Analysis - KE 5 (Integration)

Unter den genannten Voraussetzungen gilt:

• Für jedes c aus I heißt die Funktion F: I → R definiert durch das Integral über f(t) dt von c bis x ein unbestimmtes Integral von f.
• Eine Funktion F: I → R heißt eine Stammfunktion von f, wenn F differenzierbar ist und F⁽¹⁾ = f gilt.

Sei I := [a, b] ein abgeschlossenes Intervall in R mit a < b, f: I → R Riemann-integrierbar auf I und F ein unbestimmtes Integral von f.

Unter den genannten Voraussetzungen gilt:

• Ist f in x₀ aus I stetig, so ist F in x₀ differenzierbar und es ist F⁽¹⁾(x₀) = f(x₀). Ist also f stetig auf I, so besitzt f eine Stammfunktion F. Jedes unbestimmte Integral von f ist eine solche Stammfunktion.

Sei I ein abgeschlossenes Intervall in R mit mehr als einem Punkt und f: I → R,g: I → R beide stetig differenzierbar auf I.

Es gilt:

Seien I,J Intervalle in R mit jeweils mehr als einem Punkt, f: I → R stetig, phi: J → R stetig differenzierbar und sei phi(J) eine Teilmenge von I.

Es gilt:

Seien I, J Intervalle in R mit jeweils mehr als einem Punkt, f: I → R stetig, phi: J → I stetig differenzierbar und injektiv mit phi(J) = I und phi^-1 die Umkehrfunktion von phi.

Es gilt: 

Sei I := [a, b] ein abgeschlossenes Intervall in R mit a < b, f: I → R stetig auf I.

Unter den genannten Voraussetzungen gibt es mindestens ein x* aus ]a, b[, so dass:

(b - a)^-1 * ( F(b) - F(a) ) = f(x*)

Sei M eine nichtleere Teilmenge von Rⁿ, G := M x [a, b]  = { (^x_t) aus Rⁿ⁺¹ | x aus Rⁿ, t aus [a, b] } mit a,b aus R und a < b, K: G → R, (^x_t) → K(^x_t) eine auf G stetige Funktion.

Unter den genannten Voraussetzungen ist F: M → R eine auf M stetige Funktion, definiert durch:

Sei M eine Teilmenge von Rⁿ, a aus M, b aus R, G := M x [b, unendlich[ = { (^x_t) aus Rⁿ⁺¹ | x aus Rⁿ, t aus [b, unendlich[ }, K: G → R, (^x_t) → K(x, t) eine stetige Funktion, so dass das  zugehörige Parameterintegral F für jedes x aus M konvergiert, gibt es eine Folge (T_k) in ]b, unendlich[ mit T_k → unendlich für k → unendlich und eine Umgebung U von a, so dass die durch F_k wie unten definierte Funktionenfolge gleichmäßig auf U geschnitten M konvergiert.

Unter den genannten Voraussetzungen ist die Funktion F: M → R stetig in a.

Sei M eine nichtleere Teilmenge von Rⁿ, G := M x [a, b] mit a, b aus R und a < b, K: G → Rⁿ⁺¹, (^x_t) → K(^x_t) stetig auf G und die partiellen Ableitungen  D₁K, … , D_nK nach den Koordinaten x₁, … , x_n existieren und sind stetig.

Unter den genannten Voraussetzungen ist:

1/2 * a₀ + a₁ * cos x + b₁ * sin x + a₂ * cos (2x) + b₂ * sin (2x) + … 

Seien  a₀, a₁… und b₁, b₂, … reelle Folgen und

1/2 * a₀ + a₁ * cos x + b₁ * sind x + …

eine trigonometrische Reihe, die für x aus ]-pi, pi] gleichmäßig gegen die Funktion f: ]-pi, pi] → R konvergiere.

Unter den genannten Voraussetzungen gelten:

• a_k = <f, C_k> und
• b_k = <f, S_k>.
• Insbesondere gilt für a₀:

Sei f: ]-pi, pi] → R eine auf ]-pi, pi] Riemann-integrierbare Funktion. Setzt man:

a_k = <f, C_k> mit k aus N₀ und b_k = <f, S_k> mit k aus N, dann heißt die aus den a_k und b_k gebildete trigonometrische Reihe die Fourierreihe von f und die a_k und b_k Fourierkoeffizienten von f.

Sei f: ]-pi, pi] → R eine auf ]-pi, pi] Riemann-integrierbare Funktion, (a₀, a₁, …) und (b₁, b₂, …) die Folgen der Fourierkoeffizienten von f.

Unter den angegebenen Voraussetzungen gilt:

Sei f: R → R eine 2pi-periodische Funktion und sei die Einschränkung von f auf ]-pi, pi] Riemann-integrierbar auf ]-pi, pi] und die Funktion s_n: R → R für n aus N₀ die n-te Teilsumme der Fourierreihe von f mit:

s₀ := ½ * a_0.

Unter den angenommen Voraussetzungen gilt: