VO Theo 1

\(m x¨ +kx=0\)

kubische und  quadratische Anharmonizität  führen  zur Anregung der ersten Oberschwingung, der Verschiebung der Mittelwerts, sowie zur Frequenzverschiebung.

Erhaltungsgrößen im Zentralfeld: Energie und Drehimpuls
E=T+U(r) , L =r  × p =r  × mr˙
Keplerproblem: Runge-Lenz-Vektor führt im gebundenen Fall zu geschlossenen Bahnen
 

\(F_{A→B}=−F_{B→A}\)
Wirkt ein Körper A mit einer Kraft auf einen Körper B, so wirkt B mit einer gleich großen, aber entgegengesetzten Kraft auf A.

Die Kraft aus einem Potentialfeld stammt, also
F(r)=−∇V(r)
Notwendige Bedingung für das Kraftfeld:
∇×F=0
Gegenbeispiel: Lorentzkraft
 

F=ma

- Der  Energiesatz für ein System von N Massenpunkten  besagt, dass die zeitliche Änderung der Gesamtenergie durch die Arbeit der externen Kräfte gegeben ist.  
- Falls keine externen Kräfte wirken K_alpha , bleibt die Gesamtenergie E = T + U erhalten.  

\(\frac{d}{dt} \left( T + U \right) = \sum_{\alpha=1}^{N} \dot{\mathbf{r}}_\alpha \cdot \mathbf{K}_\alpha.\)

10 Erhaltungsgrößen: 
Zeitlicher Translationsinvarianz folgt Energieerhaltung E
Räumlicher Translationsinvarianz folgt Impulserhaltung p
Drehinvarianz folgt Drehimpulserhlatung L
Galilei-Invarianz folgt der Schwerpunktsatz R_s

1. Lagrange-Gleichungen 2. Art:
  \( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0.\)
2. Generalisierten Impulse:

   \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}.\)
 
3. Generalisierten Kräfte:
\(Q_i = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i}\)
4. Bedingung für die Auflösbarkeit:
\(\det \left( \frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i \partial \dot{q}_j} \right) \neq 0\)

\(f_k(q1_,q_2,…,q_f,t)=0,k=1,…,m\)

\(\sum_{i=1}^{f} \frac{\partial f_k}{\partial q_i} \delta q_i = 0, \quad \forall k = 1, \dots, m\).
 

\(\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \sum_{k=1}^{m} \lambda_k \frac{\partial f_k}{\partial q_i}, \quad \forall i = 1, \dots, f\).
 

Hierbei:
- L ist die Lagrange-Funktion des Systems,
- \(\lambda_k \) sind die Lagrange-Multiplikatoren, die als unbekannte Kräfte wirken und die Zwangsbedingungen sicherstellen,
- Die Terme \(\frac{\partial f_k}{\partial q_i}\) sind die Ableitungen der holonomen Zwangsbedingungen.

Physikalische Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren
- Sie repräsentieren die **Zwangskräfte**, die notwendig sind, um die Bewegung auf die erlaubten Bahnen zu beschränken.  
- Beispiel: In einem **Pendel** sorgt die Seilkraft dafür, dass das Pendel nicht nach außen fliegt – diese Kraft ist der Lagrange-Multiplikator.

Die tatsächliche Bahn eines Systems macht die Wirkung stationär:

\(\delta S = 0, \quad S = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt\)

Äquivalente Differentialgleichungen 
Das Prinzip führt zu den Lagrange-Gleichungen 2. Art:\(\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\)
Wirkung bei Kartenwechsel 
- Die Wirkung bleibt invariant, da sie ein Skalar ist.
- Das Prinzip der kleinsten Wirkung gilt in allen Koordinatensystemen.

Eichtransformation der Lagrangefunktion
Eine Änderung:

\(L' = L + \frac{d}{dt} M(q,t)\)

führt zu:

\(S' = S + M(q,t_2) - M(q,t_1)\)

hat aber keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen!

Anschlussbedingung: Parallelimpuls bleibt erhalten

\(S = \int \sqrt{g_{ij} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} } \, dt\)

Jacobi-Integral:
\(J = \sum_{i} p_i \dot{q}_i - L\)
-Bedingung für Erhaltung:
\(\frac{\partial L}{\partial t} = 0\)
-Physikalische Bedeutung:  
  - Falls L nicht explizit von der Zeit abhängt, bleibt J konstant.  
  - In konservativen Systemen entspricht J der Gesamtenergie E. 

- Koordinatentransformationen: \(q_i = q_i(Q,t)\) 
- Transformation der Lagrange-Funktion: \(L(Q, \dot{Q}, t) \to L'(q, \dot{q}, t)\)
- Transformation der Geschwindigkeiten: \(\dot{q}_i = \sum_j \frac{\partial q_i}{\partial Q_j} \dot{Q}_j + \frac{\partial q_i}{\partial t}\)
- Die Lagrange-Gleichung bleibt in der neuen Form erhalten, aber in den neuen Koordinaten.

 f=6, drei für die Translation und 3 für die Orientierung. Konfigurationsmannigfaltigkeit M = R3 × SO(3), also ein Vektor für die Position des Referenzpunktes und 3 Winkel für die Orien- tierung.

D = D(3)(Ψ)D(1)(Θ)D3(Φ)
Also Drehung um die 3 Achse um Φ dann um die neue 1 Achse dann wieder um die neue 3 Achse

Kinetische Energie der Rotation
\(T = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}^T I \boldsymbol{\omega}\)
- **Trägheitstensor für kontinuierliche Massenverteilung**:  
\( I_{ij} = \int_V \rho(\mathbf{r}) \left( r^2 \delta_{ij} - r_i r_j \right) dV\)
- **Einfachste Form**: In den Hauptträgheitsachsen ist I  diagonal.  
- **Drehimpuls**:  
 \(\mathbf{L} = I \boldsymbol{\omega}\)

- **Eulersche Gleichungen (kräftefreier starrer Körper):
 
  \(I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 - I_2) \omega_2 \omega_3 = 0\),
Und äquvalent für den Rest. 

- **Erhaltungsgröße für einen symmetrischen Körper I_1 = I_2   

\(L_3 = I_3 \omega_3 = \text{konstant}\)
Die Figurenache präzidiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die raumfeste 3-Achse 

Gesamtenergie, Drehimpuls um Raumfeste und Körperfeste 3-Achse

Platonisches Weltjahr: aufgrund der Abplattung der Erde bewirken Sonne (und Mond) eine Präzession der Erdachse.

- Die Lagrange-Funktion hängt von den verallgemeinerten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten ab.  
- Die Hamilton-Funktion hängt von den verallgemeinerten Koordinaten und den kanonischen Impulsen ab.  
- Die kanonischen Impulse werden definiert durch\(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\)
- Die Hamilton-Funktion erhält man durch die Legendre-Transformation:   \(H = \sum_{i} p_i \dot{q}_i - L\)-
Die lokale Auflösbarkeit ist gegeben, wenn die Hesse-Matrix \(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i \partial \dot{q}_j}\)regulär ist (Determinante ungleich null).

- Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lauten:  
 \(\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\)
- Sie beschreiben die zeitliche Entwicklung der verallgemeinerten Koordinaten \( q_i \) und Impulse \( p_i \).  
- Sie sind äquivalent zu den Lagrangeschen Gleichungen zweiter Ordnung.  
- Die Lagrange-Gleichungen lauten:  
 \(\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\)
 

- Das Jacobi-Prinzip der kleinsten Wirkung besagt, dass die Bahn eines Systems die Wirkung  

 \(S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt\)

  stationär macht.  

- Die Bedingung für die Extremale ist  \( \delta S = 0\)-

- Die symplektische Gruppe besteht aus allen Matrizen \( S \), die die Bedingung \(S^T J S = J\) erfüllen.  
- Das Produkt zweier symplektischer Matrizen ist wieder symplektisch, weil  

\((S_2 S_1)^T J (S_2 S_1) = J\)

\(X_H =J∇H\)

Naturgesetze sind in allen Inertialsystem gleich, die Gleichungen sind forminvariant (kovariant).
Es gibt eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit c.

- Der **relativistische Abstand** zwischen zwei Ereignissen ist gegeben durch:

\(s^2 = c^2 (t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2\)

- Je nach Vorzeichen unterscheidet man drei Bereiche:  
  - **Zeitartig** (\( s^2 > 0 \)): Ereignis innerhalb des Lichtkegels, kausaler Zusammenhang möglich.  
  - **Lichtartig** (\( s^2 = 0 \)): Ereignis auf dem Lichtkegel, Verbindung nur durch Lichtsignale.  
  - **Raumartig** (\( s^2 < 0 \)): Ereignis außerhalb des Lichtkegels, keine kausale Verbindung möglich.

Foto

Vierervektoren transformieren unter Lorentztransformationen nach:

  \( X'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} X^\nu\)

Vierergeschwindigkeit ist definiert als:

 \(U^\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} = \begin{bmatrix} \gamma c \\ \gamma v^1 \\ \gamma v^2 \\ \gamma v^3 \end{bmatrix}\)

- **Viererimpuls** ist definiert als:

\(P^\mu = m U^\mu = \begin{bmatrix} \gamma m c \\ \gamma m v^1 \\ \gamma m v^2 \\ \gamma m v^3 \end{bmatrix}\)

- **0-te Komponente des Viererimpulses** ist:

 \( P^0 = \frac{E}{c}\)

- Daraus folgt die **Energie-Impuls-Relation**:

\(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\)