VO Theo 1

\(S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t)\,dt\)

\(\delta S = 0,\quad \delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0\)
Als Variationen sind Bahnen zugelassen, so dass Anfangs und Endpunkt x(t)=x festgehalten wird 
\(\frac{\partial L}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\Bigr)=0\)

Beim durchstossen ist der Tangentialimpuls erhalten. \(v_i\,p_i = \text{const.}\)

geodätische Linie minimiert das Funktional

\(S[x(l)]= \int_{\vartheta_1}^{\vartheta_2} \sqrt{\,g_{ij}\bigl(x(l)\bigr)\, \frac{dx^i}{dl}\, \frac{dx^j}{dl} }\;dl\)

Parametrisierung durch die Bogenlänge

Minimale Kopplung \(L = \frac{m}{2}\,\dot{\mathbf r}^2 + \frac{q}{c}\,\dot{\mathbf r}\cdot\mathbf A(\mathbf r,t) - q\,\phi(\mathbf r,t)\)

Felder \(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A,\quad\mathbf E = -\nabla\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf A}{\partial t}\)

Umeichen \(\mathbf A \to \mathbf A + \nabla\chi,\quad\phi \to \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial\chi}{\partial t}\;\;\Longrightarrow\;\;L \to L + \frac{q}{c}\frac{d\chi}{dt}\)

 \(\delta_\omega q_k = \vartheta_\omega q_k,\quad\delta_\omega L = \frac{d\chi_\omega}{dt}\;\;\Longrightarrow\;\;I_\omega = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\,\vartheta_\omega q_i - \chi_\omega\)

X ist nen A ohne mittelstrich

Naturgesetze sind in allen Inertialsystem gleich, die Gleichungen sind forminvariant
(kovariant).
Es gibt eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit c.

Minkovski Metrik \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\)

Lorentzgruppe \(O(1,3) = \{\Lambda\mid \Lambda^{T}\,\eta\,\Lambda=\eta\}\)

Lorentzboost \(\begin{aligned}t' &= \gamma (t - \tfrac{v\,x}{c^2}),\\x' &= \gamma (x - v\,t),\;y'=y,\;z'=z,\;\gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{aligned}\)

1=(Λ00)²-(Λ00)²-(Λ10)²-(Λ20)²-(Λ30)² < (Λ00)²

\(p^\mu = m\,\frac{dx^\mu}{d\tau} = m\,\gamma\,(c,\mathbf v)\)

\(p_\mu\,p^\mu = m^2\,c^2\)

\(p^0 = \frac{E}{c},\quad E = \gamma\,m\,c^2\)

\(\frac{dp^\mu}{d\tau} = \frac{q}{c}\,F^{\mu\nu}\,u_\nu\)

Faraday Tensor F und der Ladung q

Starr bedeutet, dass alle abstände gleich sind. 

\(Q \simeq \mathbb R^3 \times SO(3)\)

\(\begin{aligned}I_1\,\dot\omega_1 &= (I_2 - I_3)\,\omega_2\,\omega_3,\\I_2\,\dot\omega_2 &= (I_3 - I_1)\,\omega_3\,\omega_1,\\I_3\,\dot\omega_3 &= (I_1 - I_2)\,\omega_1\,\omega_2.\end{aligned}\)

 \(\dot\omega_3=0\), also \(ω3= konstant\). Die Symmetrieachse präzediert um den festen Drehimpulsvektor 

\(H(q,p,t)= \sum_{i=1}^f p_i\,\dot q_i - L(q,\dot q,t)\)

\(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\)

Konvexität garantiert, dass die Geschwindigkeiten durch Auflösen nach q˙ i eliminiert werden können 

\(S[q,p] = \int_{t_1}^{t_2}\Bigl(p_i\,\dot q_i - H(q,p,t)\Bigr)\,dt\)

Kanonische Gleichungen.
\(\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i},\quad\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\)

\(\mathrm{Sp}(2f,\mathbb R)= \{S\mid S^T J S = J\},\quadJ = \begin{pmatrix}0&I_f\\-I_f&0\end{pmatrix}\)

J ist selbst symplektisch

\(∂(Q,P)/∂(q,p)∈Sp(2f,R)\)

\(X_H = J\,\nabla H\)

Hamiltonscher Fluss ist symplektisch, d.h. Abbildung x 7→ x(t) ist kanonisch

\(\{F,G\}= \sum_i\bigl(\partial_{q_i}F\,\partial_{p_i}G -\partial_{p_i}F\,\partial_{q_i}G\bigr)\)

Erhaltungsgröße {H, F} = 0
{F, {G, H}} + zyklisch = 0
{H, {F, G}} = −{F, {G, H}} − {G, {H, F}} = 0 + 0

Galilei Gruppe:

Raum Translation (r -> r + a): 3 Parameter
Raum Rotation (r -> D * r): 3 Parameter
Zeit Translation (t -> t + t_0): 1 Parameter
Galilei boost (r-> r + v*t; t -> t): 3 Parameter

Insgesamt also 10 Parameter

Schwerpunktskoordinaten:

\(R = {m_1r_1 + m_2r_2 \over m_1+m_2}\)
Relativkoordinaten:\(r = r_1 - r_2\)
Bewegungsgleichung für den Fall \(F_{12} = -F_{21}\)-> \(R"(t)=0\)\({m_1m_2 \over (m_1r_1+m_2r_2)}r"(t)=F_{12}\)

\(v=v ′ +V+Ω×r ′ \)
v = Geschwindigkeit im Intertialsystem
v` = Relativgeschwindigkeit (Geschwindigkeit relativ zum bewegten system)
V = Geschwindigkeit des Ursprungs (Geschwindigkeit des bewegten Systems gegenüber dem Inertialsystem )
Ω×r = übertragende  Geschwindigkeit
 

\(ma ′ =−m[ R¨ +2Ω×v ′ +Ω×(Ω×r ′ )+ Ω˙ ×r ′ ]\)
Führungskraft: Wenn sich das Bezugssystem mit einer linearen Beschleunigung relativ zum Inertialsystem bewegt
Corioliskraft: Tritt in einem rotierendem Bezugssystem auf wenn sich ein Objekt relativ zu diesem bewegt
Zentrifugalkraft: Tritt in einem Rotierendem Bezugsystem auf auch wenn das Objekt ruht
Eulerkraft: Kommt zum tragen wenn sich die Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems zeitlich ändert

Ellipsen um den Ursprung im Uhrzeigersinn durchlaufen.
Mit Auslenkung auf der X-Achse und Geschwindigkeit auf der Y-Achse.
Lange Halbachse auf der X Achse
\(( {x\over A} ) ^2 +( {v\over Aω} ) ^2 =1\)

\(m x¨ +kx=0\)

kubische und  quadratische Anharmonizität  führen  zur Anregung der ersten Oberschwingung, der Verschiebung der Mittelwerts, sowie zur Frequenzverschiebung.

Erhaltungsgrößen im Zentralfeld: Energie und Drehimpuls
E=T+U(r) , L =r  × p =r  × mr˙
Keplerproblem: Runge-Lenz-Vektor führt im gebundenen Fall zu geschlossenen Bahnen
 

\(F_{A→B}=−F_{B→A}\)
Wirkt ein Körper A mit einer Kraft auf einen Körper B, so wirkt B mit einer gleich großen, aber entgegengesetzten Kraft auf A.

Die Kraft aus einem Potentialfeld stammt, also
F(r)=−∇V(r)
Notwendige Bedingung für das Kraftfeld:
∇×F=0
Gegenbeispiel: Lorentzkraft
 

F=ma

- Der  Energiesatz für ein System von N Massenpunkten  besagt, dass die zeitliche Änderung der Gesamtenergie durch die Arbeit der externen Kräfte gegeben ist.  
- Falls keine externen Kräfte wirken K_alpha , bleibt die Gesamtenergie E = T + U erhalten.  

\(\frac{d}{dt} \left( T + U \right) = \sum_{\alpha=1}^{N} \dot{\mathbf{r}}_\alpha \cdot \mathbf{K}_\alpha.\)