Festigkeitslehre

\(J_t={4*{A_{m}}^2 \over \oint{ds \over t(s)}} \ ... \ Trägheitsmoment\)

\(A_m \ ... \ Von \ der \ Querschnittsmittellinie \ umschlossene \ Fläche \ in \ [mm²]\)

\(t(s) \ ... \ Wanddicke\)

\(\frac {d\vartheta }{dx}={\frac {\oint {\tau (s)\;ds}}{2\;G\;A_{m}}} \ ... \ 2. \ Bredtsche \ Formel\) 

\(\tau(s)={T \over t(s)} \ ... \ Schubspannung\)

\(A_{m}\;=\;{\frac {1}{2}}\oint {p(s)\;ds} \ ... \ Von \ der \ Querschnittsmittellinie \ umschlossene \ Fläche \ in \ [mm²]\)

\(\vartheta \ ... \ Verdrillung \ (Verwindung)\) 

\(G \ ... \ Schubmodul\)

\(Knotenregel \ ... \ T_A=T_B+T_C\)

\(T ...Schubfluss\)

\(Verdrillung \ des \ Objektes \ (Geometrie) \ ... \ {\nu_{ges}}'={\nu_A}'+{\nu_B}'\)

\(\nu \ ... \ Verdrehwinkel\)

\(Momentenverteilung \ ... \ M_{t,ges}=M_{tA}+M_{tB}\)

\(M_t \ ... \ Torsionsmoment \ (Bestimmung \ über \ Bredtsche \ Formeln)\)

\(G*J_t*\nu'=M_t\)         

mit \(J_t={4*{A_{min}}^2 \over \oint {ds \over t}}\) und  \(M_t=2*A_{min}*T\)

\(G*{4*{A_{min}}^2 \over \oint {ds \over t}}*\nu'=2∗A_{min}∗T\) -->  \(2*G*\nu'={1 \over A_{min}}\oint {T(s)*ds \over t(s)}\)

 \( {\displaystyle \sigma _{B}(z)={M_{y} \over I_{y}}\cdot z\ } \ ... \ Biegespannung\)

\(M_y \ ... \ Moment \\ J_y \ ... \ Trägheitsmoment \\ z \ ... \ Abstand\)

Am Außen- und am Innenrand gilt mit \({\displaystyle z=z_{R}} \)

\( \sigma _{B}(z_{R})=\pm {M_{y} \over I_{y}}z_{R}=\pm {M_{y} \over W_{y}} \)

\(W_y \ ... \ Widerstandsmoment\)

\(\tau_T={M_T \over W_T} \ ... \ Torsion\)

\(M_T \ ... \ Torsionsmoment\)

\(W_T \ ... \ Widerstandsmoment\)

\(\nu={M_T \over G*J_T} \ ... \ Verdrillungswinkel\)

\(M_T \ ... \ Torsionsmoment\)

\(G \ ... \ Schubmodul\)

\(J_T \ ... \ Torsionsträgheitsmoment\)

\(J_T={1 \over 3} \sum l_i {k_i}^3 \ ... \ Trägheitsmoment \)

\(W_T={1 \over 3} \sum l_i {k_i}^2 \ ... \ Widerstandsmoment\)

\(k_i \ ... \ Dicke\)

\(l_i \ ... \ Länge\)

Hauptspannungszustand:

\(\sigma_V=\sqrt{{1\over 2}[ (\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_1-\sigma_3)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2]} \leq \sigma_{zul}\)

Allgemeiner Spannungszustand

\(\sigma_V=\sqrt{{1\over 2}[ (\sigma_x-\sigma_y)^2+(\sigma_x-\sigma_z)^2+(\sigma_y-\sigma_z)^2+3 {\tau_{xy}}^2+3 {\tau_{xz}}^2 +3 {\tau_{yz}}^2 ]} \leq \sigma_{zul}\)

Ebener Spannungszustand

\(\sigma _{V}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}-\sigma _{x}\sigma _{y}+3\tau _{xy}^{2}}}\)

Spannungszustand für Träger

\(\sigma_V=\sqrt{{1\over 2}[ \sigma_b^2+3 {\tau_t}^2]} \leq \sigma_{zul} \)

\(\sigma \ ...\ Spannung\)

\(\tau \ ... \ Torsion\)

Vergleichsspannung

\(\sigma_V=2*\tau_{max}\)

\(\sigma_{max}-\sigma_{min} \le \sigma_{zul}\)

\(\sigma_V=|\sigma_1-\sigma_3|\)

Ebener Spannungszustand

\(\sigma _{V}={\sqrt {{(\sigma _x-\sigma _y)}^{2}+4{\tau _{xy}}^{2}}}\)

für Träger

\(\sigma_V=\sqrt{{\sigma_b}^2+4{\tau_t}^2}\)

\(\lambda_0=\pi*\sqrt{E \over \sigma_p} \ ... \ Grenzschlankheitsgrad\)

\(E \ .. \ E-Modul \ des \ Werkstoffes\)

\(\sigma_P \ ... \ Proportionalitätsgrenze \ der \ Spannung\)

\(\lambda={l_K \over \sqrt {J_{min} \over A}} \ ... \ Schlankheitsgrad\)

\(l_K \ ... \ Knicklänge \)

\(J_{min} \ ... \ minimales \ Trägheitsmoment \)

\(A \ ... \ Fläche\)

\(\sigma _{\rm {t}}={\frac {p\cdot d_{m}}{2\cdot s}} \ ... \ Tangential-Spannung \ in \ der \ Wand\)

\(\sigma _{\rm {a}}={\frac {p\cdot d_{m}}{4\cdot s}} \ ... \ axiale \ Spannung \ (Längsrichtung) \ in \ der \ Wand\)

\(p \ ... \ Innendruck\)

\(d_m={(D+d) \over 2} \ ... \ Mitteldurchmesser\)

\(s \ ... \ Wanddicke\)

\(Behälterinnenseite \ ... \ \sigma_r=-p \\ Behälteraußenseite \ ... \ \sigma_r=0 \\ Wandmitte \ ... \ \sigma_r=-{p \over 2} \)

\(\sigma _{\rm {v}}=\sigma _{\rm {max}}-\sigma _{\rm {min}}=\sigma _{\rm {t}}-\sigma _{\rm {r}}={\frac {p\cdot d}{2\cdot s}}+{\frac {p}{2}} \ ... \ Vergleichsspannung \ aus \ Schubspannungshypothese\)

\(u^*={1 \over 2EJ_y}\cdot \int {M_b(x)}^2 dx + {1 \over 2GJ_T}\cdot \int {M_T(x)}^2 dx + {1 \over 2EA}\cdot \int {N(x)}^2 dx + {1 \over 2 \chi GA}\cdot \int {Q(x)}^2 dx \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \searrow \qquad \qquad \qquad \qquad \searrow \qquad \qquad \qquad \qquad \searrow \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad fällt \ weg, \ wenn\quad \quad fällt \ weg, \ wenn \qquad \quad im \ allgemeinen\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad keine \ Torsionsmomente \quad keine \ Normalkräfte \quad vernachlässigbar\)

\(E \ ... \ Elastizitätsmodul \ des \ Werkstoffes\)

\(G \ ... \ Schubmodul\)

\(A \ ... \ Schnittfläche\)

\(J_y \ ... \ Trägheitsmoment \ y-Achse\)

\(J_T \ ... \ Trägheitsmoment \ Torsion\)

\(N(x) \ ... \ Normalkraft\)

\(Q(x) \ ... \ Querkraft\)

\(M_b(x) \ ... \ Biegemoment\)

\(M_T(x) \ ... \ Torsionsmoment\)

\(\chi \ ... \ Korrektur-, \ oder \ Formfaktor\)

\(\frac {\partial U^{*}}{\partial X_{i}}=0 \)  mit \( i=1,\dots ,n \)

\(X_{i}\)  = statisch unbestimmte Größen (deren Arbeitsweg jeweils Null sein muss)

\(U^{*}=U^{*}(X_{1},\dots ,X_{n})\)  = innere Ergänzungsenergie

\(W_{erf}={M_{B,max} \over \sigma_{B,zul}}...erforderliches \ Widerstandsmoment\)

\(M_{B,max}... maximales \ Biegemoment\)

\(\sigma_{B,zul}... zulässige \ Biegespannung\)

\({dM_{B}(x)\over dx}=0 \ ... \ erste \ Ableitung \ des Biegemoments \ null \ setzen\) 

\(M_B(x) \ ... \ Biegemoment \ in \ Abhängigkeit \ von \ x\)

\(M=\int\limits_ {x_u}^{x_o}(f_i(\xi)*x(\xi))d\xi\)

\(Differentialgleichung \ der \ Biegelinie \\ w'''={d^2w \over dx^2}={q(x) \over E*J_y(x)} \ ... \ Ansatz \ für \ Querkräfte \\ w'''={d^2w \over dx^2}=-{Q(x) \over E*J_y(x)} \\ w''={d^2w \over dx^2}=-{My(x) \over E*J_y(x)} \ ... \ Ansatz \ für \ Momentenverläufe \\\)

\(My(x) \ ... \ Biegemoment \ in \ Abhängigkeit \ von \ x\)

\(E \ ... \ Elastizitätsmodul\)

\(J_y(x) \ ... \ Trägheitsmoment \ in \ Abhängigkeit \ von \ x\)

\(\sigma_B={M_b \over W} \ ... \ Biegespannung\)

\(M_B \ ... \ Biegemoment\)

\(W \ ... \ Widerstandsmoment\)

\(W_y= { J\over e} \ ... \ Widerstandsmoment\) 

\(J \ ...\ Trägheitsmoment\)

\(e \ ... \ Randfaser\)

\({\partial U^* \over \partial P} = \delta_i \ ... \ Satz \ von \ Castigliano\)

\({\partial U^* \over \partial P} =\sum\limits _{i=1}^{n}\ \left[ \int\limits _{l_{i}}\left[{\frac {M_{bxi}}{(EJ_{xx})_{i}}}{\frac {\partial M_{bxi}}{\partial P}}+{\frac {M_{byi}}{(EJ_{yy})_{i}}}{\frac {\partial M_{byi}}{\partial P}}+{\frac {M_{ti}}{(GJ_{t})_{i}}}{\frac {\partial M_{ti}}{\partial P}}+{\frac {F_{Li}}{(EA)_{i}}}{\frac {\partial F_{Li}}{\partial P}}+{\frac {F_{Qxi}}{(GA\kappa _{x})_{i}}}{\frac {\partial F_{Qxi}}{\partial P}}+{\frac {F_{Qyi}}{(GA\kappa _{y})_{i}}}{\frac {\partial F_{Qyi}}{\partial P}}\right]ds_{i} \right]\)

\(l_i \ ... \ Länge \ der \ Bereiche\)

\(P \ ... \ verallgemeinerte Kraft\)

\(F_{Li} \ ... \ Längskräfte\)

\(F_{Qxi}, F_{Qyi} \ ... \ Querkräfte\)

\(M_{ti} \ ... \ Torsionsmoment\)

\(M_{bxi}, M_{byi} \ ... \ Biegemomente\)

\(E \ ... \ Elastizitätsmodul\)

\(G \ ... \ Schubmodul\)

\(A \ ... \ Fläche\)

\(\kappa_x, \kappa_y \ ... \ Schubkorrekturfaktor \ des \ jeweiligen \ Querschnittes\)

\(J_{zz}, J_{yy} \ ... \ Trägheitsmoment \ um \ z-, y-Achse\)

\(J_t \ ... \ Torsionsträgheitsmoment\)

\({\partial U^* \over \partial P} = \int\limits_{x_u}^{x_o}(M(x)* {\partial M(x) \over \partial P}* {1 \over \ EJ})dx=w_P \ ... \ für \ Träger \ mit \ Flächenlast\)

\({\partial U^* \over \partial P} = \sum S_i* {\partial S_i \over \partial P}* {Li \over \ EA}=w_c \ ... \ für \ Fachwerke\)

\(U^* \ ... \ Verzerrungsenergie \ (Formänderungsenergie)\)

\(\delta_i, w_P, w_C = Verschiebung \ des \ Kraftangriffspunktes\)

\(T(s)=\tau(s)* t(s)\)

\(T(s)=T_0-{P\over J}*\int\limits_0^s (t(s) *y(s))ds\)

\(T_0 \ ... \ Schubfluss \ am \ Beginn \ (Ursprung)\)

\(P \ ... \ verallgemeinerte \ Kraft\)

\(J \ ... \ Trägheitsmoment\)

\(t(s) \ ... \ Dicke \ der \ Komponente\)

\(y(s) \ ... \ Abstand \ von \ der \ y-Achse \ durch \ die \ Laufvariable \ s \ ausgedrückt\)

\(s \ ... \ lokale \ Koordinate\)

\(e*P=\oint\limits_0^l \left[ T(s)*p(s) \right] ds\)

\(e \ ... \ Abstand \ des \ Schubmittelpunktes \ vom \ Drehpunkt\)

\(P \ ... \ verallgemeinerte \ Kraft\)

\(T(s) \ ...\ Schubfluss \ des \ jeweiligen \ Bereiches\)

\(p(s) \ ... \ Hebelarm \ vom \ Drehpunkt \ zu \ jeweiligen \ Bereich\)

\(s \ ... \ lokale \ Koordinate\)

\(M_t=G*J_t*{d\nu \over dx} \ ... \ Torsionsmoment\)

\(M_t=P*e \ ... \ Torsionsmoment\)

\(G \ ... \ Schubmodul\)

\(J_t \ ... \ Torsionsträgheitsmoment \ (evtl \ über \ Prantl \ Formel)\)

\({d\nu \over dx} = spez. Verdrillung [°/m]\)

\(\epsilon_x = \frac{1}{E}[\sigma_x - \nu (\sigma_y +\sigma_z)] + \fcolorbox{red}{yellow}{$\alpha_{th}\triangle T$} \ ...\ Dehnung \ in \ x-Richtung\)

\(\epsilon_y = \frac{1}{E}[\sigma_y - \nu (\sigma_x +\sigma_z)] + \fcolorbox{red}{yellow}{$\alpha_{th}\triangle T$} \ ... \ Dehnung \ in \ y-Richtung\)

\(\epsilon_z = \frac{1}{E}[\sigma_x - \nu (\sigma_x +\sigma_y)] + \fcolorbox{red}{yellow}{$\alpha_{th}\triangle T$} \ ... \ Dehnung \ in \ z-Richtung\)

\(E \ ... \ Elastizitätsmodul\)

\(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z \ ... \ Spannungen \ in \ x-, \ y-, \ z-Richtung\)

\(\nu \ ... \ Querkontraktionszahl\)

\(\alpha_{th} \ ... \ Wärmeausdehnungskoeffizient\)

\(\Delta T \ ... \ Temperaturänderung\)

\(\sigma = {F \over A} \ ... \ Spannung\)

\(F \ ...\ Kraft\) 

\(A \ ... \ Fläche\)

\(\epsilon_x={du \over dx} \ ... \ Dehnung \ in \ x-Richtung\)

\(u \ ... \ Verschiebung\)

\(S_K={F_K \over F_{vorh}} ... Sicherheit \ vor \ Knickung\)

\(F_K={\pi^2EJ \over {l_K}^2} \ ... \ kritische \ Knicklast\)

mit \(\)\(\begin{array}{c|c} Voraussetzung & l_k \\ \hline feste \ Einspannung \ + \ Kraft & 2l \\ \hline 2*Gelenk & l \\ \hline feste \ Einspannung \ + \ Gelenk & 0,7l \\ \hline 2*feste \ Einspannung & 0,5l \end{array} \)