Analysis - KE 5 (Integration)
Kurs 01144 - Fernuni Hagen
Kurs 01144 - Fernuni Hagen
Welches sind die Voraussetzungen für die Definition des unbestimmten Integrals?
Sei I := [a, b] ein abgeschlossenes Intervall in R mit a < b und f: I → R Riemann-integrierbar auf I.
Wie lautet die Definition des unbestimmten Integrals?
Unter den genannten Voraussetzungen gilt:
- Für jedes c aus I heißt die Funktion F: I → R definiert durch das Integral über f(t) dt von c bis x ein unbestimmtes Integral von f.
- Eine Funktion F: I → R heißt eine Stammfunktion von f, wenn F differenzierbar ist und F(1) = f gilt.
Welches sind die Voraussetzungen für den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung?
Sei I := [a, b] ein abgeschlossenes Intervall in R mit a < b, f: I → R Riemann-integrierbar auf I und F ein unbestimmtes Integral von f.
Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
Unter den genannten Voraussetzungen gilt:
- Ist f in x0 aus I stetig, so ist F in x0 differenzierbar und es ist F(1)(x0) = f(x0). Ist also f stetig auf I, so besitzt f eine Stammfunktion F. Jedes unbestimmte Integral von f ist eine solche Stammfunktion.
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über partielle Integration?
Sei I ein abgeschlossenes Intervall in R mit mehr als einem Punkt und f: I → R,g: I → R beide stetig differenzierbar auf I.
Wie lautet der Satz über partielle Integration?
Es gilt:
Welche Voraussetzungen gelten für die 1. Form der Substitutionsregel?
Seien I,J Intervalle in R mit jeweils mehr als einem Punkt, f: I → R stetig, phi: J → R stetig differenzierbar und sei phi(J) eine Teilmenge von I.
Wie lautet die 1. Form der Substitutionsregel?
Es gilt:
Welche Voraussetzungen gelten für die 2. Form der Substitutionsregel?
Seien I, J Intervalle in R mit jeweils mehr als einem Punkt, f: I → R stetig, phi: J → I stetig differenzierbar und injektiv mit phi(J) = I und phi-1 die Umkehrfunktion von phi.
Wie lautet die 2. Form der Substitutionsregel?
Es gilt:
Welches sind die Voraussetzungen für den Mittelwertsatz der Integralrechnung?
Sei I := [a, b] ein abgeschlossenes Intervall in R mit a < b, f: I → R stetig auf I.
Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung?
Unter den genannten Voraussetzungen gibt es mindestens ein x* aus ]a, b[, so dass:
(b - a)-1 * ( F(b) - F(a) ) = f(x*)
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über (eigentliche) Parameterintegrale?
Sei M eine nichtleere Teilmenge von Rn, G := M x [a, b] = { (xt) aus Rn+1 | x aus Rn, t aus [a, b] } mit a,b aus R und a < b, K: G → R, (xt) → K(xt) eine auf G stetige Funktion.
Wie lautet der Satz über (eigentliche) Parameterintegrale?
Unter den genannten Voraussetzungen ist F: M → R eine auf M stetige Funktion, definiert durch:
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über uneigentliche Parameterintegrale?
Sei M eine Teilmenge von Rn, a aus M, b aus R, G := M x [b, unendlich[ = { (xt) aus Rn+1 | x aus Rn, t aus [b, unendlich[ }, K: G → R, (xt) → K(x, t) eine stetige Funktion, so dass das zugehörige Parameterintegral F für jedes x aus M konvergiert, gibt es eine Folge (Tk) in ]b, unendlich[ mit Tk → unendlich für k → unendlich und eine Umgebung U von a, so dass die durch Fk wie unten definierte Funktionenfolge gleichmäßig auf U geschnitten M konvergiert.
Wie lautet der Satz über (uneigentliche) Paramterintegrale?
Unter den genannten Voraussetzungen ist die Funktion F: M → R stetig in a.
Welches sind die Voraussetzungen für die Leibnitzsche Regel für (eigentlich) Paramterintegrale?
Sei M eine nichtleere Teilmenge von Rn, G := M x [a, b] mit a, b aus R und a < b, K: G → Rn+1, (xt) → K(xt) stetig auf G und die partiellen Ableitungen D1K, … , DnK nach den Koordinaten x1, … , xn existieren und sind stetig.
Wie lautet die Leibnitzsche Regel für (eigentlich) Paramterintegrale?
Unter den genannten Voraussetzungen ist:
Wie sind trigonometrische Reihen definiert?
1/2 * a0 + a1 * cos x + b1 * sin x + a2 * cos (2x) + b2 * sin (2x) + …
Welches sind die Voraussetungen für den Satz über Euler-Fouriersche Formeln?
Seien a0, a1… und b1, b2, … reelle Folgen und
1/2 * a0 + a1 * cos x + b1 * sind x + …
eine trigonometrische Reihe, die für x aus ]-pi, pi] gleichmäßig gegen die Funktion f: ]-pi, pi] → R konvergiere.
Wie lautet der Satz über Euler-Fouriersche Formeln?
Unter den genannten Voraussetzungen gelten:
- ak = <f, Ck> und
- bk = <f, Sk>.
- Insbesondere gilt für a0:
Wie sind Fourierreihen definiert?
Sei f: ]-pi, pi] → R eine auf ]-pi, pi] Riemann-integrierbare Funktion. Setzt man:
ak = <f, Ck> mit k aus N0 und bk = <f, Sk> mit k aus N, dann heißt die aus den ak und bk gebildete trigonometrische Reihe die Fourierreihe von f und die ak und bk Fourierkoeffizienten von f.
Welches sind die Voraussetzungen für die Besselsche Ungleichung?
Sei f: ]-pi, pi] → R eine auf ]-pi, pi] Riemann-integrierbare Funktion, (a0, a1, …) und (b1, b2, …) die Folgen der Fourierkoeffizienten von f.
Was besagt die Besselsche Ungleichung?
Unter den angegebenen Voraussetzungen gilt:
Welches sind die Voraussetzungen für Aussagen über Teilsummen von Fourierreihen und dem n-ten Dirichletkern?
Sei f: R → R eine 2pi-periodische Funktion und sei die Einschränkung von f auf ]-pi, pi] Riemann-integrierbar auf ]-pi, pi] und die Funktion sn: R → R für n aus N0 die n-te Teilsumme der Fourierreihe von f mit:
s0 := ½ * a0.
Welche Aussagen lassen sich zu Teilsummen von Fourierreihen und dem n-ten Dirichletkern machen? Insbesondere wie ist der n-te Dirichletkern definiert?
Unter den angenommen Voraussetzungen gilt:
-
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Welches sind die Voraussetzungen für die Definition des unbestimmten Integrals?
Sei I := [a, b] ein abgeschlossenes Intervall in R mit a < b und f: I → R Riemann-integrierbar auf I.
Wie lautet die Definition des unbestimmten Integrals?
Unter den genannten Voraussetzungen gilt:
- Für jedes c aus I heißt die Funktion F: I → R definiert durch das Integral über f(t) dt von c bis x ein unbestimmtes Integral von f.
- Eine Funktion F: I → R heißt eine Stammfunktion von f, wenn F differenzierbar ist und F(1) = f gilt.
Welches sind die Voraussetzungen für den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung?
Sei I := [a, b] ein abgeschlossenes Intervall in R mit a < b, f: I → R Riemann-integrierbar auf I und F ein unbestimmtes Integral von f.
Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
Unter den genannten Voraussetzungen gilt:
- Ist f in x0 aus I stetig, so ist F in x0 differenzierbar und es ist F(1)(x0) = f(x0). Ist also f stetig auf I, so besitzt f eine Stammfunktion F. Jedes unbestimmte Integral von f ist eine solche Stammfunktion.
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über partielle Integration?
Sei I ein abgeschlossenes Intervall in R mit mehr als einem Punkt und f: I → R,g: I → R beide stetig differenzierbar auf I.
Wie lautet der Satz über partielle Integration?
Es gilt:
Welche Voraussetzungen gelten für die 1. Form der Substitutionsregel?
Seien I,J Intervalle in R mit jeweils mehr als einem Punkt, f: I → R stetig, phi: J → R stetig differenzierbar und sei phi(J) eine Teilmenge von I.
Wie lautet die 1. Form der Substitutionsregel?
Es gilt:
Welche Voraussetzungen gelten für die 2. Form der Substitutionsregel?
Seien I, J Intervalle in R mit jeweils mehr als einem Punkt, f: I → R stetig, phi: J → I stetig differenzierbar und injektiv mit phi(J) = I und phi-1 die Umkehrfunktion von phi.
Wie lautet die 2. Form der Substitutionsregel?
Es gilt:
Welches sind die Voraussetzungen für den Mittelwertsatz der Integralrechnung?
Sei I := [a, b] ein abgeschlossenes Intervall in R mit a < b, f: I → R stetig auf I.
Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung?
Unter den genannten Voraussetzungen gibt es mindestens ein x* aus ]a, b[, so dass:
(b - a)-1 * ( F(b) - F(a) ) = f(x*)
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über (eigentliche) Parameterintegrale?
Sei M eine nichtleere Teilmenge von Rn, G := M x [a, b] = { (xt) aus Rn+1 | x aus Rn, t aus [a, b] } mit a,b aus R und a < b, K: G → R, (xt) → K(xt) eine auf G stetige Funktion.
Wie lautet der Satz über (eigentliche) Parameterintegrale?
Unter den genannten Voraussetzungen ist F: M → R eine auf M stetige Funktion, definiert durch:
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über uneigentliche Parameterintegrale?
Sei M eine Teilmenge von Rn, a aus M, b aus R, G := M x [b, unendlich[ = { (xt) aus Rn+1 | x aus Rn, t aus [b, unendlich[ }, K: G → R, (xt) → K(x, t) eine stetige Funktion, so dass das zugehörige Parameterintegral F für jedes x aus M konvergiert, gibt es eine Folge (Tk) in ]b, unendlich[ mit Tk → unendlich für k → unendlich und eine Umgebung U von a, so dass die durch Fk wie unten definierte Funktionenfolge gleichmäßig auf U geschnitten M konvergiert.
Wie lautet der Satz über (uneigentliche) Paramterintegrale?
Unter den genannten Voraussetzungen ist die Funktion F: M → R stetig in a.
Welches sind die Voraussetzungen für die Leibnitzsche Regel für (eigentlich) Paramterintegrale?
Sei M eine nichtleere Teilmenge von Rn, G := M x [a, b] mit a, b aus R und a < b, K: G → Rn+1, (xt) → K(xt) stetig auf G und die partiellen Ableitungen D1K, … , DnK nach den Koordinaten x1, … , xn existieren und sind stetig.
Wie lautet die Leibnitzsche Regel für (eigentlich) Paramterintegrale?
Unter den genannten Voraussetzungen ist:
Wie sind trigonometrische Reihen definiert?
1/2 * a0 + a1 * cos x + b1 * sin x + a2 * cos (2x) + b2 * sin (2x) + …
Welches sind die Voraussetungen für den Satz über Euler-Fouriersche Formeln?
Seien a0, a1… und b1, b2, … reelle Folgen und
1/2 * a0 + a1 * cos x + b1 * sind x + …
eine trigonometrische Reihe, die für x aus ]-pi, pi] gleichmäßig gegen die Funktion f: ]-pi, pi] → R konvergiere.
Wie lautet der Satz über Euler-Fouriersche Formeln?
Unter den genannten Voraussetzungen gelten:
- ak = <f, Ck> und
- bk = <f, Sk>.
- Insbesondere gilt für a0:
Wie sind Fourierreihen definiert?
Sei f: ]-pi, pi] → R eine auf ]-pi, pi] Riemann-integrierbare Funktion. Setzt man:
ak = <f, Ck> mit k aus N0 und bk = <f, Sk> mit k aus N, dann heißt die aus den ak und bk gebildete trigonometrische Reihe die Fourierreihe von f und die ak und bk Fourierkoeffizienten von f.
Welches sind die Voraussetzungen für die Besselsche Ungleichung?
Sei f: ]-pi, pi] → R eine auf ]-pi, pi] Riemann-integrierbare Funktion, (a0, a1, …) und (b1, b2, …) die Folgen der Fourierkoeffizienten von f.
Was besagt die Besselsche Ungleichung?
Unter den angegebenen Voraussetzungen gilt:
Welches sind die Voraussetzungen für Aussagen über Teilsummen von Fourierreihen und dem n-ten Dirichletkern?
Sei f: R → R eine 2pi-periodische Funktion und sei die Einschränkung von f auf ]-pi, pi] Riemann-integrierbar auf ]-pi, pi] und die Funktion sn: R → R für n aus N0 die n-te Teilsumme der Fourierreihe von f mit:
s0 := ½ * a0.
Welche Aussagen lassen sich zu Teilsummen von Fourierreihen und dem n-ten Dirichletkern machen? Insbesondere wie ist der n-te Dirichletkern definiert?
Unter den angenommen Voraussetzungen gilt:
