Konstruktion und Analyse ökonomischer Modelle

Unter einer Variablen versteht man ein Platzhalterzeichen für ein Phänomen, welches mehrere Ausprägungen annahmen kann. Die jeweils konkrete Ausprägung bezeichnet man als Wert der Variable.

1. Zufallsvariablen
2. Endogene Variablen
3. Exogene Variablen

Grössen, deren Wert durch einen Zufallsprozess festgelegt wird. 

Durch eine Verteilungsfunktion

• Grössen, die von "aussen" in das Modell "eingefüttert" werden.
• Exogene Variablen zeichnen sich dadurch aus, dass sie zwar veränderbar sind, dass aber über Ursache, Richtung und Ausmass der Veränderung nicht durch das Modell erklärt werden können.

Es braucht n Gleichgewichtsbedingungen, um die Gleichgewichtswerte von n endogenen Grössen zu bestimmen.

Modellanalyse ist in ihrem Kern das Aufdecken nicht-offensichtlicher Konsequenzen des Zusammenwirkens mehrerer Kausalbeziehungen.

Eine Funktion ist eine Vorschrift f, durch die jedem Element die Menge D (sog. Definitionsbereich) genau ein Element aus einer Menge W (Wertebereichs) zugeordnet wird. In formaler Schreibweise: 

f: D -> W; x -> y = f(x) mit x ∊D ⋀ y ∊ W.

"->" : Wird zugeordnet

"⋀" : und zugleich

Funktionen drücken ökonomische Sachverhalte aus indem die Ausprägung der Ursachenvariablen x mittels der Gesetzmässigkeit f(x) die Ausprägung der Konsequenzenvariablen y festlegt.

Die Aussage ist zugleich richtig und falsch. Sie trifft insofern zu, dass eine Modellanalyse keine Erkenntnisse aus dem Nichts schaffen kann. Sie ist hingegen falsch, sofern sie darauf abzielt, die Ergebnisse von Analysen als trivial abzuqualifizieren. Vielmehr ist es das spezifische Zusammenwirken der verschiedenen getroffenen Annahmen im Rahmen des Modells, das die Ergebnisse hervorbringt. In diesem Sinne ist das Modell mehr als die Summe der getroffenen Annahmen.

• Verhaltensfunktionen
• Bewertungsfunktionen

Verhaltensfunktionen beschreiben das Verhalten eines Wirtschaftssubjekts oder einer Gruppe von Wirtschaftssubjekten im Format der Aussage "Wenn die für den betrachteten Akteur exogene Variable den Wert soundso aufweist, dann verhält sich der Akteur soundso." 

Die Ursachenvariable(en) sind demnach die vom Akteur als unbeeinflussbar wahrgenommenen Daten seines ökonomischen Umfeldes.

• Ad-hoc (Verhaltensfunktion wird als gegeben vorausgesetzt)
• Mikrofundierung (Verhaltensfunktion wird aus sog. First Principles hergeleitet)

• Nutzenkalkül
• Gewinnkalkül
• Soziale Wohlfahrtsfunktion
• Sonstige Optimierungskalküle

• Bewertungsfunktionen dienen dazu, die Bewertungen verschiedener Zustände durch die betrachteten Wirtschaftssubjekte abzubilden.
• Solche Funktionen müssen Aussagen darüber erlaubenm was ein betrachteter Akteur als besser und was als schlechter beurteilt als ein einen bestimmten Referenzzustand.

Bewertungsfunktionen gehen als Zielfunktion in Optimierungsprobleme ein.

Ein Optimierungsproblem ist die Suche nach einer unter den vorgefundenen und als unbeeinflussbar wahrgenommenen Umständen optimialen Verhaltensweise. Dadurch liefert die Lösung eines Optimierungsproblems eine (mikrofundierte) Verhaltensfunktion.

Bewertungsfunktionen gehen als Zielfunktionen in Optimierungsprobleme ein. Ein Optimierungsproblem ist die Suche nach einer unter den vorgefundenen und als unbeeinflussbar wahrgenommenen Umständen optimialen Verhaltensweise. Dadurch liefert die Lösung eines Optimierungsproblems eine (mikrofundierte) Verhaltensfunktion.

Untersuchung, die Antwort auf die Frage gibt, wie sich der Gleichgewichtswert der endogenen Variablen ändert, wenn der Wert eines Modellparameters (exogenen Variablen) zu- oder abnimmt.

• Beginn mit Gleichgewichtszustand
• Zustand wird durch Veränderung der exogenen Grösse gestört
• Störung löst einen Anpassungsprozess aus
• Dies führt zu neuen Gleichgewicht

Gleichgewicht => Störung => Anpassung => Gleichgewicht

Veränderung des Funktionswerts im Verhältnis zu einem geringstmöglichen (marginalen) Anstieg der unabhängigen Variablen.

• Mit der ersten Ableitung bestimmt man die Art des Zusammenhangs von abhängiger und unabhängiger Variablen (positiv oder negativ)
• Mit der zweiten Ableitung wird nicht die Richtung des Zusammenhangs, sondern seine Stärke genauer untersucht.

Bei der Darstellung einer Funktion als Kurve in einem Koordinatensystem  entscheidet man sich für einen speziellen Verlauf, Lage und andere Eigenschaften der Kurve. Die grafisch hergeleiteten Ergebnisse gelten dann genau für diesen Kurvenverlauf. Gerade bei sehr allgemeinen Funktionen könnten diese Eigenschaften auch durch einen ganz anderen Kurvenverlauf repräsentiert werden. Die Grafik kann somit leicht zu Fehlschlüssen führen.

• Die endogene Variable, um deren Reaktion es in der komparativen Statistik gerade geht.
• Die Funktionen, deren Zusammenspiel darüber entscheidet, ob ein Gleichgewicht vorliegt oder nicht (Funktionswerte)

Teilgebiet der Mathematik, das sich insbesondere mit den Eigenschaften und den Lösungen linearer Gleichungssysteme beschäftigt.

Die lineare Algebra arbeitet mit den Konzepten

• "Vektor" und
• "Matrix" sowie mit den
• sachgerechten Verknüpfungen von Vektoren und Matrizen.

• Hilfskurve, die eine der Gleichgewichtsbedingungen repräsentiert, indem sie den Gleichgewichtswert einer endogenen Grösse als Funktion der anderen endogenen Grösse angibt.
• Auf eine partiellen Gleichgewichtskurve liegen die Kombinationen der beiden endogenen Variablen, die die jeweils betrachteten Gleichgewichtsbedingungen erfüllen.

Stabilität erfordert, dass die Ableitung der Bewegungsgleichung nach der endogenen Variablen an der Stelle des Gleichgewichts negativ ist. z* ist stabil <=> ∂²z(t) / ∂t∂z(t) < 0

Eine Gleichung, die für alle Werte der in der Gleichung enthaltenen Grössen erfüllt ist.

Matrix der ersten partiellen Ableitung

Das Vorzeichen von det(J) ist gleich dem Vorzeichen von (-1)ⁿ

Da im Nenner aler Gleichgewichtswerte immer die Jacobi-Determinante mit dem Vorzeichen (-1)ⁿ steht, kann man sich bei der Bestimmung der Vorzeichen der Gleichgewichtswerte auf die Determinante det(J_i) beschränken.

Wenn es einen Punkt (z₀, α₀) gibt, sodass gilt:

g(z₀, α₀)=0 und zugleich ∂g(z₀, α₀) / ∂z ≠ 0,

dann existiert in der Nähe des Werts α₀ eine Funktion z*(α) mit den Eigenschaften

g(z*(α),α) = 0 und dz*(α) / dα ≣ -[∂g(z*, α) / ∂α] / [∂g(z*, α) / ∂z]

für alle α in der Nähe von α₀.

Theorem über implizite Funktionen (oder implizites Funktionen Theorem?)