Theorie der Wärme

\(dS = \frac{\delta Q}{T}\)

(integrierender Faktor \(\frac{1}{T}\))

Die Entropie S ist eine charakteristische Zustandsgrösse für TD-Systeme. In einem abgeschlossenen System sind nur Prozesse möglich, die S wachsen lässt. Berechnet durch die Überführung via Folge von Gleichgewichtszuständen, die schrittweise reversibel zugeführte Wärme ∂Qrev durch absoluter Temperatur, bestimmt die Entropieänderung.

\(d U = \delta Q - \delta W\)

(vollständiges Differential)

Die Energie U ist eine charakteristische Zustandsgrösse für TD-Systeme. Sie wächst mit zugeführter Wärme ∂Q und nimmt ab bei nach aussen geleisteter Arbeit ∂W. Es gilt Energieerhaltung.

Druck (negativ)

\(\left. \frac{\partial U}{\partial V} \right|_{S,n} = -p\)

Temperatur

\(\left. \frac{\partial U}{\partial S} \right|_{V,n} = T\)

\(\Omega (T,V,\mu) = U - TS - \mu n\)

\(\left. \frac{\partial U}{\partial n} \right|_{S,V} = \mu\)

\(G(T,p,n) = U-TS+pV\)\(= H-TS = F+ pV\)

(im Ggw minimal)

\(H(S,p,n) = U + pV\)

\(\left. \frac{\partial U}{\partial V} \right|_{S,n} = -p\)

U: innere Energie,
pV: Arbeit, die gegen p verrichtet werden muss, um V aufrechtzuerhalten

\(F(T,V,n) = U - TS\)

\(\left. \frac{\partial U}{\partial S} \right|_{V,n} = T\)

\(S(U,V)\) in \([J/K]\)

Fermi-Dirac-Statistik, weil Pauli-Ausschliessungsprinzip (zwei Teilchen nicht in allen Quantenzahlen gleich)

Teilchen mit halbzahligen Spins (bsp. Elektron)

Bose-Einstein-Statistik (mehrere ununterscheidbare Teilchen können den gleichen Zustand einnehmen)

Teilchen mit ganzzahligem Spin bsp. Photonen

\(pv=RT\)   bzw.   \(pV=n_{\text{mol}}RT=N k_B T\)

(R: Gaskonstante)

\(U=C_V T\)  bzw. pro mol: \(u = c_v T\)

\(c_v = \frac{f_{\text{d.o.f.}}}{2} R\)   ⟶ für monoatomares Gas: \(C_V = \frac{3}{2} N k_B\) (bzw. pro mol: \(c_v = \frac{3}{2} R\))

\((v-b) \left( p + \frac{a}{v^2} \right)=RT\)\(\quad \implies\quad p = \frac{RT}{v-b} - \frac{a}{v^2}\)

(kubische Gleichung in \(v\) )

\(\partial_v p = 0 = -RT (v-b)^{-2} -(-2) a v^{-3}\),

\(\partial_v^2 p = 0 = 2RT (v-b)^{-3} -6 a v^{-4}\)\(\quad\rightarrow\quad RT(v-b)^{-3} = 3av^{-4}\)

\(\implies p_c = \frac{1}{27} \frac{a}{b^2},\quad\)\(v_c = 3b,\quad\)\(T_c = \frac{8}{27}\frac{a}{bR}\)

verfügbares Gesamtvolumen reduziert, äusserer Druck reduziert durch innere Anziehung

\(\alpha = \frac{1}{V} \left. \frac{\partial V}{\partial T} \right|_p\)