Elemente der Zahlentheorie

Die Stufenschrift 

Die Vermeidung der Wiederholung von Zahlsymbolen

Die jeweilige Anzahl der Bündel wird mit Hilfe der Ziffern dargestellt. Dabei ist die Reihenfolge der bezifferten Stufen beliebig und nicht vorkommende Stufen werden nicht notiert 

Beispiel: 4023 = 4T 3E 2Z

E, Z, H, T, ...

Wenn man bei der Stufenschrift immer darauf achtet, die Stufen in absteigender Reihenfolge zu notieren, dann kann man die Stufenbezeichnungen auch weglassen 

Es gibt Ziffern von 0-9. 

Die Stufenzahlen werden durch wiederholte 10er Bündelung gebildet.

Die Position der Ziffer gibt an, zu welcher Stufe sie gehört 

Der Wert der Ziffer gibt an, wie oft die entsprechende Bündelungseinheit vorkommt 

Kleinere Einheiten werden zu größeren Einheiten, indem immer die gleiche Anzahl von Einheiten gebündelt wird, d.h Die Bündelungseinheiten sind Potenzen einer vorgegebenen Basiszahl b 

Die Stelle der Ziffer gibt an, um welche Bündelungseinheit es sich handelt. Die Ziffern geben an, wie oft die einzelnen Bündelungseinheiten vorkommen. Von rechts nach links stehen die Ziffern zu den Bündelungseinheiten 

Ein Stellenwertsystem wird durch eine Basiszahl b (b>1) definiert. 

Es gibt b Zahlzeichen, nämlich 0, 1, ..., b-1

Jede Ziffer gibt die Anzahl einer Bündelungseinheit an. Die Größe der Bündelungseinheit ist von rechts nach links gelesen: b^0, b^1, b^2, b^3, ...

Eine Ziffer gibt zwei Informationen: 

1. die Anzahl der jeweiligen Bündelungseinheiten 

2. die Größe der jeweiligen Bündelungseinheit

- mit einer begrenzten Anzahl von Ziffern können große Zahlen übersichtlicher dargestellt werden 

- jede Ziffer liefert zwei Informationen 

- die Bündelungseinheiten sind immer gleich 

- es sind effiziente Rechenverfahren möglich 

- das Ordnen mehrstelliger Zahlen ist vergleichsweise einfach 

- das Prinzip lässt sich leicht erweitern 

- es ist eine eigene Ziffer 0 nötig für Bündelungseinheiten, die in der beschriebenen Zahl nicht vorkommen 

- das System ist sehr abstrakt, da dieselbe Ziffer (ohne spezielle Kennzeichnung) für verschiedene Werte stehen kann 

- es werden nicht alle Informationen notiert (Stufenbezeichnung folgt aus der Position) 

- auch Stellenwertsystemenkönnen unübersichtlich sein (z.B. 14537769

- Zahldarstellung als Gegenstandsmenge zu zählender Dinge 

- Zahldarstellung durch eine Hilfsmenge

- symbolische Zahldarstellung durch Zahlzeichen auf Basis eines Bündelungsprinzips 

- symbolische Zahldarstellung  durch Ziffern in einem Stellenwertsystem

Es gibt zwei Möglichkeiten:

- Suchen der größten Potenz 

- Division mit Rest 

1. zur gegebenen Dezimalzahl suche man die größte enthaltene Potenz b^i

2. man prüfe, wie oft b^i in die Zahl passt und ziehe dieses Vielfache von b^i von der Dezimalzahl ab 

3. man nehme den Rest und beginne wieder von vorne 

4. die jeweiligen Vielfachen der Potenzen b^i ergeben zusammen von links nach rechts die Zahl im Stellenwertsystem zur Basis b

1. die größtmögliche Potenz ist 9 (3^2) 

2. 23-18=5

3. die größtmögliche Potenz ist 3 (3^1), 5-3=2

    Die größtmögliche Potenz ist 1 (3^0), passt zweimal. 

Es ergibt sich also: 1 x 3^2 + 1 x 3^1 + 2 x 3^0 -> (112) im Dreiersystem 

Man muss die Potenzen der Basis ausrechnen 

1. die Zahl wird durch die Basiszahl des anderen Stellenwertsystems geteilt, der Rest ist die letzte Zahl (ganz rechts) in dem anderen Stellenwertsystem

2. das Ergebnis (ohne Rest) wird wieder durch die Basiszahl des anderen Stellenwertsystems geteilt. Der Rest ist die vorletzte Zahl in dem anderen Stellenwertsystem. 

3. das Ganze wird so lange wiederholt, bis das Ergebnis (ohne Rest) nicht weiter durch die Basiszahl des anderen Stellenwertsystems geteilt werden kann, wichtig: sollte der letzte Rest 0 sein, muss dieser unbedingt ebenfalls notiert werden 

4. das letzte Ergebnis, das nicht mehr gebündelt würden kann, ist die erste Ziffer in dem anderen Stellenwertsystem 

19 : 3 = 6 Rest 

16 : 3 = 2 Rest 0

(201) im Dreiersystem

In erster Linie ist das reine Gewohnheitssache. 

Durchgesetzt hat sich das Dezimalsystem vermutlich , weil der Mensch 10 Finger hat, welche natürliches Hilfsmittel beim Zählen sind 

Außerdem ist das Dezimalsystem ein guter Kompromiss zwischen einer begrenzten Ziffernanzahl und der Länge der entstehenden Zahlwörter 

Bündeln und Entbündeln mit strukturiertem Material 

Erweiterung auf Hunderter, Tausender, ...

SuS begreifen die wesentlichen Ideen des Stellenwertsystems und des Bündelungsprinzips

Auf welche weisen lassen sich zahlen darstellen -> 27, 2 Z 7 E, ...

Jedem n ist ein n' zugeteilt, das der Nachfolger von n heißt 

Es gibt ein a, das für keinen Nachfolger ist. (A wie Anfang, also es gibt die 0)

Sind n, m verschieden, so sind auch die Nachfolger n' , m' verschieden. (Sprich: wenn die Nachfolger gleich sind, sind auch die Zahlen gleich)

Ist M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen mit a Element M und enthält M zudem zu jedem Element auch dessen Nachfolger, so ist M = natürliche Zahlen 

Die Peano-Axiome definieren die Menge der natürlichen Zahlen 

Der Nachfolger n' wird definiert als Vereinigung des ersten Elements (n) mit der Menge, die dieses Element enthält. So enthält jedes nachfolgende Element eine Element mehr als sein Vorgänger 

Die Zahl gibt die Anzahl der Elemente einer Menge an - wie viele?

3 Äpfel

20 Kinder 

Die Zahl benennt die Reihenfolge innerhalb einer geordneten Reihe -

An der 3. Haltestelle muss ich aussteigen 

Ich habe den 2. Platz belegt

Ordnungszah und Zählzahl

An welcher Stelle? 

Der wievielte?

Welche Nummer? 

Die Zahl wird als Teil der Zählzahlreihe verwendet 

-> z.B. das steht auf Seite 3

Die Zahl bezeichnet Größen. Sie wird als Maßzahl bezüglich einer Einheit verwendet. Auch Skalenaspekte (Temperatur, Zeitangabe) gehören dazu

Es dauert noch 3 Min 

Die Schule ist 3 km entfernt 

Die Zahl beschreibt die Vielfachheit einer Handlung oder eines Vorgangs

Ich muss noch dreimal schlafen 

Die Zahl wird zum Rechnen benutzt