Lernkarten

Florian Kaltseis
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Lernende 17 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 22.01.2014 / 24.03.2020
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Definition einer Determinante

  1. Die Determinante ist bilinear, d.h. in jeder Zeile (bzw. Spalte) linear.
  2. Determinanten sind alternierend, d.h. hat A zwei gleiche Spalten --> det(A)=0
  3. Die Determinante ist normiert, d.h. det(In)=1
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Eigenschaften der Determinante

  • Die 3 Eigenschaften der Definition
  • det(k * A) = kn * det(A)
  • Hat A eine Nullzeile oder -spalte --> det(A) = 0
  • Bei jeder Vertauschung von Zeilen (bzw. Spalten) ändert die Determinante ihr Vorzeichen. (wichtig für GAUSSsche Umformungen).
  • Wird k mal die j-te von A zur i-ten Zeile von B (mit i ungleich j) addiert, so bleibt die Determinante unverändert. (wichtig für GAUSSsche Umformungen).
  • Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist die Multiplikation der Diagonalelemente.
  • Bei Kastenform ist det(A) = det(A1) * det(A2)
  • det(A) = 0  <--> rang(A) < n
  • det(A * B) = det(A) * det(B)
  • det(A-1) = det(A)-1
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Definition Eigenwerte und Eigenvektoren

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siehe Abb

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Definition ähnliche Matrizen

Seien A und B quadratische Matrizen, so sind sie ähnlich zu einander wenn B = SAS-1 gilt.

 

Bem.: Stellt man einen Endomorphismus einmal zur Basis V1 und V2 dar und einmal zur Basis V1' und V2' dar, so sind die beiden darstellenden Matrizen zueinander ähnlich.

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Definition charakteristisches Polinom

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siehe Abb

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Definition Eigenraum

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siehe Abb

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Definition Hauptraum

HauLambda(A) = Ker( (A - Lambda*In)a )

Lambda = zugehöriger Eigenwert zum Hau(A)
a = algebraische Vielfachheit

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JORDANsche Normalform

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siehe Abb

Anzahl der Jordanblöcke = geometrische Vielfachheit

Länge des Jordankästchens = algebraische Vielfachheit des zugehörigen Lambdai