Arithmetik

1858 - 1932

Die Peano-Axiome charakterisieren die Eigenschaften der natürlichen Zahlen.

Ein Axiom ist ein absolut richtig erkannter Grundsatz, also eine allgemeingültige Wahrheit, die keinen Beweis braucht.

Axiome sind Aussagen, die wegen ihres inhalts grundlegend sind und als evident (unmittelbar einleuchtend) gelten und daher keines Beweises bedürfen. Axiome werden oft an den Anfang gestellt und mittels gültiger Beweisregeln können daraus weitere Ergebnisse hergeleitet werden.

Deduktion heißt so viel wie 'ableiten' oder 'fortführen' und beschreibt ganz allgemein den Prozess, aus bestimmten Beobachtungen oder Prämissen Erkenntnisse abzuleiten oder daraus logisch zu schlussfolgern. 

(P1) Jedem n\(∈\)\(ℕ\) ist genau ein n'\(∈\)\(ℕ\) zugeteilt, das der Nachfolger von n heißt.

(Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, z.B. 1 -> 2; 2 -> 3, usw.

(P2) Es gibt ein a\(∈\)\(ℕ\) (a wie Anfang), das für kein n\(∈\)\(ℕ\) Nachfolger ist.

(Es gibt eine Zahl, die für keine natürliche Zahl der Nachfolger ist: 0)

(P3) Sind n, m \(∈\)\(ℕ\) verschieden, so sind auch die Nachfolger n', m' verschieden (dasselbe wird auch gedrückt durch: Aus n'=m' folgt n=m)

(Wenn zwei Zahlen verschieden sind, dann sind auch ihre Nachfolger verschieden und das bedeutet auch, dass wenn zwei Zahlen gleich sind, auch ihre Nachfolger gleich sind.)