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Trigo, Vektor, Differential, Integral, Wahrscheinlichkeit
Trigo, Vektor, Differential, Integral, Wahrscheinlichkeit
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Cartes-fiches
Sprung im Übergang von f(x) zu g(x)
Funktionen schneiden sich nicht /
Punkt auf g(x) ist nicht auf f(x) enthalten
Knick im Übergang von f(x) zu g(x)
Steigungen stimmen nicht überein
Ruck im Übergang von f(x) zu g(x)
Krümmungen stimmen nicht überein
Kriterien harmonischer Verbindung von f(x) und g(x)
1. f(x) = g(x) (berühren sich in einem Punkt)
2. f ' (x) = g ' (x)
3. f ' ' (x) = g ' ' (x)
Kriterien für Flugzeuglandung A(0/0) B(0+h/1)
1. f(0) = 0
f(0+h) = 1
2. f ' (0) = 0
f ' (0+h) = 0
Im HP von f(x)...
- ...schneidet f ' (x) die x-Achse
- ist f ' ' (x) < 0
Im Wendepunkt von f(x)...
- ... hat f ' (x) einen Tiefpunkt
- ... schneidet f ' ' (x) die x-Achse (Vorzeichenwechsel)
Im Tiefpunkt von f(x)...
- ... schneidet f ' (x) die x-Achse
- ... ist f ' ' (x) > 0
Definition des Integrals
- Teilintervall (a;b)
- Graph f eingeteil in n Teilintervalle
- alle Teilintervalle sind gleich lang
- Länge = x2-x1/n
Zwischensumme =
= f(x1) x Teilintervall + f(x2) x Teilintervall + ... + f(xn) x Teilintervall
bestimmtes Integral ist
wenn der limes (n->unendliche Anz.) der Zwischensumme= a/b f(x)dx im Intervall a;b
Anwendungsbeispiel bestimmtes Integral
- Um von momentaner Änderungsrate auf die Gesamtänderung zu kommen
- Bestimmung von Volumen
Definition Variation
aus n-Elementen wählt man k aus und bildet eine Reihenfolge
(k-Plätze, Reihenfolge der n-Elemente wichtig)
Beispiel Variation ohne Wiederholungen
Wie viele 5-Buchstabenwörter lassen sich aus Alphabet bilden?
n = 26
k = 5
Formel Variation ohne Wiederholung
n! / (n-k)!
Beispiel Variation mit Wiederholungen
Aus Alphabet n = 26 Buchstaben werden k=5 angeordnet, jeder Buchstabe kann mehrmals vorkommen
(wenn Buchstaben aus 1 Urne gezogen, mit Zurücklegen)
Formel Variation mit Wiederholungen
Vmw = n^k
Erklärung Permutation
Anzahl Möglichkeiten, n verschiedene (Pow) oder n einige gleiche Elemente (Pmw) auf k Plätzen anzuordnen wobei k=n
Formel Permutation ohne Wiederholung
Pow = n!
Beispiel Pow
19 (unterschiedliche) Studenten auf 19 Stühlen verteilen
-> n!
Formel Permutation mit Wiederholung
k1 = 5 rote Kugeln
k2 = 3 gelbe Kugeln
...
Pmw = n! / k1! mal k2! mal ..kn!
Herleitung Formel Permutationen mit Wiederholung
Wie viele Permutationen aus 1 1 1 2 2 ?
Wären all unterschiedlich, dann 5!,
aber da teilweise identisch :
Fakultät aller möglicher Ergebnisse DURCH Fakultät Anzahl Identische1 DURCH Fakultät Anzahl Identische2 -> 5! / 3! x 2!
-> n1 +n2+n3...= n
n! / n1! mal n2! mal n3! ... = Permutation mit Wiederholungen
Definition Kombinationen
Aus n Elementen wählt man k aus und die Reihenfolge, wie die k Elemente gezogen werden spielt keine Rolle
Beispiel Kombination ohne Wiederholung
Aus 45 Zahlen (wobei alle unterschiedlich sind) werden 6 gezogen, die Anordnung spielt keine Rolle.
oder
1 Urne mit 45 Zahlen, mit einem Griff zieht man 6 heraus. Wie viele Ausfälle gibt es?
Beispiel Kombination mit Wiederholungen
Urne mit 10 unterschiedlichen Kugeln, 4 mal eine Kugel ziehen und jeweils wieder zurücklegen. Wie viele Kombinationen gibt es?
Zusammenhang Variationen und Kombinationen
Der Zusammenhang ist, dass bei Variationen sowie bei Kombinationen aus n Elementen k ausgewählt und angeordnet werden
Der Unterschied ist, dass bei Variationen die Reihenfolge eine Rolle spielt, bei Kombinationen jedoch nicht (d.h. man kann auch mit einem Griff ziehen)
Rolle des Gegenereignisses
Zwei unvereinbare Ereignisse bilden zusammen die Gesamtheit aller Ergebnisse
Sie sind zueinander Gegenereignisse
p(Gegenereignis) = 1 - p(Ereignis)
Eine Rechnung kann vereinfacht werden, wenn anstatt von p(E), p(Gegenereignis) berechnet wird
