Numerik II - Kapitel 1

Klar.

Es sei \(f(x, y, y',\ldots,y^{(n)})\)ein gew. DGL-System n-ter Ordnung. Ihre Lösungen sind n-mal diffbare Funktionen \(y\colon I \to \mathbb{R^m}\)welche die DGL auf einem zu bestimmenden Intervall \(I \subseteq \mathbb{R}\) erfüllen (und gegebenenfalls die Anfangsbedingung erfüllen).

Klar.

Klar.

Klar.

Klar.

Klar.

Klar.

Klar.

Die DGL \(y' + ay = b\) besitzt die allgemeine Lösung

\(y(t) = c\cdot\exp\left( -\int_{t_0}^t a(s) \text{d}s \right) + \int_{t_0}^t \exp\left( -\int_s^t a(\tau) \text{d}\tau\right)b(s) \text{d}s\)

für beliebige \(c,t \in\mathbb{R}\).

Sei \(h\colon [0,\infty)\to\mathbb{R}\) stetig. Dann hat jedes AWP mit \(x(t_0) = x_0\) die eindeutige Lösung

\(x(t) = x_0\cdot\exp\left( \int_{t_0}^th(\tau) \text{d}\tau\right)\).

Klar.

Sei \(D \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n\) offen und \(f\colon D\to\mathbb{R}^n\) stetig und lokal Lipschitz-stetig in den letzten n Variablen.

Dann gibt es für alle \((t_0,x_0) \in D\) ein \(\alpha^*\) sodass \(x' =f(t,x), x(t_0) = x_0\) auf dem Intervall

\(I^*:=\{ t\in \mathbb{R}:|t-t_0| \le \alpha^* \}\) eindeutig lösbar ist.

Sei \(D \subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\) offen und \(f\colon D\to \mathbb{R}\) stetig. Dann gibt es für jedes Paar \((t_0, x_0) \in D\) postitive Zahlen \(\alpha^*,\beta^* \in \mathbb{R}\) sodass mit \(I^* := \{t\in \mathbb{R}: |t-t_0| \le \alpha^*\}\)und \(B^* := \{x \in \mathbb{R}^n : \lVert x-x_0 \rVert \le \beta^*\}\)folgende Aussagen gelten:

a) Für alle \(t \in I^* \text{ ist }x(t)\in B^*.\)

b) Auf \(I^*\) ist x eine Lösung des AWP \(x'=f(t,x),\ x(t_0)=x_0.\)

Sei \(I := [t_0,T] \subseteq\mathbb{R}\) ein Intervall und \(\phi,\alpha,\beta\in\mathcal{C}(I)\) Funktionen mit \(\beta(t) \ge 0, \forall t\in I\)und

\(\phi(t) \le \alpha(t) + \int_{t_0}^t \beta(s)\phi(s)\text{d}s,\forall t\in I.\)

Dann gilt \(\phi(t) \le \alpha(t) + \int_{t_0}^t \alpha(s)\beta(s)\cdot\exp\left( \int_{s}^t\beta(\tau)\text{d}\tau\right)\text{d}s, \forall t\in I.\)

Klar.

Klar.

Klar.

Sei \(A \in \mathbb{C}^{n,n}\) eine Matrix. Dann gelten folgende Aussagen:

(1) \(\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At} = e^{At}A,\ e^{A(s+t)}=e^{As}\cdot e^{At}, \ (e^{At})^{-1} = e^{-At},\forall s,t\)

(2) Sei \(C \in \mathbb{C}^{n,n}\) nicht singulär und \(J := S^{-1}AS\) dann ist \(e^{At} = Se^{Jt}S^{-1}\).

(3) Für \(\lambda \in \mathbb{C}\) sei \(J:=J_n(\lambda)\). Dann ist \(e^{Jt} = e^{\lambda t} = \begin{pmatrix} 1&t&t^2/2&\dots&t^{n-2}/(n-2)!&t^{n-1}/(n-1)!\\ 0&1&t&\dots&\dots&t^{n-2}/(n-2)!\\ \vdots &&\ddots&\ddots&\dots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}\)

(4) Das inhomogene AWP \(x' = Ax +b, \ x(t_0) = x_0\) hat die eindeutige Lösung \(x(t) = e^{A(t-t_0)}x_0 + \int_{t_0}^te^{A(t-s)}b(s)\text{d}s\).

(5) Seien A,B kommutierende Matrizen, dann gilt \(e^{A+B} = e^{At}e^{Bt},\forall t\).

(6) Es gilt \(e^{At}=\sum_{j=0}^\infty \frac{A^jt^j}{j!}\).

Die Lösung \(x=0\) von \(x'=f(t,x),\ f(t,0)=0\)heißt Lyapunov stabil auf dem Intervall \(I = [\tau,\infty)\), falls für alle \(\varepsilon > 0,\ t_0 \in I\)ein \(\delta = \delta(\varepsilon,t_0) > 0\)existiert, mit \(\lVert x_0 \rVert\le\delta \Rightarrow \lVert x(t,t_0,x_0) \rVert \le\varepsilon, \forall t\ge t_0\).

Die Lösung x ist asymptotisch stabil, falls sie stabil auf dem Intervall ist und für jedes \(t_0 \in I\) ein \(b = b(t_0)\) existiert, sodass \(\lVert x_0 \rVert \le b \Rightarrow \lim_{t\to\infty}x(t,t_0,x_0)=0\).