Konstruktion und Analyse ökonomischer Modelle

Als Güternachfrage- und Faktorangebotsfunktionen

Als Güterangebots- und Faktornachfragefunktionen

Das Identitätsverfahren und das Linearisierungsverfahren sind in gewisser Weise ähnlich, mit dem Unterschied, dass man im ersten Fall gleich mit der funktionalen Abhängigkeit x_i*(α) arbeitet, um daraus dx_i* / dα herzuleiten, während man im zweiten Fall die Verhältnisse zweier unabhängiger Variablen (x_i** - x_i*) / ( α** - α*) bestimmt, die beide die Gleichgewichtsbedingungen(x₁*, ...x_n*, α*) und (x₁**, .., x_n**, α**) charakterisieren.

• Ein Differential ist eine neue Funktion, die man der der oder den Ableitung(en) einer anderen funktion konstruiert.
• Das Differential einer Funktion ist die lineare Approximation der Änderung des Funktionswerts: df(x') ≈ f(x) - f'(x)

Bei einem Gleichgewichtskonzept geht man davon aus, dass es auch ungleichgewichtige Zustände geben kann. Die Bewegung von ungleichgewichtigen Zuständen zum Gleichgewicht (Ruhepunkt) muss durch einen dynamischen Veränderungsprozess modellierbar sein, um die Bewegung erklären zu können.

Ein Zustand, in dem sich ein System aus sich heraus nicht mehr ändert, sondern verharrt. Gleichgewicht heißt für das System, dass alle Zustandsvariablen unverändert bleiben.

Eine Variable, die zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Aspekt des Systems beschreibt.

Diejenigen Variablen, die im Modell erklärt werden sollen. Endogene Variable sind auch die Aktionsvariablen des Systems, d.h. mit endogenen Variablen kann das System auf exogene Einflüsse reagieren.

Modellparameter, Einflussgrößen, die von außen auf das System wirken. Exogene Variable verändern sich nicht durch endogene Impulse, sondern nur durch Impulse von außen. Störgrößen.

Der Funktionswert einer vorzeichenerhaltenden Funktion hat stets das gleiche Vorzeichen wie der Wert der unabhängigen Variablen dieser Funktion.
Formal:
v(x) > 0, wenn x > 0
v(x) = 0, wenn x = 0
v(x) < 0, wenn x < 0

Gleichgewichtsbedingungen beschreiben einen Zustand, den das System ohne Anstöße von außen nicht mehr verlässt.

Ein ökonomisches Modell ist ein Abbild der ökonomischen Wirklichkeit. Es reduziert diese, indem nur die als relevant engeschätzten Attribute übernommen werden. Das Modell soll die Analyse und Beschreibung ökonomischer Abläufe und Strukturen ermöglichen, z.B. eine komparativ-statische Analyse.
Zur Reduzierung der Wirklichkeit werden in jedem ökonomischen Modell zahlreiche Prämissen gesetzt:

• So bekommt jedes Modell eine oder mehrere endogene Variable, also Größen, deren Erklärung man zum Ziel des Modells erhoben hat. 

• Außerdem werden exogene Variable bestimmt, also Größen, die nicht im Modell erklärt werden und von denen man annimmt, dass ihr Zustand Kräften außerhalb des Modells unterliegt.

• Weiterhin werden Annahmen über den im Modell ablaufenden Prozess getroffen, die festlegen, welche Kräfte bewirken, dass der Wert einer endogenen Variablen zu- oder abnimmt.

• Zudem wird – wenn möglich – der Ruhepunkt des Prozesses angezeigt, also die Situation eines Systems, in der es sich aus den ihm innewohnenden Kräften nicht mehr ändert.

Das Gleichgewichtskonzept in Wachstumsmodellen ist der sog. Steady-State. Darunter versteht man einen Zustand, in dem sich zwar die absoluten Werte von Modellvariablen wie L, K, und Y weiterhin ändern, bestimmte Relationen zwischen diesen Variablen jedoch konstant bleiben.

Endogenisierung heisst also immer Angabe einer Gleichgewichtsbedingung für die fragliche Variable.

Eine Trajektorie (Pfad) ist eine Kurve in einem zweidimensionalen Koordinatensystem (Phasendiagramm, Phasenportrait, phase diagram, phase portrait), die die zeitliche Entwicklung der beiden Zustandsvariablen beschreiben, die auf den Achsen abgetragen sind.

Mathematisch ist eine Trajektorie die Menge aller x-y Kombinationen, die im Zeitablauf, ausgehend von einem Standpunkt (x₀, y₀) aus erreicht werden: x(t, x₀), y(t, y₀) für veränderliches t.

Im Rahmen ökonomischer Modelle bezeichnet man  Zustandsvariablen als diejenigen Grössen, deren Werte und Veränderungen durch das Modell erklärt werden. 

Endogene Variable

Funktionen, deren Funktionswert stets das gleiche Vorzeichen haben wie der Wert der unabhängigen Variable hat, werden als vorzeichenerhaltende Funktionen bezeichnet.

1. Identifikation der Grössen, zu deren Erklärung das Modell dienen soll. (Welche Faktoren bestimmen den Wert und die Veränderung von ...?) => Endogenen Variablen
2. Annahmen über die Struktur des Prozesses, der die endogenen Variablen steuert. (Veränderungen kommen nicht durch Anstösse von aussen, sondern aus dem System selber)
3. Ruhepunkt des dynamischen Systems als Gleichgewicht hervorzuheben und durch seine speziellen Eigenschaften näher zu beschreiben. (Gleichgewichtsbedingungen)

Werte exogen gegebener Variablen

Unter einer Variablen versteht man ein Platzhalterzeichen für ein Phänomen, welches mehrere Ausprägungen annahmen kann. Die jeweils konkrete Ausprägung bezeichnet man als Wert der Variable.

1. Zufallsvariablen
2. Endogene Variablen
3. Exogene Variablen

Grössen, deren Wert durch einen Zufallsprozess festgelegt wird. 

Durch eine Verteilungsfunktion

• Grössen, die von "aussen" in das Modell "eingefüttert" werden.
• Exogene Variablen zeichnen sich dadurch aus, dass sie zwar veränderbar sind, dass aber über Ursache, Richtung und Ausmass der Veränderung nicht durch das Modell erklärt werden können.

Es braucht n Gleichgewichtsbedingungen, um die Gleichgewichtswerte von n endogenen Grössen zu bestimmen.

Modellanalyse ist in ihrem Kern das Aufdecken nicht-offensichtlicher Konsequenzen des Zusammenwirkens mehrerer Kausalbeziehungen.

Eine Funktion ist eine Vorschrift f, durch die jedem Element die Menge D (sog. Definitionsbereich) genau ein Element aus einer Menge W (Wertebereichs) zugeordnet wird. In formaler Schreibweise: 

f: D -> W; x -> y = f(x) mit x ∊D ⋀ y ∊ W.

"->" : Wird zugeordnet

"⋀" : und zugleich

Funktionen drücken ökonomische Sachverhalte aus indem die Ausprägung der Ursachenvariablen x mittels der Gesetzmässigkeit f(x) die Ausprägung der Konsequenzenvariablen y festlegt.