Navigation I

Das ist dann nicht mehr linear. Man müsste zuerst linearisieren. Dann wird es aber kompliziert. (=> vgl. Parameterschätzung, Jacobi-Matrix bzw. Totalesdifferential, nach allen Variablen ableiten, Varianzen einsetzen, …)

x = r cos(phi) cos(lambda)

y = r cos(phi) sin(lambda)

z = r sin(phi)

Ist Kurve, ein Parameter (lambda) reicht.

x = r cos(lambda)

y = r sin(lambda)

z = h/2? * lambda

Kreis + Kugel

x = R cos(lambda) + r cos(phi) cos(lambda)

y = R sin(lambda) + r cos(phi) sin(lambda)

z = 0 + r sin(phi)

x = r cos(lambda)

y = r sin(lambda)

z = h

r^2 | 0 | 0

0 | 1 | 0

0 | 0 | 1

Qxx = (I - K*H) Qyy

y = x + K (z - Hy)

(neuer Wert = alter Wert + gewichtete Differenz (Messung - alter Wert)

Phi(t,t0) = e^(F*t) = e^(F*(t-t0))

=> sofern F^2 = 0

Phi = I + F * delta t

x' = F x + G w + L u

w: Störgrössen, EW = 0

u: Stellgrössen (Gravitation, Schub, ...)

ds^2 = R^2 cos^2(phi) d_lambda^2 + R^2 d_phi^2

(Skript S. 18)

Siehe Bild.

Welche Gleichung...? Vermutlich gehts richtung x’ = Fx + Gw + Lu, Bestimmen von F...

Geradlinig heisst, dass es keine Beschleunigung hat, also auch keine Kurven fährt, man kann eine lineare Bewegung modellieren...

siehe Bild

(Bei z= Hx+v)

siehe Bild

Nein, man könnte auch mit anderen Instrumenten die Geschwindigkeiten, Distanzen oder Azimute messen.

Die Metrik beschreibt die Geometrie eines Koordinatensystems

* Die Geometrie beschreibt die Form eines Objektes (Körper, Fläche, Kurve).

* Die Parametrisierung ist eine mathematische Form der exakten Beschreibung der Geometrie in geeigneter (je nach Situation) Form.

* Die Metrik beschreibt die Geometrie eines Koordinatensystems und kann aus der Parametrisierung hergeleitet werden.

* Die Metrik wird unteranderem dafür verwendet, das infintesimale Linienelement herzuleiten und dieses zu minimieren (=> geodätische Linie)

Flächen (2 Parameter) und Linien (1 Parameter)

Beispiele: Geraden, Sphäre, Ellipsoid, Zirkularrampe, Torus (Donut)

Man sucht für jede Koordinate im kartesischen Koordinatensystem eine Funktion bestehend aus 1 oder 2 freien Parametern.

x = a cos(phi) cos(lambda)

y = b cos(phi) sin(lambda)

z = c sin(phi)

alternativ: geodätisch

x = Rn cos(phi) cos(lambda)

y = Rn cos(phi) sin(lambda)

z = Rn (1-e^2) sin(phi)

ds^2 = Rn^2 cos^2(phi) d_lambda^2 + Rm^2 d_phi^2

(Skript S.19)

Unter anderem durch Aufsummierung entlang eines Weges die Länge von Kurven berechnen. Oder man kann das Linienelement minimieren und daraus eine Formel für die geodätische Linie herleiten. Aus der Variation der Lagrangefunktion L erhält man die Euler-Lagrange Differentialgleichungen für die geodätische Linie. Sie enthält die sogenannten Christoffel-Symbole.

Der Grosskreis oder Geodätische ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Kugel. Die Ebene, in welcher der Grosskreis liegt, enthält den Kugelmittelpunkt sowie die Normalenvektoren der Kugeloberfläche im Schnittbereich.

Parametrisierung, Metrik bestimmen, Linienelement, Minimierung des Linienelements, Differentialgleichung-> diese wird mit Euler-Lagrange gelöst

Um kürzestes Wegelement zu bestimmen und dieses dann mittels Variationsrechnung zu minimieren (-> geodätische Linie)

R^2 cos^2(phi) | 0 | 0

0 | R^2 | 0

0 | 0 | 1

Phi deshalb, weil die geographische Breite mitbestimmend für den Radius eines Breitenkreises und damit für die Länge eines Bogenstücks (in Lambda-Richtung) ist. Wichtig bei der Berechnung des Linienelements.

Die Koeffizienten abseits der Diagonalen sind Null, weil das Skalarprodukt zweier verschiedener Basisvektoren Null ergibt. Sprich: Die Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander. Auf der Diagonalen wird jeweils ein Basisvektor mit sich selber multipliziert.

Wesentlich ist hierbei auch, dass die Parameter Phi, Lambda und R unabgängig voneinander sind.

Die Basisvektoren auf der Kugel sind Tangenten an die Oberfläche, in Richtung Meridian oder in Richtung Breitenkreis. Der dritte Basisvektor entspricht der Oberflächennormalen.

Die geodätische Linie auf der Kugel ist ein Grosskreis. Auf dem Ellipsoid liegt die Geodätische nicht mehr in einer Ebene und ist somit kein Grosskreis mehr.

Je nach Kartenprojektion werden Grosskreise auf der Kugel als Geraden (gnomonische Projektion, stereographische und orthographische je nachdem) oder Kurven dargestellt.

Loxodrome: Kursgleiche. Schneidet die Meridiane stets mit konstantem Winkel (Linie mit konstantem Azimut). Auf der Kugel normalerweise als Spiralen anzutreffen, die an den Polen nicht definiert sind. Breitenkreise sind aber auch Loxodromen.

Sie sind nicht mehr die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten, jedoch einfach in der Anwendung (v.a. Navigation). Bei Navigation mit einem magnetischen Kompass muss die Deklination korrigiert werden.

In der Mercator-Projektion werden Loxodromen als Geraden dargestellt.

Ja! Diese Frage kann man alternativ auch mit Nein beantworten. Wer sie mit Nein beantwortet bekommt ein Bier von Roman!