Mathematik

Zuordnungsvorschrift allgemein: x → y

Funktion x → mx:

Die Funktion x → mx heißt jeden gewählten x-wert wird sein m-facher Wert zugeordnet.

Funktionsvorschrift: x → mx

Funktionsgleichung: y = mx

Berechnung Steigung m:

Zur Berechnung der Steigung braucht man zwei Punkte. Man bildet die Differenz der y-Werte der beiden Punkte, und dividiert sie durch die Diefferenz der x-Werte.

Die Funtion x → mx + n:

Funktion mit Sockelbetrag: x → mx + n

Funktionsgleichung: y = mx + n

Die Gerade schneidet den y-Achse bei Punkt P(0In).

1. Punkte und Steigungsdreieck in  den Graphen einzeichnen.

2. Errechnung der Steigung m

3. Mit einem Punkt und der Steigung den y-Wert berechnen.

4. Angabe der Funktionsgleichung

Bsp.

Gegeben: Punkt P(-6I-3) und Steigung m = 0,625.

    y = mx + n

   -3 = 0,625 * -6 + n 

    -3 = -3,75 + n      I+3,75

0,75 = n

Funktionsgleichung: y = 0,625 * x + 0,75

Nullstelle ist der Punkt P(xI0)

Funktionsgleichung: y = 0

Bsp.

x → -0,9x + 3,15

y = -0,9x + 3,15

      0 = -0,9x + 3,15 I-3,15

-3,15 = -0,9x            I:(-0,9)

    3,5 = x

Punkt 0 = P(3,5I0)

Der absolute Betrag der positiiven Zahl x ist  x (IxI=x)

Der absolute Betrag der negativen Zahl x ist -x(I-xI=x)

Der absolute Betrag ist nie negativ.

Der y-Wert ist nie negativ.

Schnittpunkt = S(xIy)

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu ermitteln setzt man beide Gleichungen gleich.

Bsp.

I = y=-1,5x+7

II = y=3x-2

Gleichsetzen:

-1,5x + 7 = 3x -2 I+1,5x +2

            9 = 4,5x  I:4,5

            2 = x

__________________________

y = 3*2 - 2

y = 6 -2

y = 4

x = 2 I y = 4

S(2I4)

Bsp.

       40 = 2x + 2y   /-2x

40 - 2x = 2y          /:2

  20 - x = y

y = -x +20

1. Beide Gleichungen zu einer Variablen umstellen

2. Beide Therme gleichsetzen

3. Gleichung lösen, und mit der errechneten Zahlenwert die zweite Variable errechnen.

4. Lösungsmenge angeben  L = {(x;y)}

Bsp.

I  y = -2x +5

II y = 1,5x - 2

-------------------

Gleichsetzen:

      y_{1 =} y₂

_{-2x +5 = 1,5x -2}

  _{-3,5x = -7}

        _{x = 2}

_{Zweite Variable errechnen:}

_{y = 1,5x2 -2}

y = 1

1. Einer der Variablen wird zu einer Variable aufgelöst

2. Die Variable wird in die zweite Gleichung eingesetzt.

3. Variable errechnen

4. Mit der errechneten Zahl wird die zweite Variable errechnet.

Bsp.

I 3x +2y = 14

II 3x -y = 2

-------------------

II 3x -y = 2  -> 3x -2 = y

Variable II in Gleichung I einsetzen.:

3x +2(3x -2) =14

     3x +6x -4 = 14     /+4

                9x = 18     /:2

                  x = 2

Zweite Variable errechnen:

3x2 +2y = 14

    6 +2y = 14

          2y = 8

            y = 4

L = (2;4)

1. Gleichungen umformen das gleiche Variable untereinander stehen.

2. Entscheiden welche Variable wegfällt.

3. Gleichung erweitern.

4. Vorzeichen gleich (2. Gleichung wird vor 1. Substrahiert), Vorzeichen verschieden(Zahlen werden addiert).

5. Gleichung wird gelöst und die zweite Variable wird errechnet.

Bsp.

I 3x +5y = -47

II 2x -4y = 20

--------------------

3x +5y = -47  /*2

2x -4y =  20 /*(-3)

_______________

 6x +10y = -94

-6x +12y = -60

_______________

      +22y = -154

            y = -7

zweite Variable errechen:

2x - 4*(-7) = 20

     2x +28 = 20

            2x = -8 

              x = -4

L = (-4;-7)

__________________________________

I       x:y = 4:5      (Produkt Innenglieder = Produkt Außenglieder)

II 2(x+y) = 151,2

------------------------

x:y = 4:5

4y = 5x

------------------------

2(x+y) = 151,2

2x + 2y = 151,2         /-2x

        2y = 151,2 -2x  /*2

         4y = 302,4 -4x

Gleichsetzungsverfahren:

5x = 302,4 -4x  /+4x

9x = 302,4         /:9

  x = 33,6

zweite Variable errechnen:

4y = 5*33,6

4y = 168

  y = 42

L = (33,6; 42)

Bei der Umformung einer Ungleichung darf man

-gleiche Zahlen addieren oder subtrahieren

-mit der gleichen positiven Zahl multiplizieren oder dividieren

-mit der gleichen neagtiven Zahl multiplizieren oder dividieren, wenn man die Richtung des Relationszeichen umkehrt.

Bsp.

4-2x > x+7

    -3 > 3x 

     -1 > x

Umformen zur Funktionsgleichung:

Bsp.

5x - 6y > 24           /-5

      -6y > -5x + 24  /:6

        -y > -5/6x +4  /(-1)

         y < 5/6x - 4