lineare Algebra II

HNF:

|<n,AX> - d| / ||n|| = 0

• n orthogonal auf Ebene
• A Punkt in der Ebene
• X beliebiger Punkt
• d Abstand von X zur Ebene

Die HNF ist praktisch, weil man mit ihr schnell Abstände berechnen kann.

1. Quadratisch, Symmetrie bezüglich Hauptdiagonale. A = ^TA
2. Quadratisch, Symmetrei bezüglich Hauptdiagonale, wenn mal (-1). A = -^TA
3. Alle Elemente sind 0en außer Hauptdiagonale.
4. Alle Elemte sind Nullen bis auf Hauptdiagonale und darüber (bzw. darunter) liegende --> obere (bzw. untere) Dreiecksmatrix.
5. Diagonalmatrix mit 1en als Hauptdiagonale. (neutrales Element der Matrixmultiplikation)

Definition siehe Abb

3 Diagonalisierbarkeitskriterien:

1. Es gibt v₁,...,v_n mit span(v₁,...,v_n) = V
2. algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit
3. Es gibt n Eigenwerte und sie unterscheiden sich von einander.

siehe Abb

Sei A eine quadratische Matrix, so nennt man A^-1 die zu A inverse Matrix, wenn A*A^-1 = I_n gilt

dim(M) = dim(Ker(A)) + dim(Im(A))

wobei dim(Im(A)) = rang(A)

siehe Abb

Standardskalarprodukt

x aus Rⁿ, y aus Rⁿ

<x,y> = x₁y₁ + ... + x_ny_n

_{Eigenschaften:
seien x,y,x',y' aus} Rⁿ _{und k aus R}
 

• <x+x',y> = <x,y> + <x',y>
  <kx,y> = k <x,y>
  <x,y+y'> = <x,y> + <x,y'>
  <x,ky> = k <x,y>
  (vgl. Bilinearform)
   
• <x,y> = <y,x>
  (vgl. symmetrische Bilinearform)
   
• <x,x> >= 0
  <x,x>=0 <=> x=0

Standardnorm

||x|| = √(<x,x>)

Eigenschaften

• ||x||=0    <=>   x=0
• ||k*x|| = k * ||x||
• ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||  (Dreiecksungleichung)

siehe Abb

Existiert nur speziell für R³

siehe Abb

Bem.:

• darstellende Matrix der Bilinearform (schief)symmetrisch  <=>  (schief)symmetrische Bilinearform

siehe Abb

siehe Abb

siehe Abb

siehe Abb

• Die 3 Eigenschaften der Definition
• det(k * A) = kⁿ * det(A)
• Hat A eine Nullzeile oder -spalte --> det(A) = 0
• Bei jeder Vertauschung von Zeilen (bzw. Spalten) ändert die Determinante ihr Vorzeichen. (wichtig für GAUSSsche Umformungen).
• Wird k mal die j-te von A zur i-ten Zeile von B (mit i ungleich j) addiert, so bleibt die Determinante unverändert. (wichtig für GAUSSsche Umformungen).
• Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist die Multiplikation der Diagonalelemente.
• Bei Kastenform ist det(A) = det(A1) * det(A2)
• det(A) = 0  <--> rang(A) < n
• det(A * B) = det(A) * det(B)
• det(A^-1) = det(A)^-1

siehe Abb

Seien A und B quadratische Matrizen, so sind sie ähnlich zu einander wenn B = SAS^-1 gilt.

Bem.: Stellt man einen Endomorphismus einmal zur Basis V1 und V2 dar und einmal zur Basis V1' und V2' dar, so sind die beiden darstellenden Matrizen zueinander ähnlich.

siehe Abb

siehe Abb

Hau_Lambda(A) = Ker( (A - Lambda*I_n)^a )

Lambda = zugehöriger Eigenwert zum Hau(A)
a = algebraische Vielfachheit

siehe Abb

Anzahl der Jordanblöcke = geometrische Vielfachheit

Länge des Jordankästchens = algebraische Vielfachheit des zugehörigen Lambda_i

Definition Skalarprodukt

positiv definite symmetrische Bilinearform in Vektorräumen über R hermitesche Formen über C

Definition Norm

siehe Abb

Wir haben eine Basis gegeben und wollen den davon aufgespannten Vektorraum durch eine Orthonormalbasis angeben. Dazu verwenden wir das Orthonormalisierungsverfahren (siehe Formel in Abb).

siehe Abb

ausarbeiten

siehe Abb

siehe Abb

Wir haben Vektoren bezüglich A = {a₁,a₂,a₃} gegeben und wollen sie aber bezüglich B = {b₁,b₂,b₃}. Die Koordinatentransformation T von A nach B ist eine lineare Abbildung bzw. Matrix, die einen v Vektor dargestellt bzgl. A bekomm und den selben Vektor dargestellt bzgl. B ausgibt:

[v]^_bzgl.A * T^AnachB = [v]^bzgl.B
bzw.
f( [v]^_bzgl.A ) = [v]^bzgl.B

Für gibt T^AnachB es dabei folgende Formel:

T^AnachB = ( [a₁]^bzgl.B,...,[a_n]^bzgl.B )