Analesys
Dies Das
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Cartes-fiches
Wann ist eine Geometrische Rheie diver/konvergent
|q|>= 1 -> divergent
|q|< 1 -> konvergent & somit Nullfolge
Wie Stellt sich der Grenzwert bei einer konvergenten- Geometrischen Rheie auch da?
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}q^k = \lim_{x \to \infty} S_n \cfrac{1}{1-q}\)
Anderre Darstellungsweise:
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} q^k = \cfrac{1-q^{n+1}}{1-q} \)
Gegen was Konvergiert folgende Harmonische Rheie?
∑ 1 = 1 + 1 + 1 + 1 +.......
n^x 2^x 3^x 4^x
konvergiert bei x>1
Was sagt das Leibnitzkriterium aus?
wenn An eine monotone Nullfolge ist, dann
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n * a_n\) -> Konvergent
Wann ist \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) Absolute Konvergenz
Wenn
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) Konvergent ist und
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} |a_n| \) auch Konverget ist
Was sagt das Majorantenkriterium aus?
\(|a_n| \leq|b_n|\)
i)wenn \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n\) abs Konvergent, dann auch \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\)
ii)wenn \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|\) divergent, dann auch \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|b_n|\)
Was sagt das Quotientenkriterium aus?
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n , 0 < θ < 1\)\(|\cfrac{a_n+1}{a_n}| \leq θ\)
=> Reihe \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n \) absolut konverget
Welche aussage kann für die verscheidnene Ergebnisse von Teta(den ergebnissen)beim dem Quotientenkriterium und Wurzelkriterium getroffen werden?
θ < 1 -> abs. Konvergent
θ = 1 -> Keine Aussage möglich
θ > 1 -> divergent
Wie Lautet das Wurtzelkriterium
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\), 0 < θ < 1
\(\sqrt{ |a_n|}\leq θ\)
=> ist Reihe \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) absolut konvergent
Was sagt die Liniarkombination konvergenter Reihen aus?
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n \wedge \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)konvergent dann
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\lambda a_n +\mu b_n)\) auch Konvergent \((\lambda, \mu\in R)\)
Es gilt:
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(\lambda a_n+\mu b_n) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\lambda a_n + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \mu b_n\)
Nenne die wichtigesen Pukte von cos(x)
\((0),(\frac{\pi}{4}),(\frac{\pi}{2}),(\pi)\)
\((0)=(1),(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{4}},(\frac{\pi}{2})=0,(\pi)=-1\)
nenne die wihtigesten stellen von sin(x)
\((0),(\frac{\pi}{4}),(\frac{\pi}{2}),(\pi)\)
\((0)=(0),(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{4}},(\frac{\pi}{2})=1,(\pi)=0\)
nenne die wichtigesten stellen von tan
\(tan(0),\lim\limits_{x \nearrow\frac{\pi}{2} }tan(x),\lim\limits_{x\searrow\frac{\pi}{2} }tan(x)\)
\(tan(0)=0,\lim\limits_{x \nearrow\frac{\pi}{2} }tan(x)=-\infty,\lim\limits_{x\searrow\frac{\pi}{2} }tan(x)=\infty\)
wie lautetdie 3. Binomische Formel?
\((a-b)*(a+b) = a^2-b^2\)
wie lautet die 1 und 2 Binomische formel?
\((a+b)^2=a^2+2ab^2+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab^2+b^2\)
was ist e?
Eulerische Zahl
\(e=\lim\limits_{x\to\infty }(1+\frac{1}{n})^n\) ≈2,7
wie lautet die Harmoische Reihe und ist die Divergent oder Konvergent?
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)und sie ist Divergent
somit meins für Minorantenkriterium genutzt
welche Rheie wird i.d.r. für das Majorantenkriterium genutzt?
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^a},a>1\) und es ist Konvergent
wie wir der Binomialkoefizient umgeschrieben für \( \binom{n}{k} \)
\( \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k} \)
wie lautet die Kettenregel?
\(f(x)=g(h(x)) \to f'(x)=g'(h(x))*h'(x)\)
Wie lautet die Partielle Integration?
\(∫f′(x)g(x)dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx\)
Wie lautet die Partielle Integration?
\(f(x)=g(x)⋅h(x)→f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)\)
Wie lautet die Substitutionsregel?
\(∫f (g(x))g'(x) dx = F(g(x))\)
Wie Lautet das Kriterium von Sylvester?
Prüfen der Definitheit
1. Alle Hauptmayoranten sind Postiv => positiv definit=> Min
2. H1 negativ, Dann alternierend =>negativ definit=> Max
3. Sonst =>indefinit => Sattelpunkt
Wie wird die Determinatne Bestimmt in ener 1x1 oder 2x2 Matrix ?
a b
c d
1x1= a
2x2= a*d-b*c
Wie wird die Richtungsableitung gebildet?
\(\langle \bigtriangledown f(x,y),\vec{v}\rangle\)
\(\langle \left(\begin{array}{c} a \\ c \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} b \\ d \end{array}\right)\rangle= a*b+c*d\)
Wo wird der Vektor und wo der Punkt in der Richtungsableitung verwendet?
Der Punkt wird bei f(x,y) für x und y eingefügt
Der Vektor muss normiert werden und dann wird aus f(x,y) und dem normierten Vektor das Skalarprodukt gebildet.
Welche Notwendige bedingung gibt es für lokale Extremum?
gradient von f(x,y) muss gleich null sein
wie lautet die Kettenregel
\(f(x)= g(h(x)) \to f'(x)=g'(h(x))*h'(x)\)
Wie lautet die Quotientenregel?
\(f(x) = {g(x) \over h(x)} \to f'(x) = {h(x)*g'(x)-g(x)*h'(x) \over h(x)^2}\)
Wie Lautet die Produktregel?
\(f(x) = g(x)*h(x) \to f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x) \)
Wie Lautet die pq Formel?
\(x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{4})^2-q} \)
wie wird die Monotonie bechrieben?
in intervallen zwischen den hoch oder tiefpunkten.
z.B. \((-\infty,1)(1,\infty)\)
wenn 1 ein Tiefpunkt ist
Wann ist eine Funktion Differenzeirbar an einer stelle?
Wenn beide Telfunktionen der Funktion an dieser stelle den gleichen f'(x) abgeleiteten wert haben
\(a^x\) mit e darstellen
\(e^{x*log(a)}\)
\(e^x\) in Limes schreibweise
\(\lim_{x \to \infty} (\frac{x}{n})^n\)
was ist ln(x) intigriert?
x*ln(x) -x
