Algebra

Die Division der Gleichung x2 + px + q durch (x – x1) ergibt ohne Rest (x – x2).

Faktorenzerlegung ist die Umwandlung einer Summe in ein Produkt.

Manchmal lässt sich eine Summe auch als Produkt darstellen und bei einem Quotienten durch kürzen vereinfachen. Die Zerlegung in Faktoren ist auch dann von Vorteil, wenn die Nullstellen einer Funktion bestimmt werden sollen.

Folgende Rechenregeln helfen, eine Summe in Faktoren zu zerlegen: a) an + bn – n = n (a + b – 1) b) a2 + 2ab + b2 = (a + b) (a + b) c) a2 – 2ab + b2 = (a – b) (a – b) d) a2 – b2 = (a + b) (a – b) e) x2 + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Die Gleichung einer Potenzfunktion lautet y = xn, wobei n eine reelle Zahl ist.

2.2 a) Parabeln n-ter Ordnung b) Hyperbeln n-ter Ordnung c) Für y = x1/n, n  N erhält man eine Kurve, die sich durch Spiegelung einer Parabel n-ter Ordnung an der 1. Winkelhalbierenden ergibt.

Gerader Exponent: achsensymmetrische Parabel (Hyperbel) Ungerader Exponent: punktsymmetrische Parabel (Hyperbel)

1. Vertauschung von Definitions- und Wertebereich 2. Vertauschung der Variablen

„Die Funktion f ist umkehrbar“ heißt, dass die Umkehrzuordnung wieder eine Funktion ist.

Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn der zugehörige Graph mit jeder beliebigen Parallele zur x-Achse nur einen Schnittpunkt gemeinsam hat.

Man zeichnet den Graphen von y = xn und verschiebt anschließend das Koordinatensystem in x-Richtung um – e Einheiten und in y-Richtung um  – d Einheiten. Die Verschiebung erfolgt jeweils entgegengesetzt zum Vorzeichen von e bzw. d (z. B. d = +3: Verschie

Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Radikanden einer oder mehrerer Wurzeln auftritt.

Wurzelgleichungen werden gelöst, indem man bei mehreren vorhandenen Wurzeln diese zuerst gleichmäßig auf beide Gleichungsseiten verteilt, dann entsprechend potenziert, die verbleibende Wurzel isoliert und schließlich nochmals potenziert.

Eine biquadratische Gleichung hat die Form x4 + px2 + q = 0. Sie wird durch die Substitution x2 = z auf die quadratische Gleichung z2 + pz + q = 0 mit den beiden Lösungen z1 und z2 zurückgeführt.

(1) x3 + t = 0 (2) x3 + r x2 + sx = 0 Die Lösungen sind zu (1) x = ; t < 0 oder x = – ; t > 0 (2) x1 = 0 und die beiden Lösungen x2, x3 von x2 + rx + s = 0

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet: y = c · ak x

c stellt den Anfangswert der Exponentialfunktion, d. h. den Funktionswert für x = 0, dar.

Der geschilderte Kurvenverlauf tritt für 0 < a < 1 auf.

Beide Kurven liegen symmetrisch zur y-Achse.

Die Grundeigenschaft jeder Exponentialfunktion y = c · a^kx lautet: Vergrößert sich x um r, so wird der Funktionswert mit a^kr multipliziert.

Die Funktionsgleichung der Logarithmusfunktion zur Basis a lautet: y = log a x.

Mit steigenden x-Werten fällt die Kurve vom I. zum IV. Quadranten. Asymptote ist die positive y-Achse.

Mit wachsenden x-Werten steigt die Kurve vom IV. zum I. Quadranten an. Je größer die Basis ist, umso näher verläuft die Kurve an der positiven x- Achse. Asymptote ist die negative y-Achse.

Alle Graphen der Logarithmusfunktion zu einer beliebigen Basis schneiden die x-Achse in (1; 0).

Für den Definitionsbereich gilt: 0 < x < +  und für den Wertebereich:  –  < y < +

Zeichnet man die Kurven zu Exponential- und Logarithmusfunktionen auf halblogarithmisches Papier, so erhält man Geraden. Auch die Graphen von Wurzel- und Potenzfunktionen ergeben Geraden, sofern zum Zeichnen ganzlogarithmisches Papier verwendet wird.

Bei Exponentialgleichungen steht die Unbekannte im Exponenten und bei logarithmischen Gleichungen kommt die Unbekannte in einem logarithmischen Ausdruck vor.

Einfache Exponentialgleichungen können durch Exponentenvergleich gelöst werden; Voraussetzung dafür ist, dass die Terme auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Basis besitzen. Bei verschiedener Basis werden beide Seiten der Gleichung logarithmiert.