Analysis
Folgen und Grenzwerte
Folgen und Grenzwerte
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Cartes-fiches
Definition einer Folge
Unter einer Folge (an)n komplexer oder reeller Zahlen versteht man eine Funktion.
Was ist eine konvergente Folge?
Eine Folge (an)nEN heißt konvergent, wenn es eine Zahl aEK gibt, sodass gilt:
Für alle e>0 existiert ein NeEN: |an-a| < e für alle n>Ne
a heißt Grenzwert der Folge
Bedeutung: Beliebig nahe am Grenzwert a gibt es immer noch unendlich viele Folgeglieder.
Was ist eine Nullfolge?
Eine Folge deren Grenzwert a gleich 0 ist.
Was ist eine divergente Folge?
Eine Folge ist divergent, wenn sie nicht konvergent ist.
Eine Folge ist bestimmt divergent, wenn ihr Grenzwert gegen +-unendlich geht
Was ist asymtotische Äquivalenz?
Zwei Folgen sind asymtotisch äquivalent, wenn
limn->unendlich(an/bn) = 1 für n-> unendlich
Polynome gleichen Grades und mit gleichen Leitkoeffizienten sind asymtotisch äquivalent.
Beschränktheit einer Folge
Eine Folge heißt beschränkt, wenn es ein sER+ gibt mit |an| <= s für alle nEN
Was bedeutet monoton wachsend bei einer Folge?
Was bedeutet monoton fallend?
Eine reellwertige Folge heißt monoton wachsend, wenn an <= an+1 für alle nEN
fallend: an >= an+1 für alle nEN
Jede beschränkte, monton wachsende (fallende) reellwertige Folge konvergiert gegen das Supremum (Infimum) der Folgeglieder.
Welcher Folge gehört der Grenzwert e an?
(1+ 1/n)n
Was ist ein Häufungspunkt?
Eine Zahl hEC (oder R) heißt Häufungspunkt einer Folge, wenn in jeder e-Umgebung von h unendlich viele Folgeglieder der Folge liegen.
Eine konvergente Folge besitzt nur einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert.
Was besagt der Satz von Bolzano-Weierstrass?
Jede beschränkte Folge komplexer oder reeller Zahlen besitzt einen Häufungspunkt.
Jede reellwertige beschränkte Folge besitzt eine größten (limes superior) und einen kleinsten (limes inferior) Häufungspunkt.
-> jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge
Wann heißt eine Folge Cauchy-Folge bzw. Fundamentalfolge?
Wenn gilt:
Für alle e>0 existiert ein NEN: |an-am| < e für alle n>N
Bedeutung: ab einem gewissen Folgen-Index N kuscheln sich die Glieder einer Cauchy-Folge aneinander.
Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.
