}{2}v^2\rightarrow v=\sqrt{2gh}\).
2. Weg: \(W_{1\rightarrow2}=F\int dx=F\cdot h=mgh = T_2-T_1\\ T_1=0 \rightarrow T_2=mgh\)
- Wenn die Masse die Feder erreicht, beginnt sie, ihre kinetische/potentielle Energie in die Feder zu stecken. Wenn die Feder vollständig zusammengedrückt ist, ist die kinetische Energie der Feder = 0. Die kinetische Energie, welche in 1. berechnet wurde, steckt nun vollständig in potentieller Energie der Feder. Die potentielle Energie der Feder ist definiert als: \(\frac {k}{2}x^2\). Nun kann man die ehemals kinetische Energie des Klotzes mit der potentiellen Energie der Feder gleichsetzen: \(mgh=\frac{k}{2}x^2\) Das x steht hier für die Auslenkung der Feder (welche ja zusammengedrückt ist).
- Ihre potentielle Energie ist eben = mgh
Das Bild zeigt einen Bären, der einen Baum hinunterrutscht. Unten am Baum erreicht er eine Schnelligkeit von 5.6m/s. Seine Masse ist 150kg und die "Rutschhöhe" 12m.
- Wie stark ändert sich die potentielle Energie?
- Wie gross ist seine kinetische Energie, bevor er den Boden berührt?
- Wie gross ist die mittlere Reibungskraft auf den Bär?
- Um wieviel Grad ändert sich die Temperatur des Bären, falls die gesamte durch Reibung in Wärme umgewandelte Energie in den Bär strömt? (Anname: \(C_B=4185 J/(kg K)\))
- Seine Körpertemperatur ändert sich um 0.025 Kelvin. Wieso kann er sich trotzdem die Pfoten verbrennen?
- \(E_{pot}=mgh. Herleitung: U_2-U_1=-\int_0^h\vec Fd\vec r = - mgh, \Delta U_{pot}=mgh=17658J\)
- Man berechnet also quasi die Arbeit, welche der Bär verrichtet, wenn er den Baum hinauf klettert damit man die Änderung der potentiellen Energie, welche gleich der negativen Arbeit ist, berechnen kann.
- \(E_{kin}=\frac {m}{2}v^2=2352J\)
- Energie, welche beim herabrutschen verloren geht (Unterschied \(U_{pot_{oben}} zu\, E_{kin_{unten}}\)) also 1.) - 2.) = 15306 J.
- \(E_{Reibungskraft}=E_{Wärme}\) Man verwendet die Formel für die spezifische Wärmekapazität:
- \(c=\frac {\Delta Q}{m\cdot \Delta T},\quad [\frac {J}{kgK}]\)
\(\Delta Q\) = Wärme, welche dem Stoff zu- oder abgeführt wird in [J].
m= Masse des Stoffes
\(\Delta T\)=Differenz von End- zu Anfangstemperatur.
Man formt um:\(\Delta T=\frac {\Delta Q}{mc}, \Delta T=0.025 K\) - Weil die Wärme nicht gleichmässig in die gesamte Masse, sondern über die Masse der Pfoten in den Körper gelangt.
