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Mit Geometrie auf der Fläche, Parametrisierungen und Metrik, Grosskreise und Loxodromen

Die Metrik beschreibt die Geometrie eines Koordinatensystems

* Die Geometrie beschreibt die Form eines Objektes (Körper, Fläche, Kurve).

* Die Parametrisierung ist eine mathematische Form der exakten Beschreibung der Geometrie in geeigneter (je nach Situation) Form.

* Die Metrik beschreibt die Geometrie eines Koordinatensystems und kann aus der Parametrisierung hergeleitet werden.

* Die Metrik wird unteranderem dafür verwendet, das infintesimale Linienelement herzuleiten und dieses zu minimieren (=> geodätische Linie)

Flächen (2 Parameter) und Linien (1 Parameter)

Beispiele: Geraden, Sphäre, Ellipsoid, Zirkularrampe, Torus (Donut)

Man sucht für jede Koordinate im kartesischen Koordinatensystem eine Funktion bestehend aus 1 oder 2 freien Parametern.

x = a cos(phi) cos(lambda)

y = b cos(phi) sin(lambda)

z = c sin(phi)

alternativ: geodätisch

x = Rn cos(phi) cos(lambda)

y = Rn cos(phi) sin(lambda)

z = Rn (1-e^2) sin(phi)

ds^2 = Rn^2 cos^2(phi) d_lambda^2 + Rm^2 d_phi^2

(Skript S.19)

Unter anderem durch Aufsummierung entlang eines Weges die Länge von Kurven berechnen. Oder man kann das Linienelement minimieren und daraus eine Formel für die geodätische Linie herleiten. Aus der Variation der Lagrangefunktion L erhält man die Euler-Lagrange Differentialgleichungen für die geodätische Linie. Sie enthält die sogenannten Christoffel-Symbole.

Der Grosskreis oder Geodätische ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Kugel. Die Ebene, in welcher der Grosskreis liegt, enthält den Kugelmittelpunkt sowie die Normalenvektoren der Kugeloberfläche im Schnittbereich.