Arithmetik

Die Peano-Axiome charakterisieren die Eigenschaften der natürlichen Zahlen.

Ein Axiom ist ein absolut richtig erkannter Grundsatz, also eine allgemeingültige Wahrheit, die keinen Beweis braucht.

Axiome sind Aussagen, die wegen ihres inhalts grundlegend sind und als evident (unmittelbar einleuchtend) gelten und daher keines Beweises bedürfen. Axiome werden oft an den Anfang gestellt und mittels gültiger Beweisregeln können daraus weitere Ergebnisse hergeleitet werden.

Deduktion heißt so viel wie 'ableiten' oder 'fortführen' und beschreibt ganz allgemein den Prozess, aus bestimmten Beobachtungen oder Prämissen Erkenntnisse abzuleiten oder daraus logisch zu schlussfolgern. 

(P1) Jedem n\(∈\)\(ℕ\) ist genau ein n'\(∈\)\(ℕ\) zugeteilt, das der Nachfolger von n heißt.

(Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, z.B. 1 -> 2; 2 -> 3, usw.

(P2) Es gibt ein a\(∈\)\(ℕ\) (a wie Anfang), das für kein n\(∈\)\(ℕ\) Nachfolger ist.

(Es gibt eine Zahl, die für keine natürliche Zahl der Nachfolger ist: 0)

(P3) Sind n, m \(∈\)\(ℕ\) verschieden, so sind auch die Nachfolger n', m' verschieden (dasselbe wird auch gedrückt durch: Aus n'=m' folgt n=m)

(Wenn zwei Zahlen verschieden sind, dann sind auch ihre Nachfolger verschieden und das bedeutet auch, dass wenn zwei Zahlen gleich sind, auch ihre Nachfolger gleich sind.)

(P4) Ist M eine Teilmenge von \(ℕ\) mit a\(∈\)M und enthält M zu jedem Element auch dessen Nachfolger, so gilt M=\(ℕ\).

(Wenn M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist und jede der in ihr enthaltenen Elemente auch ein Nachfolger besitzt, der ebenfalls in M enthalten ist, ist M die Menge der natürlichen Zahlen.)

Setze 1:= \(∅\) und n':= n\(∪\){n}. Dann ist das erste Element nach (P1) die leere Menge. Der Nachfolger 1' wird definiert als Vereinigung des ersten Elements mit der Menge, die dieses Element enthält. Entsürechend ist 1'=\(∅\)\(∪\){\(∅\)}={\(∅\)}.

z.B.

Uhrzeit

Taschenrechner

Nummernschilder

Geld

Datum

Geschwindigkeizsbegrenzungen

Die Zahl gibt die Anzahl der Elemente einer Menge an, z.B. 3 Äpfel, 20 Kinder

Die Zahl benennt die Reihenfolge innerhalb einer geordneten Reihe, z.B. an der 3. Haltestelle muss ich aussteigen.

Ordnungszahl: An welcher Stelle? Der wievielte? -> z.B. der 3.10. ist ein Feiertag

Zählzahl: Welche Nummer? Die Zahl wird als Teil der Zählzahlreihe verwendet -> z.B. das steht auf Seite 3

Die Zahl bezeichnet Größen. Sie wird als Maßzahl bezüglich einer Einheit verwendet. Auch der Skalenaspekt ist hier vertreten (Temperatur und Zeitangabe) z.B. es dauert noch 3 Min, die Schule ist 3km entfernt

Die Zahl beschreibt die Vielfachheit einer Handlung oder eines Vorgangs, z.B. Ich muss noch dreimal schlafen

Die Zahl wird zum Rechnen benutzt.

Algebraischer Aspekt: Algebraische Gesetzmäßigkeiten der natürlichen Zahlen werden angesprochen, z.B. 3+4=4+3, 12*5=10*6

algorithmischer Aspekt: Mit Zahlen kann ziffernweise nach Handlungsanweisungen (sog. Algorithmen) gerechnet werden, z.B. schriftliche Addition

Ziffernfolgen werden zur Kennzeichnung / Unterscheidung verwendet, rechnen bzw ordnen ist nicht sinnvoll, z.B. Telefonnummern, PLZ

Zusatz: Zur Codierung verwendete Ziffernfolgen sind keine Zahlen im eigentlichen Sinn. Wesentliche Zahleigenschaften wie z.B. ordnen, rechnen treffen nicht zu. Die Zuordnung des Codierungsaspekts zu den Zahlaspekten ist deshalb fragwürdig.

Beschreibt die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0

Die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der 0

Für je zwei Zahlen m,n \(∈\)\(ℕ\)_{0 definierten wir}

(A1) m + 0 = m

(A2) m + n' = (m + n)'

Außerdem setzen wir 0' = 1. Daraus folgt unmittelbar m + 1 = m + 0' = m'

Bsp.: 5 + 3 = (5 + 2)' = ((5 + 1)')' = ((5')')' = 5 +1 + 1 + 1 = 8

Für all natürlichen Zahlen k, n \(∈\)\(ℕ\)_{0 gilt}

_{(k + n) + 0 = k + (n + 0)}

Die Addition natürlicher Zahlen ist assoziativ, d.h. 

\(∀\)k, n, m \(∈\) \(ℕ\)₀: (k + n) + m = k + (n + m)

(Aussage für eine Menge von Zahlen mit Induktionsbeweis)