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lineare Algebra II

Universität Wien, SPL Mathematik, LV-Nr: 250030, LV-Titel: Lineare Algebra und Geometrie für LAK, LV-Leiterin: Schlosser, WS 13/14

Universität Wien, SPL Mathematik, LV-Nr: 250030, LV-Titel: Lineare Algebra und Geometrie für LAK, LV-Leiterin: Schlosser, WS 13/14

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Set of flashcards Details

Flashcards 38
Students 17
Language Deutsch
Category Maths
Level University
Created / Updated 22.01.2014 / 24.03.2020
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Definition einer Determinante

  1. Die Determinante ist bilinear, d.h. in jeder Zeile (bzw. Spalte) linear.
  2. Determinanten sind alternierend, d.h. hat A zwei gleiche Spalten --> det(A)=0
  3. Die Determinante ist normiert, d.h. det(In)=1

Eigenschaften der Determinante

  • Die 3 Eigenschaften der Definition
  • det(k * A) = kn * det(A)
  • Hat A eine Nullzeile oder -spalte --> det(A) = 0
  • Bei jeder Vertauschung von Zeilen (bzw. Spalten) ändert die Determinante ihr Vorzeichen. (wichtig für GAUSSsche Umformungen).
  • Wird k mal die j-te von A zur i-ten Zeile von B (mit i ungleich j) addiert, so bleibt die Determinante unverändert. (wichtig für GAUSSsche Umformungen).
  • Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist die Multiplikation der Diagonalelemente.
  • Bei Kastenform ist det(A) = det(A1) * det(A2)
  • det(A) = 0  <--> rang(A) < n
  • det(A * B) = det(A) * det(B)
  • det(A-1) = det(A)-1

Definition Eigenwerte und Eigenvektoren

siehe Abb

Definition ähnliche Matrizen

Seien A und B quadratische Matrizen, so sind sie ähnlich zu einander wenn B = SAS-1 gilt.

 

Bem.: Stellt man einen Endomorphismus einmal zur Basis V1 und V2 dar und einmal zur Basis V1' und V2' dar, so sind die beiden darstellenden Matrizen zueinander ähnlich.

Definition charakteristisches Polinom

siehe Abb

Definition Eigenraum

siehe Abb

Definition Hauptraum

HauLambda(A) = Ker( (A - Lambda*In)a )

Lambda = zugehöriger Eigenwert zum Hau(A)
a = algebraische Vielfachheit

JORDANsche Normalform

siehe Abb

Anzahl der Jordanblöcke = geometrische Vielfachheit

Länge des Jordankästchens = algebraische Vielfachheit des zugehörigen Lambdai