Navigation I

Unter anderem durch Aufsummierung entlang eines Weges die Länge von Kurven berechnen. Oder man kann das Linienelement minimieren und daraus eine Formel für die geodätische Linie herleiten. Aus der Variation der Lagrangefunktion L erhält man die Euler-Lagrange Differentialgleichungen für die geodätische Linie. Sie enthält die sogenannten Christoffel-Symbole.

Der Grosskreis oder Geodätische ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Kugel. Die Ebene, in welcher der Grosskreis liegt, enthält den Kugelmittelpunkt sowie die Normalenvektoren der Kugeloberfläche im Schnittbereich.

Parametrisierung, Metrik bestimmen, Linienelement, Minimierung des Linienelements, Differentialgleichung-> diese wird mit Euler-Lagrange gelöst

Um kürzestes Wegelement zu bestimmen und dieses dann mittels Variationsrechnung zu minimieren (-> geodätische Linie)

R^2 cos^2(phi) | 0 | 0

0 | R^2 | 0

0 | 0 | 1

Phi deshalb, weil die geographische Breite mitbestimmend für den Radius eines Breitenkreises und damit für die Länge eines Bogenstücks (in Lambda-Richtung) ist. Wichtig bei der Berechnung des Linienelements.

Die Koeffizienten abseits der Diagonalen sind Null, weil das Skalarprodukt zweier verschiedener Basisvektoren Null ergibt. Sprich: Die Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander. Auf der Diagonalen wird jeweils ein Basisvektor mit sich selber multipliziert.

Wesentlich ist hierbei auch, dass die Parameter Phi, Lambda und R unabgängig voneinander sind.

Die Basisvektoren auf der Kugel sind Tangenten an die Oberfläche, in Richtung Meridian oder in Richtung Breitenkreis. Der dritte Basisvektor entspricht der Oberflächennormalen.

Die geodätische Linie auf der Kugel ist ein Grosskreis. Auf dem Ellipsoid liegt die Geodätische nicht mehr in einer Ebene und ist somit kein Grosskreis mehr.

Je nach Kartenprojektion werden Grosskreise auf der Kugel als Geraden (gnomonische Projektion, stereographische und orthographische je nachdem) oder Kurven dargestellt.

Loxodrome: Kursgleiche. Schneidet die Meridiane stets mit konstantem Winkel (Linie mit konstantem Azimut). Auf der Kugel normalerweise als Spiralen anzutreffen, die an den Polen nicht definiert sind. Breitenkreise sind aber auch Loxodromen.

Sie sind nicht mehr die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten, jedoch einfach in der Anwendung (v.a. Navigation). Bei Navigation mit einem magnetischen Kompass muss die Deklination korrigiert werden.

In der Mercator-Projektion werden Loxodromen als Geraden dargestellt.

Ja! Diese Frage kann man alternativ auch mit Nein beantworten. Wer sie mit Nein beantwortet bekommt ein Bier von Roman!

Man versucht beispielsweise eine Position zu antizipieren (Vorausberechnung), um die Position eines sich bewegenden Fahrzeugs Realtime messen zu können. Zudem werden mit Filteransätzen durch Ungenauigkeiten der Messungen hervorgerufene grosse Schwankungen der Geschwindigkeit vermieden.

Angewendet wird hierbei das Prinzip der sequentiellen Ausgleichung. Der Zustand zwischen zwei Messungen wird mit Hilfe des Propagators ermittelt. Das Ergebnis kann als Näherung in die Ausgleichung eingeführt werden.

Navigation: Fahrzeuge wie Autos, Schiffe oder Flugzeuge

Geodäsie: Überwachung von Hängen, Hangrutschungen

Physik: Senkrechtwurf, freier Fall

Weitere:

- Bildverarbeitung

- Weite Verbreitung in Radios, Funkgeräten, Computern und in fast allen anderen Arten von Video- und Kommunikationsgeräten

- Überwachung von Akkus (Strom, Spannung, Temperatur und evtl. pH-Wert sind Messgrössen und u.a. Ladezustand, maximal entnehmbare Leistung und entnehmbare Energie bei aktueller Entladerate sind Ausgabegrössen)

z = Hx + v

xk(+)=xk(-)+Kk(zk-Hkxk(-))

x’(t) = F*x(t) + L*u(t) + G*w(t)

x(t) = Propagator * x0 + s

Verbesserung der Näherungslösung (genauer). Mit dem Propagator kann man die Näherungslösung für einen beliebigen Zeitpunkt berechnen. Unter anderem auch für den Zeitpunkt der Messung z.

Propagator: Phi = I + F * delta t

Brauchts um aus letzter Messung aktuellen (bzw. beliebigen) Standort zu propagieren.

Propagator beschreibt, wie sich der Zustandsvektor ändern wird. Grundsätzlich: Aktueller Zustand plus Änderung (=> Ableitung). Ableitung führt zu DGL, die mit dem ex-Ansatz (charakteristische Polynom und solche Spässe...) gelöst wird. Dazu ist Reihenentwicklung nötig, weil e^(Matrix). Ist allerdings F2 = 0 so bricht die Reihenentwicklung bereits nach e(F) = I + F ab, da in den weiteren Gliedern F2 oder höhere Potenzen von F vorkommen, die ja alle = 0 sind.

Ich zeichnete die Kurve mit dem Auto und den Pfeilen und erklärte. Schlussendlich wollte er das wissen: x'(t)= F(t)* x(t) x(t) => Propagator(t,t0) * x(t0) + s

(update), Gewichtung …

Messung sind gleich die Koordinaten => macht H-Matrix ziemlich einfach.

Updategleichung:

xk(+)=xk(-)+Kk(zk-Hkxk(-))

wobei xk1(-) aus xk-1(+)propagiert wurde.

Es wird also zuerst ein Zustand propagiert (Indizes Minus), und im nächsten Schritt der propagierte Zustand mit den neuen Messungen geupdatet (Indizes plus). Wenn Messung zum Zeitpunkt i-1 bekannt ist, interessiert eigentlich schon die Position zum Zeitpunkt i, die aber noch nicht verfügbar ist und daher propagiert wird. Beispiel Skizze: zum Zeitpunkt der Messung zi (blau) interessiert eigentlich die Position zum Zeitpunkt i+1, die aus der geupdateten Position xi+ propagiert wird.

Das ist dann nicht mehr linear. Man müsste zuerst linearisieren. Dann wird es aber kompliziert. (=> vgl. Parameterschätzung, Jacobi-Matrix bzw. Totalesdifferential, nach allen Variablen ableiten, Varianzen einsetzen, …)

x = r cos(phi) cos(lambda)

y = r cos(phi) sin(lambda)

z = r sin(phi)

Ist Kurve, ein Parameter (lambda) reicht.

x = r cos(lambda)

y = r sin(lambda)

z = h/2? * lambda

Kreis + Kugel

x = R cos(lambda) + r cos(phi) cos(lambda)

y = R sin(lambda) + r cos(phi) sin(lambda)

z = 0 + r sin(phi)

x = r cos(lambda)

y = r sin(lambda)

z = h

r^2 | 0 | 0

0 | 1 | 0

0 | 0 | 1

Qxx = (I - K*H) Qyy

y = x + K (z - Hy)

(neuer Wert = alter Wert + gewichtete Differenz (Messung - alter Wert)

Phi(t,t0) = e^(F*t) = e^(F*(t-t0))

=> sofern F^2 = 0

Phi = I + F * delta t

x' = F x + G w + L u

w: Störgrössen, EW = 0

u: Stellgrössen (Gravitation, Schub, ...)

ds^2 = R^2 cos^2(phi) d_lambda^2 + R^2 d_phi^2

(Skript S. 18)

Siehe Bild.

Welche Gleichung...? Vermutlich gehts richtung x’ = Fx + Gw + Lu, Bestimmen von F...

Geradlinig heisst, dass es keine Beschleunigung hat, also auch keine Kurven fährt, man kann eine lineare Bewegung modellieren...

siehe Bild

(Bei z= Hx+v)

siehe Bild

Nein, man könnte auch mit anderen Instrumenten die Geschwindigkeiten, Distanzen oder Azimute messen.