Geometrische Formeln
Geometrie, Formeln und ihre Anwendungen. Umfang, Fläche, Volumen von geometrischen Gebilden. Markus Vogel, mavo
Geometrie, Formeln und ihre Anwendungen. Umfang, Fläche, Volumen von geometrischen Gebilden. Markus Vogel, mavo
Würfel:
Gegeben: Kantenlänge s
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {s^3}}\)
Volumen = Länge mal Breite mal Höhe.
Würfel:
Gegeben: Volumen V
Gesucht: Kantenlänge s
\(\LARGE \mathsf { {s} ={^3\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{red}V}}}\)
weil s · s · s = s3 = V
Quader:
Gegeben: Kantenlängen a, b, c
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {a\cdot b\cdot c}=abc}\)
Volumen = Länge mal Breite mal Höhe.
Quader:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{\color{blue}G}\cdot h}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe.
Zudem:
Volumen = Seitenfläche mal Länge = Frontfläche mal Breite
Senkrechtes Prisma:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{\color{blue}G}\cdot h}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe.
Zylinder:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{\color{blue}G}\cdot h}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe.
Zylinder:
Gegeben: Radius r und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = { r^2\! \! \! \cdot\! \pi\! \! \cdot \! \! h}=r^2\!\pi h}\)
Volumen = Grundfläche (=Kreisfläche) mal Höhe.
Pyramide:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{{\color{blue}G}\cdot h}\over3} = {{{\color{blue}G}\!\cdot \!h\! \!\cdot \! \!{1\over3}}}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe durch 3.
Kegel:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{{\color{blue}G}\cdot h}\over3} = {{{\color{blue}G}\!\cdot\! \!h\!\cdot \!\! {1\over3}}}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe durch 3.
Kegel:
Gegeben: Radius r und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{r^2 \!\pi \cdot h}\over3} = {{{r^2 \!\pi} h\!\cdot \!{1\over3}}}}\)
Volumen = Grundfläche (= Kreisfläche) mal Höhe durch 3.
Kugel:
Gegeben: Radius r
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{4r^3 \!\pi }\over3} = {{{4r^3 \!\pi} \!\cdot \!{1\over3}}}}\)
Was kugelt da an mir vorbei?
Vier Drittel Pi mal r hoch drei!
Kugel:
Gegeben: Radius r
Gesucht: Oberfläche O○
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O_\odot} = {{4r^2 \!\pi } \\{\color{blue}O_\odot} = {{(2r)^2 \!\pi }}}}\)
... und was sie auf dem Leibe hat,
ist vier mal Pi mal r Quadrat.
Kugel:
Gegeben: Durchmesser d
Gesucht: Oberfläche O
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O_\odot} = {{d^2 \!\pi }}}\)
Kegel:
Gegeben: Radius r und Kantenlänge s
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{{\color{blue}A_\circ} + Mantel }}\\{{\color{blue}O} = {{{r^2\pi} + {b\cdot s\over2 }}}}\\{{\color{blue}O} = {{{r^2\pi} + rs\pi=\pi r(r\!+\!s)}}}}\)
\(weil\!\!:\mathsf { b = 2r\pi}\)
Zylinder:
Gegeben: Radius r und Höhe h
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{2{\color{blue}G} + Mantel }}\\{{\color{blue}O} = {{{2r^2\pi} + u\cdot h }}}\\{{\color{blue}O} = {{{2r^2\pi} + 2r\pi h= 2r\pi(r\!+\!h)}}}}\)
\(weil\!\!:\mathsf { u = 2r\pi}\)
Pyramide:
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{{\color{blue}G} + Mantel }}}\)
Grundfläche + Mantelfläche
Mantel = Summe aller Dreiecksflächen
senkrechtes Prisma:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{2{\color{blue}G} + Mantel }}\\{{\color{blue}O} = {{{2{\color{blue}G}} + u\cdot h }}}}\)
\(\mathsf { u = Umfang\,\, der \,\, Grundfläche}\)
Quader:
Gegeben: Kantenlängen a, b, c
Gesucht: Oberfläche O
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O} = {{2ab\!+\!\!2ac\!\!+\!\!2bc}}}\\ \LARGE \mathsf {{\color{blue}O} = {{2\!\!\cdot\!\!(ab\!+\!ac\!+\!bc)}}}\)
Würfel:
Gegeben: Kantenlänge s
Gesucht:Oberfläche O
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O} = {6\cdot s^2 = 6s^2}}\)
Quader:
Gegeben: Kantenlängen a, b, c
Gesucht: Raumdiagonale k
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}k} = {{\sqrt{a^2\!+\!b^2\!+\!c^2}}}}\)
Quadrat:
Gegeben: Seitenlänge s
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 4\!\cdot \! s = 4s}\)
Rhombus oder Raute:
Gegeben: Seitenlänge s
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 4\!\cdot \!s = 4s}\)
Rechteck:
Gegeben: Seiten a und b
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 2a \!+\!2b \\ u = 2(a\!+\!b)}\)
Parallelogramm:
Gegeben: Seiten a und b
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 2a\! +\!2b \\u= 2(a\!+\!b)}\)
Dreieck:
Gegeben: Seiten a, b und c
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = a \!+\! b \!+\!c}\)
Gleichseitiges Dreieck:
Gegeben: Seite s
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 3\!\cdot \!s = 3s}\)
beliebiges n-Eck:
Gegeben: alle Seiten
Gesucht: Umfang u
\(\large \mathsf {u =\\ Summe \;aller\ Seiten}\)
Beispiel: u = a + b + c + d + e + f + g
Kreis:
Gegeben: Radius r
Gesucht: Umfang u○
\(\LARGE \mathsf {u_{\circ} = 2\!\cdot \! r \!\cdot \! \pi=2 r \pi}\)
Kreis:
Gegeben: Durchmesser d
Gesucht: Umfang u○
\(\LARGE \mathsf {u_{\circ} = d\!\!\cdot\!\!\pi = d\pi}\)
Wie ist die Zahl Pi definiert?
\(\LARGE \mathsf {{\color{green}\pi }= {Kreisumfang\over Kreisdurchmesser} }\)
\(\LARGE \mathsf {{{\color{green}\pi }}= {u_\circ \over d}}\)
π ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser:
Kreis:
Gegeben: Umfang u○
Gesucht: Radius r
\(\LARGE \mathsf {r = {u_\circ\over 2\pi} = {u_\circ\!\! : \!\!(2\pi) }}\)
Kreis:
Gegeben: Umfang u○
Gesucht: Durchmesser d
\(\LARGE \mathsf {d = {u_\circ\over \pi} = {u_\circ\!\! : \!\!\pi }}\)
Rechteck:
Gegeben: Umfang u und Seite b
Gesucht: Seite a
\(\LARGE \mathsf {a = u\!\!:\!\!2 -b\\a = (u\!\!-\!\!2b):2}\)
Quadrat:
Gegeben: Umfang u
Gesucht: Seite s
\(\LARGE \mathsf {s = u:4={u \over 4}}\)
Raute oder Rhombus:
Gegeben: Umfang u
Gesucht: Seite s
\(\LARGE \mathsf {s = u:4={u\over 4}}\)
Parallelogramm:
Gegeben: Umfang u und Seite a
Gesucht: Seite b
\(\LARGE \mathsf {b = u\!:\!2 -a \\b= (u\!\!-\!\!2a):2}\)
Quadrat:
Gegeben: Seite s
Gesucht: Fläche A□
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}{A_{\large\square}}} = s \cdot s = s\large^2}\)
Quadrat:
Gegeben: Fläche A□
Gesucht: Seite s
\(\LARGE \mathsf {s = \sqrt{\color{Blue}\!\!A_{\large\square}}}\)
weil: s · s = s2 = A□
Rechteck:
Gegeben: Seiten a und b
Gesucht: Fläche A
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A} = a \cdot b=ab}\)
Rechteck:
Gegeben: Fläche A und Seite b
Gesucht: Seite a
\(\LARGE \mathsf {a = {\color{Blue}A} : b = {{\color{Blue}A}\over b}}\)
-
- 1 / 68
-
Lernkarten
Quadrat:
Gegeben: Seitenlänge s
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 4\!\cdot \! s = 4s}\)
Rhombus oder Raute:
Gegeben: Seitenlänge s
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 4\!\cdot \!s = 4s}\)
Rechteck:
Gegeben: Seiten a und b
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 2a \!+\!2b \\ u = 2(a\!+\!b)}\)
Parallelogramm:
Gegeben: Seiten a und b
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 2a\! +\!2b \\u= 2(a\!+\!b)}\)
Dreieck:
Gegeben: Seiten a, b und c
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = a \!+\! b \!+\!c}\)
Gleichseitiges Dreieck:
Gegeben: Seite s
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 3\!\cdot \!s = 3s}\)
beliebiges n-Eck:
Gegeben: alle Seiten
Gesucht: Umfang u
\(\large \mathsf {u =\\ Summe \;aller\ Seiten}\)
Beispiel: u = a + b + c + d + e + f + g
Kreis:
Gegeben: Radius r
Gesucht: Umfang u○
\(\LARGE \mathsf {u_{\circ} = 2\!\cdot \! r \!\cdot \! \pi=2 r \pi}\)
Kreis:
Gegeben: Durchmesser d
Gesucht: Umfang u○
\(\LARGE \mathsf {u_{\circ} = d\!\!\cdot\!\!\pi = d\pi}\)
Wie ist die Zahl Pi definiert?
\(\LARGE \mathsf {{\color{green}\pi }= {Kreisumfang\over Kreisdurchmesser} }\)
\(\LARGE \mathsf {{{\color{green}\pi }}= {u_\circ \over d}}\)
π ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser:
Kreis:
Gegeben: Umfang u○
Gesucht: Radius r
\(\LARGE \mathsf {r = {u_\circ\over 2\pi} = {u_\circ\!\! : \!\!(2\pi) }}\)
Kreis:
Gegeben: Umfang u○
Gesucht: Durchmesser d
\(\LARGE \mathsf {d = {u_\circ\over \pi} = {u_\circ\!\! : \!\!\pi }}\)
Rechteck:
Gegeben: Umfang u und Seite b
Gesucht: Seite a
\(\LARGE \mathsf {a = u\!\!:\!\!2 -b\\a = (u\!\!-\!\!2b):2}\)
Quadrat:
Gegeben: Umfang u
Gesucht: Seite s
\(\LARGE \mathsf {s = u:4={u \over 4}}\)
Raute oder Rhombus:
Gegeben: Umfang u
Gesucht: Seite s
\(\LARGE \mathsf {s = u:4={u\over 4}}\)
Parallelogramm:
Gegeben: Umfang u und Seite a
Gesucht: Seite b
\(\LARGE \mathsf {b = u\!:\!2 -a \\b= (u\!\!-\!\!2a):2}\)
Quadrat:
Gegeben: Seite s
Gesucht: Fläche A□
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}{A_{\large\square}}} = s \cdot s = s\large^2}\)
Quadrat:
Gegeben: Fläche A□
Gesucht: Seite s
\(\LARGE \mathsf {s = \sqrt{\color{Blue}\!\!A_{\large\square}}}\)
weil: s · s = s2 = A□
Rechteck:
Gegeben: Seiten a und b
Gesucht: Fläche A
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A} = a \cdot b=ab}\)
Rechteck:
Gegeben: Fläche A und Seite b
Gesucht: Seite a
\(\LARGE \mathsf {a = {\color{Blue}A} : b = {{\color{Blue}A}\over b}}\)
Rechteck:
Gegeben: Fläche A und Seite a
Gesucht: Seite b
\(\LARGE \mathsf {b = {\color{Blue}A} : a = {{\color{Blue}A}\over a}}\)
Raute oder Rhombus:
Gegeben: Seitenlänge a und der Höhe ha
Gesucht: Fläche A
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A_\diamond }= a \cdot h_a}\)
Raute oder Rhombus:
Gegeben: Diagonalen e und f
Gesucht: Fläche A
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A_\diamond} = {e \cdot f\over2}}\)
Quadrat:
Gegeben: Diagonae d
Gesucht: Fläche A□
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A_{\large\square}} = {d \cdot d\over2}= {d^2\over2}}\)
Raute oder Rhombus:
Gegeben: Fläche A◊ und Diagonale f
Gesucht: Diagonale e
\(\LARGE \mathsf {e = {2\color{Blue}A_\diamond} : f = {2{\color{Blue}A_\diamond}\over f}}\)
Raute oder Rhombus:
Gegeben: Fläche A◊ und Höhe ha
Gesucht: Seite a
\(\LARGE \mathsf {a = {\color{Blue}A_\diamond} : h_a = {{\color{Blue}A_\diamond}\over h_a}}\)
Rechteck:
Gegeben: Seiten a und b
Gesucht: Diagonale e
\(\LARGE \mathsf {e = \sqrt {a^2 + b^2}}\)
Parallelogramm:
Gegeben: a und ha oder b und hb
Gesucht: Fläche A
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A} = a\! \!\cdot\!\! h_a = b\!\! \cdot\!\! h_b}\)
Parallelogramm:
Gegeben: Fläche A und Höhen ha und hb
Gesucht: Seite a
\(\LARGE \mathsf {a = {\color{Blue}A} : h_a = {{\color{Blue}A}\over h_a}}\)
Parallelogramm:
Gegeben: Seite a und Höhen ha und hb
Gesucht: Seite b
\(\LARGE \mathsf {b = {\color{Blue}A} : h_b = {a\cdot h_a\over h_b}}\)
Parallelogramm:
Gegeben: Fläche A und Höhen ha und hb
Gesucht: Seite b
\(\LARGE \mathsf {b = {\color{Blue}A} : h_b = {{\color{Blue}A}\over h_b}}\)
Parallelogramm:
Gegeben: Seite b und Höhen ha und hb
Gesucht: Seite a
\(\LARGE \mathsf {a = {\color{Blue}A} : h_a = {b\cdot h_b\over h_a}}\)
Kreissektor:
Gegeben: Radius r und Zentriwinkel α
Gesucht: Bogenlänge b
\(\LARGE \mathsf {b = {\alpha \over 360°}\cdot u \\b= {\alpha \over 360°}\!\!\!\cdot \!\!\!2r\pi={\alpha \cdot r\cdot\pi\over 180°}}\)
Der Bogen b verhält sich zum Umfang wie α zu 360°.
Parallelogramm:
Gegeben: Seiten a, b und Höhe hb
Gesucht: Höhe ha
\(\LARGE \mathsf {h_a = {\color{Blue}A} : a = {b\cdot h_b\over a}}\)
Parallelogramm:
Gegeben: Seiten a, b und Höhe ha
Gesucht: Höhe hb
\(\LARGE \mathsf {h_b = {\color{Blue}A} : b = {a\cdot h_a\over b}}\)
Drachenviereck:
Gegeben: Diagonalen e und f
Gesucht: Fläche A
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A} = {e \cdot f\over2}}\)
wie Raute oder Rhombus!
Drachenviereck:
Gegeben: Fläche A und Diagonale f
Gesucht: Diagonale e
\(\LARGE \mathsf {e = {2\color{Blue}A} : f = {2{\color{Blue}A}\over f}}\)
Drachenviereck:
Gegeben: Fläche A und Diagonale e
Gesucht: Diagonale f
\(\LARGE \mathsf {f = {2\color{Blue}A} : e = {2{\color{Blue}A}\over e}}\)
Dreieck:
Gegeben: Seiten a, b und c; Höhen ha, hb und hc
Gesucht: Fläche A
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A_\vartriangle} = {a \cdot h_a\over2}= \\= {b \cdot h_b\over2} = {c \cdot h_c\over2}}\)
Dreieck:
Gegeben: Fläche A und Seite a
Gesucht: Höhe ha
\(\LARGE \mathsf {h_a = {2\color{Blue}A_\vartriangle } : a = {2{\color{Blue}A_\vartriangle}\over a}}\)
