Lernkartei Festigkeitslehre (Seite 1 von 1)

Karten	32
Sprache	Deutsch
Kategorie	Statik
Stufe	Universität
Erstellt / Aktualisiert	14.07.2016 / 28.02.2017
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zulässige Spannung (Biegeträger)

$\sigma_{zul}={Re \over S_B}$

$\sigma_{zul} ... zulässige\ Spannung\ [N/mm^2]$

$Re ... Streckgrenze \ Material$

$S_B ... Sicherheit$

Erforderliches Widerstandsmoment (Biegeträger)

$W_{erf}={M_{B,max} \over \sigma_{B,zul}}...erforderliches \ Widerstandsmoment$

$M_{B,max}... maximales \ Biegemoment$

$\sigma_{B,zul}... zulässige \ Biegespannung$

maximales Biegemoment (Biegeträger)

${dM_{B}(x)\over dx}=0 \ ... \ erste \ Ableitung \ des Biegemoments \ null \ setzen$

$M_B(x) \ ... \ Biegemoment \ in \ Abhängigkeit \ von \ x$

Moment einen Streckenlast

$M=\int\limits_ {x_u}^{x_o}(f_i(\xi)*x(\xi))d\xi$

Differentialgleichung der Biegelinie

$Differentialgleichung \ der \ Biegelinie \\ w'''={d^2w \over dx^2}={q(x) \over E*J_y(x)} \ ... \ Ansatz \ für \ Querkräfte \\ w'''={d^2w \over dx^2}=-{Q(x) \over E*J_y(x)} \\ w''={d^2w \over dx^2}=-{My(x) \over E*J_y(x)} \ ... \ Ansatz \ für \ Momentenverläufe \\$

$My(x) \ ... \ Biegemoment \ in \ Abhängigkeit \ von \ x$

$E \ ... \ Elastizitätsmodul$

$J_y(x) \ ... \ Trägheitsmoment \ in \ Abhängigkeit \ von \ x$

Biegespannung

$\sigma_B={M_b \over W} \ ... \ Biegespannung$

$M_B \ ... \ Biegemoment$

$W \ ... \ Widerstandsmoment$

Widerstandsmoment

$W_y= { J\over e} \ ... \ Widerstandsmoment$

$J \ ...\ Trägheitsmoment$

$e \ ... \ Randfaser$

Satz von Castigliano (Allgemein, Träger mit Flächenlast, Fachwerk)

${\partial U^* \over \partial P} = \delta_i \ ... \ Satz \ von \ Castigliano$

${\partial U^* \over \partial P} =\sum\limits _{i=1}^{n}\ \left[ \int\limits _{l_{i}}\left[{\frac {M_{bxi}}{(EJ_{xx})_{i}}}{\frac {\partial M_{bxi}}{\partial P}}+{\frac {M_{byi}}{(EJ_{yy})_{i}}}{\frac {\partial M_{byi}}{\partial P}}+{\frac {M_{ti}}{(GJ_{t})_{i}}}{\frac {\partial M_{ti}}{\partial P}}+{\frac {F_{Li}}{(EA)_{i}}}{\frac {\partial F_{Li}}{\partial P}}+{\frac {F_{Qxi}}{(GA\kappa _{x})_{i}}}{\frac {\partial F_{Qxi}}{\partial P}}+{\frac {F_{Qyi}}{(GA\kappa _{y})_{i}}}{\frac {\partial F_{Qyi}}{\partial P}}\right]ds_{i} \right]$

$l_i \ ... \ Länge \ der \ Bereiche$

$P \ ... \ verallgemeinerte Kraft$

$F_{Li} \ ... \ Längskräfte$

$F_{Qxi}, F_{Qyi} \ ... \ Querkräfte$

$M_{ti} \ ... \ Torsionsmoment$

$M_{bxi}, M_{byi} \ ... \ Biegemomente$

$E \ ... \ Elastizitätsmodul$

$G \ ... \ Schubmodul$

$A \ ... \ Fläche$

$\kappa_x, \kappa_y \ ... \ Schubkorrekturfaktor \ des \ jeweiligen \ Querschnittes$

$J_{zz}, J_{yy} \ ... \ Trägheitsmoment \ um \ z-, y-Achse$

$J_t \ ... \ Torsionsträgheitsmoment$

${\partial U^* \over \partial P} = \int\limits_{x_u}^{x_o}(M(x)* {\partial M(x) \over \partial P}* {1 \over \ EJ})dx=w_P \ ... \ für \ Träger \ mit \ Flächenlast$

${\partial U^* \over \partial P} = \sum S_i* {\partial S_i \over \partial P}* {Li \over \ EA}=w_c \ ... \ für \ Fachwerke$

$U^* \ ... \ Verzerrungsenergie \ (Formänderungsenergie)$

$\delta_i, w_P, w_C = Verschiebung \ des \ Kraftangriffspunktes$

Schubfluss eines Abschnittes

$T(s)=\tau(s)* t(s)$

$T(s)=T_0-{P\over J}*\int\limits_0^s (t(s) *y(s))ds$

$T_0 \ ... \ Schubfluss \ am \ Beginn \ (Ursprung)$

$P \ ... \ verallgemeinerte \ Kraft$

$J \ ... \ Trägheitsmoment$

$t(s) \ ... \ Dicke \ der \ Komponente$

$y(s) \ ... \ Abstand \ von \ der \ y-Achse \ durch \ die \ Laufvariable \ s \ ausgedrückt$

$s \ ... \ lokale \ Koordinate$

Schubmittelpunkt

$e*P=\oint\limits_0^l \left[ T(s)*p(s) \right] ds$

$e \ ... \ Abstand \ des \ Schubmittelpunktes \ vom \ Drehpunkt$

$P \ ... \ verallgemeinerte \ Kraft$

$T(s) \ ...\ Schubfluss \ des \ jeweiligen \ Bereiches$

$p(s) \ ... \ Hebelarm \ vom \ Drehpunkt \ zu \ jeweiligen \ Bereich$

$s \ ... \ lokale \ Koordinate$

Torsionsmoment (Schubfluss)

$M_t=G*J_t*{d\nu \over dx} \ ... \ Torsionsmoment$

$M_t=P*e \ ... \ Torsionsmoment$

$G \ ... \ Schubmodul$

$J_t \ ... \ Torsionsträgheitsmoment \ (evtl \ über \ Prantl \ Formel)$

${d\nu \over dx} = spez. Verdrillung [°/m]$

Hooke'sches Gesetz mit Temperaturabhängigkeit

$\epsilon_x = \frac{1}{E}[\sigma_x - \nu (\sigma_y +\sigma_z)] + \fcolorbox{red}{yellow}{$\alpha_{th}\triangle T$} \ ...\ Dehnung \ in \ x-Richtung$

$\epsilon_y = \frac{1}{E}[\sigma_y - \nu (\sigma_x +\sigma_z)] + \fcolorbox{red}{yellow}{$\alpha_{th}\triangle T$} \ ... \ Dehnung \ in \ y-Richtung$

$\epsilon_z = \frac{1}{E}[\sigma_x - \nu (\sigma_x +\sigma_y)] + \fcolorbox{red}{yellow}{$\alpha_{th}\triangle T$} \ ... \ Dehnung \ in \ z-Richtung$

$E \ ... \ Elastizitätsmodul$

$\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z \ ... \ Spannungen \ in \ x-, \ y-, \ z-Richtung$

$\nu \ ... \ Querkontraktionszahl$

$\alpha_{th} \ ... \ Wärmeausdehnungskoeffizient$

$\Delta T \ ... \ Temperaturänderung$

Spannung Allgemein

$\sigma = {F \over A} \ ... \ Spannung$

$F \ ...\ Kraft$

$A \ ... \ Fläche$

kinematische Definition der Dehnung

$\epsilon_x={du \over dx} \ ... \ Dehnung \ in \ x-Richtung$

$u \ ... \ Verschiebung$

Knickung eines Stabes (mit Knickfällen, Sicherheit)

$S_K={F_K \over F_{vorh}} ... Sicherheit \ vor \ Knickung$

$F_K={\pi^2EJ \over {l_K}^2} \ ... \ kritische \ Knicklast$

mit $\begin{array}{c|c} Voraussetzung & l_k \\ \hline feste \ Einspannung \ + \ Kraft & 2l \\ \hline 2*Gelenk & l \\ \hline feste \ Einspannung \ + \ Gelenk & 0,7l \\ \hline 2*feste \ Einspannung & 0,5l \end{array} $

Differentialgleichung für Torsion

$G*J_t*{d \gamma \over dx}=M_0$ mit ${d\nu \over dx} =\nu'$

$G*J_t*\nu'=M_t$

$G \ ... \ Schubmodul$

$\nu \ ... \ Verdrehwinkel$

$J_t \ ... \ Trägheitsmoment$

$M_t \ ... \ Torsionsmoment$

1.Bredtsche Formel

$\tau={\frac {M_{T}}{2tA_{m}}} \ ... \ Schubspannung$ mit $\tau=T*t$

$T={\frac {M_{T}}{2A_{m}}} \ ... \ Schubfluss$

$M_t \ ... \ Torsionsmoment$

$A_m \ ... \ Von \ der \ Querschnittsmittellinie \ umschlossene \ Fläche \ in \ [mm²]$

$t \ ... \ Wanddicke$

$J_t={4*{A_{min}}^2 \over \oint{ds \over t}}$

Torsionswiderstand (aus Bretschen Formeln)

$J_t={4*{A_{m}}^2 \over \oint{ds \over t(s)}} \ ... \ Trägheitsmoment$

$A_m \ ... \ Von \ der \ Querschnittsmittellinie \ umschlossene \ Fläche \ in \ [mm²]$

$t(s) \ ... \ Wanddicke$

2. Bredtsche Formel

$\frac {d\vartheta }{dx}={\frac {\oint {\tau (s)\;ds}}{2\;G\;A_{m}}} \ ... \ 2. \ Bredtsche \ Formel$

$\tau(s)={T \over t(s)} \ ... \ Schubspannung$

$A_{m}\;=\;{\frac {1}{2}}\oint {p(s)\;ds} \ ... \ Von \ der \ Querschnittsmittellinie \ umschlossene \ Fläche \ in \ [mm²]$

$\vartheta \ ... \ Verdrillung \ (Verwindung)$

$G \ ... \ Schubmodul$

Abhängigkeiten bei einer Torsion eines Profils (Knotenregel, Verdrillung des Objektes (Geometrie), Momentverteilung)

$Knotenregel \ ... \ T_A=T_B+T_C$

$T ...Schubfluss$

$Verdrillung \ des \ Objektes \ (Geometrie) \ ... \ {\nu_{ges}}'={\nu_A}'+{\nu_B}'$

$\nu \ ... \ Verdrehwinkel$

$Momentenverteilung \ ... \ M_{t,ges}=M_{tA}+M_{tB}$

$M_t \ ... \ Torsionsmoment \ (Bestimmung \ über \ Bredtsche \ Formeln)$

Verdrillung aus DGL für Torsion und Bredtscher Formel für $M_t$ und $J_t$

$G*J_t*\nu'=M_t$

mit $J_t={4*{A_{min}}^2 \over \oint {ds \over t}}$ und $M_t=2*A_{min}*T$

$G*{4*{A_{min}}^2 \over \oint {ds \over t}}*\nu'=2∗A_{min}∗T$ --> $2*G*\nu'={1 \over A_{min}}\oint {T(s)*ds \over t(s)}$

Biegespannung $ {\displaystyle \sigma _{B}} $ im Balkenquerschnitt (Biegetheorie)

$ {\displaystyle \sigma _{B}(z)={M_{y} \over I_{y}}\cdot z\ } \ ... \ Biegespannung$

$M_y \ ... \ Moment \\ J_y \ ... \ Trägheitsmoment \\ z \ ... \ Abstand$

Am Außen- und am Innenrand gilt mit ${\displaystyle z=z_{R}} $

$ \sigma _{B}(z_{R})=\pm {M_{y} \over I_{y}}z_{R}=\pm {M_{y} \over W_{y}} $

$W_y \ ... \ Widerstandsmoment$

Torsion (allgmein)

$\tau_T={M_T \over W_T} \ ... \ Torsion$

$M_T \ ... \ Torsionsmoment$

$W_T \ ... \ Widerstandsmoment$

Verdrillungswinkel

$\nu={M_T \over G*J_T} \ ... \ Verdrillungswinkel$

$M_T \ ... \ Torsionsmoment$

$G \ ... \ Schubmodul$

$J_T \ ... \ Torsionsträgheitsmoment$

Trägheitsmoment, Widerstandsmoment dünnwandige offene Profile (Prantl):

$J_T={1 \over 3} \sum l_i {k_i}^3 \ ... \ Trägheitsmoment $

$W_T={1 \over 3} \sum l_i {k_i}^2 \ ... \ Widerstandsmoment$

$k_i \ ... \ Dicke$

$l_i \ ... \ Länge$

Gestaltsänderungshypothese, Gestaltänderungsenergiehypothese (kurz: GEH) nach Huber-Mises

Hauptspannungszustand:

$\sigma_V=\sqrt{{1\over 2}[ (\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_1-\sigma_3)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2]} \leq \sigma_{zul}$

Allgemeiner Spannungszustand

$\sigma_V=\sqrt{{1\over 2}[ (\sigma_x-\sigma_y)^2+(\sigma_x-\sigma_z)^2+(\sigma_y-\sigma_z)^2+3 {\tau_{xy}}^2+3 {\tau_{xz}}^2 +3 {\tau_{yz}}^2 ]} \leq \sigma_{zul}$

Ebener Spannungszustand

$\sigma _{V}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}-\sigma _{x}\sigma _{y}+3\tau _{xy}^{2}}}$

Spannungszustand für Träger

$\sigma_V=\sqrt{{1\over 2}[ \sigma_b^2+3 {\tau_t}^2]} \leq \sigma_{zul} $

$\sigma \ ...\ Spannung$

$\tau \ ... \ Torsion$

Gestaltsänderungshypothese, Gestaltänderungsenergiehypothese nach Tresca

Vergleichsspannung

$\sigma_V=2*\tau_{max}$

$\sigma_{max}-\sigma_{min} \le \sigma_{zul}$

$\sigma_V=|\sigma_1-\sigma_3|$

Ebener Spannungszustand

$\sigma _{V}={\sqrt {{(\sigma _x-\sigma _y)}^{2}+4{\tau _{xy}}^{2}}}$

für Träger

$\sigma_V=\sqrt{{\sigma_b}^2+4{\tau_t}^2}$

Grenzschlankheitsgrad (Knickung)

$\lambda_0=\pi*\sqrt{E \over \sigma_p} \ ... \ Grenzschlankheitsgrad$

$E \ .. \ E-Modul \ des \ Werkstoffes$

$\sigma_P \ ... \ Proportionalitätsgrenze \ der \ Spannung$

Schlankheitsgrad (Knickung)

$\lambda={l_K \over \sqrt {J_{min} \over A}} \ ... \ Schlankheitsgrad$

$l_K \ ... \ Knicklänge $

$J_{min} \ ... \ minimales \ Trägheitsmoment $

$A \ ... \ Fläche$

Kesselformeln (dünnwandiger Druckbehälter)

$\sigma _{\rm {t}}={\frac {p\cdot d_{m}}{2\cdot s}} \ ... \ Tangential-Spannung \ in \ der \ Wand$

$\sigma _{\rm {a}}={\frac {p\cdot d_{m}}{4\cdot s}} \ ... \ axiale \ Spannung \ (Längsrichtung) \ in \ der \ Wand$

$p \ ... \ Innendruck$

$d_m={(D+d) \over 2} \ ... \ Mitteldurchmesser$

$s \ ... \ Wanddicke$

$Behälterinnenseite \ ... \ \sigma_r=-p \\ Behälteraußenseite \ ... \ \sigma_r=0 \\ Wandmitte \ ... \ \sigma_r=-{p \over 2} $

$\sigma _{\rm {v}}=\sigma _{\rm {max}}-\sigma _{\rm {min}}=\sigma _{\rm {t}}-\sigma _{\rm {r}}={\frac {p\cdot d}{2\cdot s}}+{\frac {p}{2}} \ ... \ Vergleichsspannung \ aus \ Schubspannungshypothese$

Elastische Deformationsenergie:

$u^*={1 \over 2EJ_y}\cdot \int {M_b(x)}^2 dx + {1 \over 2GJ_T}\cdot \int {M_T(x)}^2 dx + {1 \over 2EA}\cdot \int {N(x)}^2 dx + {1 \over 2 \chi GA}\cdot \int {Q(x)}^2 dx \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \searrow \qquad \qquad \qquad \qquad \searrow \qquad \qquad \qquad \qquad \searrow \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad fällt \ weg, \ wenn\quad \quad fällt \ weg, \ wenn \qquad \quad im \ allgemeinen\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad keine \ Torsionsmomente \quad keine \ Normalkräfte \quad vernachlässigbar$

$E \ ... \ Elastizitätsmodul \ des \ Werkstoffes$

$G \ ... \ Schubmodul$

$A \ ... \ Schnittfläche$

$J_y \ ... \ Trägheitsmoment \ y-Achse$

$J_T \ ... \ Trägheitsmoment \ Torsion$

$N(x) \ ... \ Normalkraft$

$Q(x) \ ... \ Querkraft$

$M_b(x) \ ... \ Biegemoment$

$M_T(x) \ ... \ Torsionsmoment$

$\chi \ ... \ Korrektur-, \ oder \ Formfaktor$

Satz von Menabrea

$\frac {\partial U^{*}}{\partial X_{i}}=0 $ mit $ i=1,\dots ,n $

$X_{i}$ = statisch unbestimmte Größen (deren Arbeitsweg jeweils Null sein muss)

$U^{*}=U^{*}(X_{1},\dots ,X_{n})$ = innere Ergänzungsenergie

Festigkeitslehre

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