Mathe :: Grundbegriffe

Eine Dezimalzahl ist ein Dezimalbruch in dezimaler Schreibweise: 

• 7/10 = 0.7
• 21/100 = 0.21
• 7 Tausendsstel = 0.007

Die Differenz zweier Zahlen x und y erhält man, indem man die eine von der anderen abzieht (subtrahiert). 
Wenn die Differenz negativ wird, wird oft nur der Positivwert (Betrag) der Differenz genannt.

4/5 ist dasselbe wie 4:5 und dasselbe wie 0.8. 
Die Zahl über dem Bruchstrich heisst "Zähler". Die darunter "Nenner".

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens "=" symbolisiert wird.

Beispiel: 

x + 1/5x = 6 (Diese Gleichung ist nur dann wahr, wenn x=5 ist)

Eine Zahl x ist eine Teiler einer Zahl y wenn diese Zahl y ohne Rest durch den Teiler x geteilt werden kann.

Diese Regel besagt, dass Multiplikationen und Divisionen IMMER vor Additionen und Subtraktionen durchzuführen sind solange nicht Klammern eine andere Reihenfolge verlangen.

• Addition
• Subtraktion
• Multiplikation
• Division

Der Durchschnitt von n beliebigen Zahlen berechnet man indem man die Summe dieser n Zahlen durch die Anzahl der Zahlen, also n,  dividiert.

Beispiel: 

Durchschnitt von 2, 6 und 10 ist 9

Man erweitert einen Bruch indem man den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. 
Beispiel: 

1/3 kann durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit 2 auf den Bruch 2/6 erweitert werden. 
 

Man benötigt solche Erweiterungen um Brüche mit verschiedenen Nennern "kompatibel" zu machen. 
Beispiel: 

Wenn man 1/2 + 1/3  addieren muss, kann man beide Brüche auf Sechstel erweitern, um dann ihre Zähler (weil sie nun den gleichen Nenner haben) addieren zu können: 

  3/6 + 2/6 = 5/6 

Eine Primzahl ist eine Zahl die nur durch 1 und durch sich selber (ohne Rest) teilbar ist.

Beispiele: 

1,2,3,5,7,11,13,..., 

Wenn man Zähler und Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl dividieren kann wird der "Bruch" durch diese Division einfacher (ohne dass sich sein Wert verändert).
Beispiel: 

• 2/4 wird auf 1/2 gekürzt.
• 6/8 auf 3/4

Eine Variable - auch Platzhalter genannt -  ist ein (Klein-)Buchstabe wie z.B. x,y,a,u oder ein anderes Zeichen wie z.B. ein Kästchen oder ein Unterstrich, welcher in einer Gleichung für diejenige Zahl steht, welche die Gleichung wahr macht. 

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe all ihrer Ziffern.

Beispiel: 

Die Quersumme von 4687 ist 25.

Wenn der Zähler eines Bruchs grösser ist als sein Nenner, schreibt man den Bruch als gemischte Zahl: 

Beispiel: 

Der Bruch 19/8 entspricht der gemischten Zahl 2 3/8

Die Umkehroperation der Addition ist die Subtraktion. 

Die Umkehroperation der Disvision ist die Multiplikation

Allgemein gilt:
Wenn unmittelbar auf eine Operation ihre Umkehroperation angewendet wird, erhält man wieder den Anfangswert. 

Beispiel

4 (Ausgangszahl) +3 (Operation) -3 (UmkehrOperation = 4 (Ausgangszahl)

Die Zahl wird (um den Faktor) 10 mal kleiner.

Bei einer Division (z.B. wenn man 1:4 rechnet), wird sowohl das Resultat der Division ( im Beispiel 0.25) als auch die Division an und für sich (im Beispiel 1/4) als "Quotient" bezeichnet.  

Bei Dezimalzahlen werden Dezimalen auf die vorangehenden Dezimale wie folgt auf- oder abgerundet:

• Zahlen 1-4 werden abgerundet
• Zahlen 5-9 werden aufgerundet. 

Beispiele:

• 1.428 auf 2 Dezimalen gerundet = 1.43
• 0.002 auf 2 Dezimalen gerundet = 0.00
• 45.56983 auf 3 Dezimalen gerundet = 45.570

99'999 ist die grösste 5 stellige Zahl

10'000 ist die kleinste 5 stellige Zahl

Lösung: 

Die Nenner der beiden Brüche auf das kleinste gemeinsame Vielfache erweiter, also auf 12tel. 
--> 2/3  = 8/12

-->3/4 = 9/12 

Daraus wird ersichtlich dass 3/4 um genau 1/12 grösser ist als 2/3 !

Das Bruchrechnen braucht man dann, wenn es nicht um "ganze" Dinge geht. So isst man oftmals eben nicht einen "ganzen" Kuchen, sondern nur einen Teil eines Kuchens. Und genau solche Fälle lassen sich auch mathematisch ausdrücken. So kennt jeder sicherlich die Aussage "einen halben Apfel" oder einen "halben Kuchen" essen. Mathematisch würde man das als 1/2 schreiben. Diese Schreibweise nennt man einen Bruch. Am Beispiel des Kuchens würde dies bedeuten, dass ich den Kuchen in 2 Stücke schneide und 1 Stück esse.  Würde ich nun sagen, dass ich 3/4 des Kuchens esse, bedeutet dies: Ich schneide den Kuchen in 4 Stücke und esse 3 Stücke.

1. 3/4  (Im Internet können wir nur den Schrägstrich an Stelle des sonst beim Handschriftlichen üblichen horizontalen Bruchstrich mit obenliegendem Zähler und unterliegendem Nenner schreiben)
    
2. 3:4 (auf einer Linie mit Doppelpunkt)
    
3. 0.75 (als Dezimalzahl/-bruch)

1. alle Terme in den Klammern ausrechnen
2. alle Multiplikationen und Divisionen (Punkt vor Strich Regel)
3. alle Additionen und Subtraktionen ausführen
4. alle Zahlen und Variablen mit gleichem Namen zusammenfassen. 

Beispiel: 

(2x + 5x + 4) * 6 + 8x  = 100

-->  (7x + 4)*6 + 8x = 100

--> 42x + 24 + 8x = 100

--> 50x + 24 = 100  | -24

--> 50x = 76     | :50

--> x = 76/50 = (gekürzt) 38/25

--> x = (als gemischte Zahl) 1 13/25

1. Brüche auf einen Nenner bringen
2. Brüche addieren
3. Ergebnisbruch kürzen

Merkpunkte:

Man kann die Zähler der Brüche nur dann addieren wenn sie den gleichen Nenner haben. Wenn diese Nenner verschieden sind müssen Zähler und Nenner von einem oder beiden Brüchen so mit verschiedenen geeigneten Zahlen multipliziert (erweitert) werden bis sie den selben Nenner haben (Im Zweifelsfall entspricht der neue Nenner dem Produkt der beiden (verschiedenen) alten Nenner).  
 

Beispiele: 

• 1/5 + 1/7 = 7/35 + 5/35 = (7+5)/35 = 12/35
• 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6 = 1 1/6
• 1/100 + 1/10 = (1+10)/100 = 11/100 = 0.11

1. Natürliche Zahlen  

Alles was man abzählen kann, wird als natürliche Zahl bezeichnet: (0), 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9, 10, 11 und so weiter.
Ob die 0 dazugehört oder nicht muss jeweils explizit festgelegt werden. 

2. Negative Zahlen  

Negative Zahlen erkennt man an einem Minus-Zeichen vor der Zahl, also z.B. -5 oder -23 oder auch -8,23. Am einfachsten zu verstehen ist das mit einem Bankkonto. Wenn ich 1000 Franken besitze, habe ich +1000 Franken auf dem Konto. Habe ich mir jedoch Geld von der Bank geliehen, z.B. 1000 Franken, dann habe ich -1000 Franken. Ich muss also der Bank 1000 Euro geben, um die 0 Euro auf meinem Konto zu erreichen und keine Schulden zu haben. 

3. Ganze Zahlen

Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Zu ihnen gehören nicht nur 1, 2, 3, 4 usw. sondern auch die negative Zahlen  wie -3, -2, -1. Auch die 0 wird mitgezählt. Die Ganzen Zahlen sind somit :   .... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 .... 

4. Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind durch einen sogenannten Bruch darstellbar, sprich in der Form m/n. Der Zähler ( m ) ist dabei eine ganze Zahl, der Nenner ( n ) eine natürliche Zahl. Beispiele: 8/3, -3/4, 232/579. 

Anmerkng: Jede ganze Zahl und jede natürliche Zahl ist damit auch eine rationale Zahl! 

Bei Ungleichungen ist die eine Seite der Gleichung meist größer oder kleiner als die andere.   Dies wird durch ein "<" ( kleiner ) oder ">" ( größer ) ausgedrückt. Darüber hinaus gibt es ein kleiner-gleich "≤"  und ein größer-gleich "≥". Ungleichungen werden im Prinzip genauso gerechnet, wie normale Gleichungen. Dabei muss aber noch eine zusätzliche Sonderregel beachtet werden:
  Multipliziert oder dividiert man beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl, so tauschen sich  "<" und ">" bzw. "≤" und "≥" gegeneinander aus.   Beispiel 1
  4x + 10 ≥ 14  | -10  4x ≥ 4           | :4  x ≥ 1   Beispiel 2: 
  -12x + 12 < 24   | -12  -12x  < 12    | :-12 x > -1