Algebra
MKT05
MKT05
Kartei Details
| Zusammenfassung | Diese Lernkarten decken fortgeschrittene algebraische Konzepte auf Universitätsniveau ab, mit Schwerpunkt auf Gleichungen, Funktionen und deren Graphen. Sie behandeln Exponential- und Logarithmusfunktionen, Potenzfunktionen, Wurzelgleichungen und biquadratische Gleichungen, sowie deren Lösungsmethoden und Eigenschaften. Die Karteikarten sind ideal für Studierende der Mathematik, die ihr Verständnis von algebraischen Funktionen vertiefen und ihre Fähigkeiten im Lösen komplexer Gleichungen verbessern möchten. |
|---|---|
| Karten | 29 |
| Lernende | 15 |
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 10.12.2013 / 18.01.2021 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/algebra_
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Wie können Sie – unter Berücksichtigung des Satzes von Vieta – eine quadratische
Gleichung der Form x2 + px + q = 0 in ein Produkt von Linearfaktoren
verwandeln?
Die Gleichung x2 + px + q = 0 besitzt die beiden Lösungen x1 und x2. Setzt man p = – (x1 + x2) und q = x1 · x2, erhält man aus der Ausgangsgleichung die Produktform (x – x1) · (x – x2) = 0.
Eine Lösung der quadratischen Gleichung
x2 + px + q = 0 sei x1! Welches
Ergebnis erhalten Sie dann bei der Division
(x2 + px + q) : (x – x1)?
Die Division der Gleichung x2 + px + q durch (x – x1) ergibt ohne Rest (x – x2).
Was versteht man unter Faktorenzerlegung?
Faktorenzerlegung ist die Umwandlung einer Summe in ein Produkt.
Welche Vorteile bietet die Faktorenzerlegung?
Manchmal lässt sich eine Summe auch als Produkt darstellen und bei einem Quotienten durch kürzen vereinfachen. Die Zerlegung in Faktoren ist auch dann von Vorteil, wenn die Nullstellen einer Funktion bestimmt werden sollen.
Geben Sie verschiedene Möglichkeiten an, die Ihnen zur Faktorenzerlegung
einfallen.
Folgende Rechenregeln helfen, eine Summe in Faktoren zu zerlegen: a) an + bn – n = n (a + b – 1) b) a2 + 2ab + b2 = (a + b) (a + b) c) a2 – 2ab + b2 = (a – b) (a – b) d) a2 – b2 = (a + b) (a – b) e) x2 + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)
Geben Sie die Definition einer Potenzfunktion an!
Die Gleichung einer Potenzfunktion lautet y = xn, wobei n eine reelle Zahl ist.
2.2 Beschreiben Sie den Graphen einer Potenzfunktion, wenn der Exponent n
eine
a) natürliche
b) negative ganze
c) gebrochene
Zahl darstellt.
2.2 a) Parabeln n-ter Ordnung b) Hyperbeln n-ter Ordnung c) Für y = x1/n, n N erhält man eine Kurve, die sich durch Spiegelung einer Parabel n-ter Ordnung an der 1. Winkelhalbierenden ergibt.
Welche Symmetrie besitzt die Kurve einer Potenzfunktion y = xn (y = x–n)
bei geradem bzw. ungeradem Exponenten?
Gerader Exponent: achsensymmetrische Parabel (Hyperbel) Ungerader Exponent: punktsymmetrische Parabel (Hyperbel)
Wie erhält man zu einer gegebenen Funktion die Umkehrfunktion?
1. Vertauschung von Definitions- und Wertebereich 2. Vertauschung der Variablen
Erläutern Sie: „Die Funktion f ist umkehrbar.“
„Die Funktion f ist umkehrbar“ heißt, dass die Umkehrzuordnung wieder eine Funktion ist.
Inwiefern kann man aus dem Bild einer Funktion ablesen, ob sie umkehrbar
ist?
Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn der zugehörige Graph mit jeder beliebigen Parallele zur x-Achse nur einen Schnittpunkt gemeinsam hat.
Wie lässt sich der Graph zu y = (x – e)n + d relativ einfach aus y = xn
herleiten?
Man zeichnet den Graphen von y = xn und verschiebt anschließend das Koordinatensystem in x-Richtung um – e Einheiten und in y-Richtung um – d Einheiten. Die Verschiebung erfolgt jeweils entgegengesetzt zum Vorzeichen von e bzw. d (z. B. d = +3: Verschie
Was sind Wurzelgleichungen?
Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Radikanden einer oder mehrerer Wurzeln auftritt.
Erläutern Sie den Lösungsweg bei Wurzelgleichungen.
Wurzelgleichungen werden gelöst, indem man bei mehreren vorhandenen Wurzeln diese zuerst gleichmäßig auf beide Gleichungsseiten verteilt, dann entsprechend potenziert, die verbleibende Wurzel isoliert und schließlich nochmals potenziert.
Geben Sie die allgemeine Form einer biquadratischen Gleichung und die
Lösungsmethode an.
Eine biquadratische Gleichung hat die Form x4 + px2 + q = 0. Sie wird durch die Substitution x2 = z auf die quadratische Gleichung z2 + pz + q = 0 mit den beiden Lösungen z1 und z2 zurückgeführt.
Nennen Sie die beiden Sonderfälle von kubischen Gleichungen, die sich
relativ einfach lösen lassen.
(1) x3 + t = 0 (2) x3 + r x2 + sx = 0 Die Lösungen sind zu (1) x = ; t < 0 oder x = – ; t > 0 (2) x1 = 0 und die beiden Lösungen x2, x3 von x2 + rx + s = 0
Geben Sie die Gleichung einer Exponentialfunktion mit dem Wachstumsfaktor
a an.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet: y = c · ak x
Wie kann man die Konstante c in y = c · ak x interpretieren?
c stellt den Anfangswert der Exponentialfunktion, d. h. den Funktionswert für x = 0, dar.
Eine Exponentialkurve verläuft oberhalb der x-Achse und fällt mit wachsendem
x. Für welche Werte von a tritt dieser Kurvenverlauf auf?
Der geschilderte Kurvenverlauf tritt für 0 < a < 1 auf.
Vergleichen Sie die Lage der Funktionsgraphen von y = c · ak x und
y = c · a–kx.
Beide Kurven liegen symmetrisch zur y-Achse.
Geben Sie die typische Eigenschaft einer Exponentialfunktion an.
Die Grundeigenschaft jeder Exponentialfunktion y = c · a^kx lautet: Vergrößert sich x um r, so wird der Funktionswert mit a^kr multipliziert.
Wie lautet die Funktionsgleichung der Logarithmusfunktion zur Basis a?
Die Funktionsgleichung der Logarithmusfunktion zur Basis a lautet: y = log a x.
Wie verläuft die Logarithmuskurve mit einer Basis 0 < a < 1?
Mit steigenden x-Werten fällt die Kurve vom I. zum IV. Quadranten. Asymptote ist die positive y-Achse.
Erklären Sie den Kurvenverlauf, wenn die Basis größer als 1 ist.
Mit wachsenden x-Werten steigt die Kurve vom IV. zum I. Quadranten an. Je größer die Basis ist, umso näher verläuft die Kurve an der positiven x- Achse. Asymptote ist die negative y-Achse.
In welchem Punkt schneiden die Logarithmuskurven die x-Achse?
Alle Graphen der Logarithmusfunktion zu einer beliebigen Basis schneiden die x-Achse in (1; 0).
Geben Sie den Definitions- und Wertebereich einer Logarithmusfunktion
an.
Für den Definitionsbereich gilt: 0 < x < + und für den Wertebereich: – < y < +
Welche Vorteile bietet die Anwendung eines logarithmischen Maßstabes
auf den Koordinatenachsen?
Zeichnet man die Kurven zu Exponential- und Logarithmusfunktionen auf halblogarithmisches Papier, so erhält man Geraden. Auch die Graphen von Wurzel- und Potenzfunktionen ergeben Geraden, sofern zum Zeichnen ganzlogarithmisches Papier verwendet wird.
Nennen Sie je ein wesentliches Merkmal für Exponentialgleichungen und
logarithmische Gleichungen.
Bei Exponentialgleichungen steht die Unbekannte im Exponenten und bei logarithmischen Gleichungen kommt die Unbekannte in einem logarithmischen Ausdruck vor.
Wie können einfache Exponentialgleichungen gelöst werden?
Einfache Exponentialgleichungen können durch Exponentenvergleich gelöst werden; Voraussetzung dafür ist, dass die Terme auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Basis besitzen. Bei verschiedener Basis werden beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
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