Geometrie Basics
bla
bla
Geometrie treiben heißt
„die Erde ausmessen“.
Geometrie und die Erschließung der Welt
•(Bewusstes) Wahrnehmen der Umwelt
•Geometrie trägt dazu bei, die Welt um uns mit mathematischen Begriffen zu ordnen und zu interpretieren. Indem wir die Umwelt bewusst so wahrnehmen und Phänomene interpretieren, erfahren wir etwas (mehr) über die uns umgebende Welt, wir lernen unsere Umwelt mit anderen Augen zu sehen. Zwischen Umwelt und Mathematik (bzw. Geometrie) bildet sich dabei eine Wechselbeziehung aus.
Geometrie heute
•Geometrie ist ein sicher begründetes Teilgebiet der Mathematik.
•
•Beispiele:
•Erfassen unserer Umwelt
•Veranschaulichen anderer Teilgebiete der Mathematik.
Geometrie in der Schule
•Leitidee Raum und Form:
•
•Primarstufe:
•Das Inhaltsfeld beinhaltet die Orientierung im Raum und die Entwicklung der Raumvorstellung, das Erkennen, Benennen und Darstellen von geometrischen Figuren, Abbildungen und Körpern sowie das Vergleichen und Messen von Flächen und Rauminhalten.
Raum und Form - Primarstufe
•Durch die handelnde Auseinandersetzung (Sortieren, Messen, Herstellen, Untersuchen) mit ebenen Figuren und Körpern sowie deren Modellen wächst die Fähigkeit, diese selbst und deren geometrische Eigenschaften sowie einfache Abbildungen (auch Achsensymmetrie, symmetrische Muster) auch in der Umwelt zu erkennen und zu benennen. Durch Zeichnen mit Hilfsmitteln und das Freihandzeichnen lassen sich geometrische Figuren und Abbildungen darstellen.
Das Erkennen, Beschreiben und Nutzen räumlicher Beziehungen (Pläne, Wege, Anordnungen, Ansichten), die Entwicklung räumlichen Vorstellungsvermögens und das In-Beziehung-Setzen zwei- und dreidimensionaler Darstellungen unterstützen die Orientierung im Raum. Durch Zerlegen und Auslegen mit Einheitsflächen werden Umfang und Flächeninhalte ebener Figuren vergleich- und messbar. Mit Einheitswürfeln lassen sich Rauminhalte bestimmen und vergleichen
Geometrie als Lehre vom Raum
•der für die Schule wichtigste Aspekt
•Gewinnen von Erfahrungen in dem uns umgebenden Raum
•gedankliche Erfassung geometrischer Figuren und Körper und ihrer Beziehungen zur Umwelt.
•Gewinnung von Einsicht in die Eigenschaften geometrischer Gebilde durch logische Folgerungen, die sich jedoch stark auf die Anschauung stützen können.
•Die gedankliche Erfassung anschaulicher Gebilde erfordert die Schaffung von Begriffen, zwischen denen Beziehungen herzustellen sind.
Geometrie als Vorrat von Handlungen
•hängt eng mit der Geometrie als Lehre vom Raum zusammen
•Nutzung verschiedener Darstellungsformen in Anlehnung an die Darstellungsebenen nach BRUNER bei der Aneignung von geometrischen Kenntnissen.
•vor allem didaktische Bedeutung.
•Seine Unterrichtsziele liegen vor allem im Bereich des Konstruktiven, wobei weniger die theoretischen Zielsetzungen des Konstruierens im Vordergrund stehen als Anwendungen praxisbezogener Verfahren (vgl. SCHWARTZE, Bd. 2, S. 30).
Geometrie als Übungsfeld zum Problemlösen
•Dieser Aspekt hat vorwiegend didaktische Bedeutung.
•Unter ihm wird keine Systematik im Aufbau des Geometrieunterrichts angestrebt, sondern eine Erziehung zur Problemlösefähigkeit.
Geometrie in der Grundschule
•Inhalte:
•Lagebeziehungen
•Eigenschaften von Gegenständen
•Geometrische Figuren und Körper
•Muster, Ornamente, Symmetrien
•Größe und Umfang von Figuren
•Umgang mit Zeichengeräten
Themen
Grundbegriffe der Geometrie der Ebene
Ausgewählte Probleme zu Vielecken
Symmetrie
Geometrische Körper
Berechnungen an ebenen Figuren und Körpern
Grundbegriffe der Geometrie der Ebene
•Punkt – Gerade – Halbgerade – Strecke
•
•Lagebeziehungen: Parallelität und die Orthogonalität
•Winkel
Punkt und Gerade
•Der Punkt ist Grundbegriff.
•Geraden werden als Punktmengen aufgefasst:
•Durch zwei verschiedenartige Punkte A, B einer Ebene geht genau eine Gerade, die Verbindungsgerade AB.
•Es gilt: A Î AB und B Î AB.
•Eine Gerade ist echte Teilmenge der Ebene e in der sie liegt: g Ì e.
Lagebeziehungen
•Statt der mengentheoretischen Sprechweise „ist Element von“ und „ist Teilmenge von“ spricht man in der Geometrie meist von Lagebeziehungen und benutzt die anschaulicheren Begriffe „liegt in“ bzw. „liegt auf“.
•Beispiele:
•Punkte und Geraden liegen in der Ebene,
•ein Punkt liegt auf einer Geraden,
•eine Gerade geht durch einen Punkt.
Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden
•Zwei Geraden (einer Ebene) können sich schneiden oder nicht.
•
•Wenn zwei Geraden sich schneiden, dann haben sie genau einen gemeinsamen Punkt.
•Haben zwei Geraden mehr als einen gemeinsamen Punkt, so sind sie identisch.
Parallelität
•Definition 1:
•Eine Gerade g ist parallel zu einer Geraden h, in Zeichen g || h, genau dann, wenn
•(1) g und h zusammenfallen (identisch sind),
•(2) g und h in ein und derselben Ebene liegen und keinen gemeinsamen Punkt haben.
Orthogonalität
•Definition 2:
•Es seien g und h zwei verschiedene Geraden einer Ebene e, h’ sei das Bild von h bei der Spiegelung an g.
•g ist senkrecht zu h, in Zeichen g ^ h, genau dann, wenn bei der Spiegelung an g das Bild h’ mit h zusammenfällt.
Lagebeziehungen in der Grundschule
•Hessischer Rahmenplan 1995, S. 165:
•Im 3./4. Schuljahr lernen sie die Lagebeziehungen „parallel“, „lotrecht“, „waagerecht“, „senkrecht zu...“ kennen und verwenden.
Gerade - Halbgerade (Strahl)- Strecke
bild
Winkel
•Ein Winkel kann durch die beiden Halbgeraden beschrieben werden, die ihn begrenzen.
•Dabei soll die Punktmenge, die bei Drehen der einen Halbgeraden auf die andere um deren gemeinsamen Anfangspunkt überstrichen wird, als Winkel bezeichnet werden.
•
•Um Eindeutigkeit hinsichtlich der Drehrichtung zu erzielen, wird der Gegenuhrzeigersinn als Richtungssinn festgelegt.
Winkel
•Die beiden Halbgeraden AB und AC heißen Schenkel des Winkels, deren gemeinsamer Anfangspunkt A heißt Scheitel des Winkels.
•Ein Winkel kann auch durch drei Punkte angegeben werden:
•Anstatt w(AB, AC) schreibt man kürzer w(BAC).
Vierecke
•Ein Viereck wird durch einen geschlossenen Streckenzug aus vier Strecken gebildet, in dem sich die einzelnen Strecken nicht überschneiden und benachbarte Strecken nicht auf derselben Geraden liegen.
•Unter einem Viereck wird dabei die Punktmenge verstanden, die aus dem Inneren und dem Rand des Streckenzuges besteht.
•Die Strecken des Streckenzugs werden als Seiten des Vierecks bezeichnet.
Konvexe und konkave Vierecke
•Konvexe Vierecke haben nur Innenwinkel, die kleiner als 180° sind.
•Konkave Vierecke haben einen Innenwinkel, der größer als 180° ist.
Spezielle konvexe Vierecke
•Quadrat
•Rechteck
•Parallelogramm
•Raute (Rhombus)
•Drache (Drachenviereck)
•Trapez.
•Leitidee Raum und Form:
•einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen
•Eigenschaften der Achsensymmetrie erkennen, beschreiben und nutzen,
•symmetrische Muster fortsetzen und selbst entwickeln.
•Leitidee Muster und Strukturen
•Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen
•Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen
Mustern (z.B. in Zahlenfolgen oder strukturierten Aufgabenfolgen) erkennen, beschreiben und fortsetzen,
arithmetische und geometrische Muster selbst entwickeln, systematisch verändern und beschreiben.
Zum Begriff der Symmetrie und seiner Bedeutung für die Klassen 1 bis 6
•Umgang mit achsensymmetrischen Figuren ist wichtiger inhaltlicher Bereich des Geometrieunterrichts in der Grundschule
•In Schulbüchern ab Klasse 1 entsprechende Aktivitäten zu symmetrischen Figuren wie Klecksen, Falten, Schneiden, Spiegeln usw.
•
•In den Klassen 5 und 6 Erweiterung auf Translations- und Drehsymmetrie
Typen symmetrischer Figuren
•Wir unterscheiden zwischen
•
•Drehsymmetrie (Drehungen)
•(Spezialfall Punktsymmetrie als Drehung um 180°)
•
•Spiegelsymmetrie (Spiegelungen)
•
•Translationssymmetrie (Translationen).
KMK-Bildungsstandards Grundschule
•Leitidee Raum Form
Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen
•Körper und ebene Figuren nach Eigenschaften sortieren und Fachbegriffe zuordnen,
•Körper und ebene Figuren in der Umwelt wieder erkennen,
•Modelle von Körpern und ebenen Figuren herstellen und untersuchen (Bauen, Legen, Zerlegen, Zusammenfügen, Ausschneiden, Falten...),
•Zeichnungen mit Hilfsmitteln sowie Freihandzeichnungen anfertigen
Beispiele für geometrische KörperLambacher/Schweizer5, S. 180
b
PLATONischeKörper
l
Flächeninhalts- und Umfangsberechnungen an ebenen Figuren
•Flächeninhalt von
•
•Parallelogramm
•
•Trapez
•
•Dreieck
•
•Drachenviereck
•
•Reguläres Sechseck?
Flächeninhalte
•Die Flächenformel eines Parallelogramms kann aus der Flächenformel des Rechtecks abgeleitet werden.
•Es gilt:
•A = g · h
•Der Umfang eines Parallelogramms ergibt sich als Summe der Längen der Seiten:
U = 2 · (a + b)
•Der Flächeninhalt dieses Parallelogramms lässt sich mit Hilfe der Stücke am Trapez wie folgt berechnen:
•Ap = (a + c) × h
•Der Umfang ergibt als Summe der Längen der Seiten:
U = a + b + c + d
•Der Umfang ergibt als Summe der Längen der Seiten:
•
•U = a + b + c
•Die Flächenformel des Dreiecks lässt sich durch „Verdoppeln“ in ein Parallelogramm herleiten:
A= gxh/2
•Umfang eines Vierecks:
•U = a + b + c + d
-
- 1 / 32
-
Cartes-fiches
Geometrie treiben heißt
„die Erde ausmessen“.
Geometrie und die Erschließung der Welt
•(Bewusstes) Wahrnehmen der Umwelt
•Geometrie trägt dazu bei, die Welt um uns mit mathematischen Begriffen zu ordnen und zu interpretieren. Indem wir die Umwelt bewusst so wahrnehmen und Phänomene interpretieren, erfahren wir etwas (mehr) über die uns umgebende Welt, wir lernen unsere Umwelt mit anderen Augen zu sehen. Zwischen Umwelt und Mathematik (bzw. Geometrie) bildet sich dabei eine Wechselbeziehung aus.
Geometrie heute
•Geometrie ist ein sicher begründetes Teilgebiet der Mathematik.
•
•Beispiele:
•Erfassen unserer Umwelt
•Veranschaulichen anderer Teilgebiete der Mathematik.
Geometrie in der Schule
•Leitidee Raum und Form:
•
•Primarstufe:
•Das Inhaltsfeld beinhaltet die Orientierung im Raum und die Entwicklung der Raumvorstellung, das Erkennen, Benennen und Darstellen von geometrischen Figuren, Abbildungen und Körpern sowie das Vergleichen und Messen von Flächen und Rauminhalten.
Raum und Form - Primarstufe
•Durch die handelnde Auseinandersetzung (Sortieren, Messen, Herstellen, Untersuchen) mit ebenen Figuren und Körpern sowie deren Modellen wächst die Fähigkeit, diese selbst und deren geometrische Eigenschaften sowie einfache Abbildungen (auch Achsensymmetrie, symmetrische Muster) auch in der Umwelt zu erkennen und zu benennen. Durch Zeichnen mit Hilfsmitteln und das Freihandzeichnen lassen sich geometrische Figuren und Abbildungen darstellen.
Das Erkennen, Beschreiben und Nutzen räumlicher Beziehungen (Pläne, Wege, Anordnungen, Ansichten), die Entwicklung räumlichen Vorstellungsvermögens und das In-Beziehung-Setzen zwei- und dreidimensionaler Darstellungen unterstützen die Orientierung im Raum. Durch Zerlegen und Auslegen mit Einheitsflächen werden Umfang und Flächeninhalte ebener Figuren vergleich- und messbar. Mit Einheitswürfeln lassen sich Rauminhalte bestimmen und vergleichen
Geometrie als Lehre vom Raum
•der für die Schule wichtigste Aspekt
•Gewinnen von Erfahrungen in dem uns umgebenden Raum
•gedankliche Erfassung geometrischer Figuren und Körper und ihrer Beziehungen zur Umwelt.
•Gewinnung von Einsicht in die Eigenschaften geometrischer Gebilde durch logische Folgerungen, die sich jedoch stark auf die Anschauung stützen können.
•Die gedankliche Erfassung anschaulicher Gebilde erfordert die Schaffung von Begriffen, zwischen denen Beziehungen herzustellen sind.
Geometrie als Vorrat von Handlungen
•hängt eng mit der Geometrie als Lehre vom Raum zusammen
•Nutzung verschiedener Darstellungsformen in Anlehnung an die Darstellungsebenen nach BRUNER bei der Aneignung von geometrischen Kenntnissen.
•vor allem didaktische Bedeutung.
•Seine Unterrichtsziele liegen vor allem im Bereich des Konstruktiven, wobei weniger die theoretischen Zielsetzungen des Konstruierens im Vordergrund stehen als Anwendungen praxisbezogener Verfahren (vgl. SCHWARTZE, Bd. 2, S. 30).
Geometrie als Übungsfeld zum Problemlösen
•Dieser Aspekt hat vorwiegend didaktische Bedeutung.
•Unter ihm wird keine Systematik im Aufbau des Geometrieunterrichts angestrebt, sondern eine Erziehung zur Problemlösefähigkeit.
Geometrie in der Grundschule
•Inhalte:
•Lagebeziehungen
•Eigenschaften von Gegenständen
•Geometrische Figuren und Körper
•Muster, Ornamente, Symmetrien
•Größe und Umfang von Figuren
•Umgang mit Zeichengeräten
Themen
Grundbegriffe der Geometrie der Ebene
Ausgewählte Probleme zu Vielecken
Symmetrie
Geometrische Körper
Berechnungen an ebenen Figuren und Körpern
Grundbegriffe der Geometrie der Ebene
•Punkt – Gerade – Halbgerade – Strecke
•
•Lagebeziehungen: Parallelität und die Orthogonalität
•Winkel
Punkt und Gerade
•Der Punkt ist Grundbegriff.
•Geraden werden als Punktmengen aufgefasst:
•Durch zwei verschiedenartige Punkte A, B einer Ebene geht genau eine Gerade, die Verbindungsgerade AB.
•Es gilt: A Î AB und B Î AB.
•Eine Gerade ist echte Teilmenge der Ebene e in der sie liegt: g Ì e.
Lagebeziehungen
•Statt der mengentheoretischen Sprechweise „ist Element von“ und „ist Teilmenge von“ spricht man in der Geometrie meist von Lagebeziehungen und benutzt die anschaulicheren Begriffe „liegt in“ bzw. „liegt auf“.
•Beispiele:
•Punkte und Geraden liegen in der Ebene,
•ein Punkt liegt auf einer Geraden,
•eine Gerade geht durch einen Punkt.
Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden
•Zwei Geraden (einer Ebene) können sich schneiden oder nicht.
•
•Wenn zwei Geraden sich schneiden, dann haben sie genau einen gemeinsamen Punkt.
•Haben zwei Geraden mehr als einen gemeinsamen Punkt, so sind sie identisch.
Parallelität
•Definition 1:
•Eine Gerade g ist parallel zu einer Geraden h, in Zeichen g || h, genau dann, wenn
•(1) g und h zusammenfallen (identisch sind),
•(2) g und h in ein und derselben Ebene liegen und keinen gemeinsamen Punkt haben.
Orthogonalität
•Definition 2:
•Es seien g und h zwei verschiedene Geraden einer Ebene e, h’ sei das Bild von h bei der Spiegelung an g.
•g ist senkrecht zu h, in Zeichen g ^ h, genau dann, wenn bei der Spiegelung an g das Bild h’ mit h zusammenfällt.
Lagebeziehungen in der Grundschule
•Hessischer Rahmenplan 1995, S. 165:
•Im 3./4. Schuljahr lernen sie die Lagebeziehungen „parallel“, „lotrecht“, „waagerecht“, „senkrecht zu...“ kennen und verwenden.
Gerade - Halbgerade (Strahl)- Strecke
bild
Winkel
•Ein Winkel kann durch die beiden Halbgeraden beschrieben werden, die ihn begrenzen.
•Dabei soll die Punktmenge, die bei Drehen der einen Halbgeraden auf die andere um deren gemeinsamen Anfangspunkt überstrichen wird, als Winkel bezeichnet werden.
•
•Um Eindeutigkeit hinsichtlich der Drehrichtung zu erzielen, wird der Gegenuhrzeigersinn als Richtungssinn festgelegt.
Winkel
•Die beiden Halbgeraden AB und AC heißen Schenkel des Winkels, deren gemeinsamer Anfangspunkt A heißt Scheitel des Winkels.
•Ein Winkel kann auch durch drei Punkte angegeben werden:
•Anstatt w(AB, AC) schreibt man kürzer w(BAC).
Vierecke
•Ein Viereck wird durch einen geschlossenen Streckenzug aus vier Strecken gebildet, in dem sich die einzelnen Strecken nicht überschneiden und benachbarte Strecken nicht auf derselben Geraden liegen.
•Unter einem Viereck wird dabei die Punktmenge verstanden, die aus dem Inneren und dem Rand des Streckenzuges besteht.
•Die Strecken des Streckenzugs werden als Seiten des Vierecks bezeichnet.
Konvexe und konkave Vierecke
•Konvexe Vierecke haben nur Innenwinkel, die kleiner als 180° sind.
•Konkave Vierecke haben einen Innenwinkel, der größer als 180° ist.
Spezielle konvexe Vierecke
•Quadrat
•Rechteck
•Parallelogramm
•Raute (Rhombus)
•Drache (Drachenviereck)
•Trapez.
•Leitidee Raum und Form:
•einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen
•Eigenschaften der Achsensymmetrie erkennen, beschreiben und nutzen,
•symmetrische Muster fortsetzen und selbst entwickeln.
•Leitidee Muster und Strukturen
•Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen
•Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen
Mustern (z.B. in Zahlenfolgen oder strukturierten Aufgabenfolgen) erkennen, beschreiben und fortsetzen,
arithmetische und geometrische Muster selbst entwickeln, systematisch verändern und beschreiben.
Zum Begriff der Symmetrie und seiner Bedeutung für die Klassen 1 bis 6
•Umgang mit achsensymmetrischen Figuren ist wichtiger inhaltlicher Bereich des Geometrieunterrichts in der Grundschule
•In Schulbüchern ab Klasse 1 entsprechende Aktivitäten zu symmetrischen Figuren wie Klecksen, Falten, Schneiden, Spiegeln usw.
•
•In den Klassen 5 und 6 Erweiterung auf Translations- und Drehsymmetrie
Typen symmetrischer Figuren
•Wir unterscheiden zwischen
•
•Drehsymmetrie (Drehungen)
•(Spezialfall Punktsymmetrie als Drehung um 180°)
•
•Spiegelsymmetrie (Spiegelungen)
•
•Translationssymmetrie (Translationen).
KMK-Bildungsstandards Grundschule
•Leitidee Raum Form
Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen
•Körper und ebene Figuren nach Eigenschaften sortieren und Fachbegriffe zuordnen,
•Körper und ebene Figuren in der Umwelt wieder erkennen,
•Modelle von Körpern und ebenen Figuren herstellen und untersuchen (Bauen, Legen, Zerlegen, Zusammenfügen, Ausschneiden, Falten...),
•Zeichnungen mit Hilfsmitteln sowie Freihandzeichnungen anfertigen
Beispiele für geometrische KörperLambacher/Schweizer5, S. 180
b
PLATONischeKörper
l
Flächeninhalts- und Umfangsberechnungen an ebenen Figuren
•Flächeninhalt von
•
•Parallelogramm
•
•Trapez
•
•Dreieck
•
•Drachenviereck
•
•Reguläres Sechseck?
Flächeninhalte
•Die Flächenformel eines Parallelogramms kann aus der Flächenformel des Rechtecks abgeleitet werden.
•Es gilt:
•A = g · h
•Der Umfang eines Parallelogramms ergibt sich als Summe der Längen der Seiten:
U = 2 · (a + b)
•Der Flächeninhalt dieses Parallelogramms lässt sich mit Hilfe der Stücke am Trapez wie folgt berechnen:
•Ap = (a + c) × h
•Der Umfang ergibt als Summe der Längen der Seiten:
U = a + b + c + d
•Der Umfang ergibt als Summe der Längen der Seiten:
•
•U = a + b + c
•Die Flächenformel des Dreiecks lässt sich durch „Verdoppeln“ in ein Parallelogramm herleiten:
A= gxh/2
•Umfang eines Vierecks:
•U = a + b + c + d
