Elemente der Geometrie
Modul Geometrie, nur Zirkel und Lieal, Lehramt grund- sekundarstufe,
Modul Geometrie, nur Zirkel und Lieal, Lehramt grund- sekundarstufe,
Was gibt es für Kongruenzabbildungen?
- Geradenspiegelung
- Verschiebung (doppelspiegelung an parall. Geraden)
- Drehung (Doppelspiegelung an sich schneidenen Geraden)
- Schubspiegelung (Verknüpfung von Geradenspiegelung und Verschienung in Richtung Spiegelachse)
Wann ist eine Figur achsensymmetrisch / ein Körper ebnensymmetrisch?
wenn sie/er durch eine Geraden- /Ebenenspiegelung auf sich selbst abgebildet werden kann.
Wann ist eine Figur/Körper punkt- oder zentralsymmetrisch / drehsymmetrisch?
wenn sie/er durch Punktspiegelung/ Drehung auf sich selbst abgebildet werden kann.
wie Lautet die Goldene Zahl?
0,618
Wie lautet die Formel zum berechnen der Anzahl der Diagonlaen eines Polygons?
d=n(n-3)/2 mit n=Ecken
was ist Inversion am Kreis?
Die Inversion, Spiegelung am Kreis oder Kreisspiegelung ist eine Abbildung der ebenen Geometrie, die das Innere und das Äußere eines gegebenen Kreises miteinander vertauscht.
Die Abbildung ist winkeltreu
|MP|*|MP´|=r²
Was ist eine Deckabbildung?
Eine KOngruenzabb. B, die eine Figur F der Ebene auf sich abb., d.h. für die B(F)=F gilt.
heißt auch Symmetrie von F
Was ist eine Deckabbildungsgruppe?
Wen die Menge der Deckabb. von F eine Gruppe bildet.
Was ist ein Köper?
Eine beschränkte, abgeschlossene und zusammenhängede Punktmenge K im dreidimensionalen Raum.
Was ist ein Polyeder?
ein Körper dessen Oberfläche von endlich vielen ebenen Flächenstücken (Polygone und ihr Inneres) begrenzt wird.
heißt auch Vielflach, vielflächer, Ebenenflächer.
Eulerische Polyedersatz:
e+f-k=2
e=Ecke, f=Fläche, k=Kante
was sind regelmäßige Polyeder?
Platinische Körper. alle Seitenflächen sind kongruente, reglemäßige n-Ecke der selben Seitenzahl n und seine Ecken sämtliche dieselbe Kntenzahl m haben.
nenne die Platonischen Körper.
Tetraeder, Hexaeder (Würfel), Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
Was ist eine Zweizählige Drehachse?
0° und 180°
Teraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
was ist dreizählige drehachse?
0° 120° 240°
Teraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
was ist vierzählige drehachse?
0° 90° 180° 270°
Oktaeder, Hexaeder
was sit fünfzählige drehachse?
0° 72° 144° 216° 288°
Dodekaeder, Ikosaeder
was ist ein dualer Polyeder?
Würfel und Oktaeder, da ihre mittelpunkte der Seitenflächen die Eckpunkte des anderen bilden (also die mittelpunkte vom würfel bilden eckpunkte des Oktaeders)
dies gilt aich für Dodekaeder und ikosaeder
was heißt selbsdual?
ist der Teraeder, seine Mittelpunkte der Seitenflächen bilden die Ecken eines Tetraeders.
Zentri-Peripherie-Winkelsatz
Jeder Zentriwinkel (Auch Mittelpunktswinkel genannt) über einen Kreisbogen ist doppelt so groß wie der dazugehörige Peripheriewinkel (auch Umfangswinkel genannt)
alpha ist doppelt so groß wie betha
jede beliebige Teilmenge F von E
jede Figur F, die in einer Geraden g enthalten ist.
Alle Punkte die in einer linearen Figur liegen.
Alle Punkte die in einer ebenen Figur liegen.
Zu zwei verschiedenen Punkten P und Q gibt es genau eine Gerade g, die P und Q enthält.
Jede Gerade enthält mindestens zwei verschiedene Punkte.
Es gibt mindestens drei verschiedene Punkte P, Q, R, die nicht ein und derselben Geraden g angehören. (Oder: außerhalb jeder Geraden gibt es mindestens einen Punkt)
Zwei verschiedene Geraden der Ebene haben entweder genau einen oder keinen Punkt gemeinsam.
(1) aus A,B € g,h und A#B folgt g=h (2) aus A,B € g,h und g#h folgt A=B
genau dann, wenn g=h gilt oder ihr Durchschnitt leer ist.
zu jedem Punkt P und jeder Geraden g existiert genau eine Gerade h mit P€h und g||h
seinen g, h, i drei Geraden. Schneidet g die Gerade h in einem Punkt P und ist der Durchschnitt von h und i leer, so schneidet auch g die Gerade i.
(1) g||h (Reflexivität) (2) g||h -> h||g (Symmetrie) (3) g||h & h||i -> g||i (Transivität)
die Aquivalenzklassen R(g)={h:h||g} der Menge aller zu g parallelen geraden h.
die menge (AB+). Ist die Menge aller Punkte X von g(AB), die auf der selben Seite von A liegen, auf der auch B liegt, d.h. Für A
die Menge AB+=(AB+) vereinigt {A}, mit dem Anfangspunkt A.
A€AB und B€AB (über AB ist ein Strich)
Sonderfall : A=B also Strecke AA (mit strich)
Was ist eine orientierte Strecke? Oder Pfeil
wenn für die Punkte A, B mit A<B ein Durchlaufsinn gegeben ist.
sind A,B, C drei nicht kollinerare Punkte und trifft die Gerade g die offene Strecke (AB), aber keinen der drei Punkte A, B, C, so trifft g noch mindestens eine der offenen Strecken (AC) oder (BC). (jewileils mit Strich drüber)
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Cartes-fiches
jede beliebige Teilmenge F von E
jede Figur F, die in einer Geraden g enthalten ist.
Alle Punkte die in einer linearen Figur liegen.
Alle Punkte die in einer ebenen Figur liegen.
Zu zwei verschiedenen Punkten P und Q gibt es genau eine Gerade g, die P und Q enthält.
Jede Gerade enthält mindestens zwei verschiedene Punkte.
Es gibt mindestens drei verschiedene Punkte P, Q, R, die nicht ein und derselben Geraden g angehören. (Oder: außerhalb jeder Geraden gibt es mindestens einen Punkt)
Zwei verschiedene Geraden der Ebene haben entweder genau einen oder keinen Punkt gemeinsam.
(1) aus A,B € g,h und A#B folgt g=h (2) aus A,B € g,h und g#h folgt A=B
genau dann, wenn g=h gilt oder ihr Durchschnitt leer ist.
zu jedem Punkt P und jeder Geraden g existiert genau eine Gerade h mit P€h und g||h
seinen g, h, i drei Geraden. Schneidet g die Gerade h in einem Punkt P und ist der Durchschnitt von h und i leer, so schneidet auch g die Gerade i.
(1) g||h (Reflexivität) (2) g||h -> h||g (Symmetrie) (3) g||h & h||i -> g||i (Transivität)
die Aquivalenzklassen R(g)={h:h||g} der Menge aller zu g parallelen geraden h.
die menge (AB+). Ist die Menge aller Punkte X von g(AB), die auf der selben Seite von A liegen, auf der auch B liegt, d.h. Für A
die Menge AB+=(AB+) vereinigt {A}, mit dem Anfangspunkt A.
A€AB und B€AB (über AB ist ein Strich)
Sonderfall : A=B also Strecke AA (mit strich)
Was ist eine orientierte Strecke? Oder Pfeil
wenn für die Punkte A, B mit A<B ein Durchlaufsinn gegeben ist.
sind A,B, C drei nicht kollinerare Punkte und trifft die Gerade g die offene Strecke (AB), aber keinen der drei Punkte A, B, C, so trifft g noch mindestens eine der offenen Strecken (AC) oder (BC). (jewileils mit Strich drüber)
durch drei verschiedene nicht kollinerare Punkte P, Q, R gibt esvgenau eine Ebene E(PQR)
liegen 2 Punkte P, Q einer Geraden g in einer Ebene E, dann liegt die Gerade g in E.
für 2 verschiedene Ebenen E und N, die einen gemeinsamen Punkte besitzen, ist Der durchschnitt von E und N eine Gerade.
es gibt stets 4 Punkte P, Q, R, S, die nicht in ein und der selben Ebene liegen.
Zwei nicht parallele Geraden g und h deren Durchschnitt leer ist.
jeder Strecke PQ lässt sich eindeutig eine reelle Zahl s=|PQ| größer gleich 0 als Streckenmaß oder Länge zuordenen
Ist AB eine Strecke und A'P+ eine Halbgerade, so gibt es genau einen Punkt B'€A'P mit AB=A'B'. (uber AB ein strich, über = eine welle)
Was ist derHöhenschnittpunkt?
Schnittpunkt der Senkrechten auf den dreickecksdeiten, durch die gegenüberligenden winkel.
Was ist der Umkreispunkt?
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks.
Was ist der Schwerpunkt?
Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Was ist der Innenkreispunkt?
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Was ist der Fermat- Punkt?
Schnittpunkt der Geraden die den Außeneckpunkt des gleichseitigen andreicks mit dem dazugehörigen gegeneckpunt verbindet.
Was ist die Eulersche Gerade?
Verbindungsgerade von den Höhen-, Umkreis- und Schwerpunkt.
Was ist der Feuerbachsche Kreis?
(Neunpunktkreis?)
Kreis der im dreieck die Seitenmittelpunkte, Höhenfußpunkte und Mittelpunkte der Strecken AH, BH und CH berührt.
( ist zugleich der umkreis des mitteldreiecks)
Was ist das Nepoleon-Dreieck?
Gleichseitiges dreieck wenn die umkreispunkte der gleichseitigen andreiecken einesdreiecks verbunden werden.
Nenne die Abbildungsgruppen.
- Projektive Abb.
- affine Abb.
- Ähnlichkeitsabb.
- Kongruenzabb.
Was gibt es für Projektive Abb.?
- Parallelprojektion (schief und orthogonal)
- Zentralprojektion
- axonometrische Projektion
Wie funktioniert dievParallelprojektion?
Vom Körper auf eine Ebene abgebildet (90° oder anders/schief) durch parallele Geraden.
Wie funktioniert Zentralprojektion?
Vom Raum auf Ebene von einem Punkt aus.
Was ist axonometrische Projektion?
(orthogonal/schief)
Die 3 Achsen, mit deren Hilfe die Koordinaten der Eckpunkte bzw. Linien der betreffenden Körper oder Strukturen in die Ebene abgebildet werden, können an sich beliebig geteilt werden. Die Abbildung jedes Punktes erhält man, indem seine Koordinaten X, Y, Z (bzw. in der Möbelindustrie Breite, Tiefe, Höhe) vom Achsenkreuz aus aufgetragen und parallel zur jeweiligen Achse gezeichnet werden.